《离散型随机变量及其分布列（第3课时）》教学设计

21/222.1离散型随机变量及其分布列（第3课时）（冉启阳）一、教学目标【核心素养】通过初步对两点分布、超几何分布的概念及特征的认识，培养学生数据分析，数学建模以及归纳能力，以此指导解决实际问题.【学习目标】熟练掌握分布列的运用.【学习重点】1.实际问题到数学问题的划归思想.2.超几何分布的概率运算.【学习难点】1.两点分布、超几何分布题型及解题方法.2.排列组合思想及概率的加法原则在离散型随机变量分布列中的灵活应用.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务通过前两课时对随机变量概率分布列的学习和习题演练，总结随机变量分布列常规考题及技巧.2.预习自测1.设运动员投篮命中（记为1）的概率为0.8，则他一次投篮时命中次数X的概率分布列是（）A.B.C.D.【知识点：两点分布】解：A2在一批n个产品中，有m个次品，从这批产品中任取k个产品，则恰有个（）次品的概率是（）A.B.C.D.【知识点：超几何分布】解：B3.已知10个晶体管中有6个正品和4个次品，现从中任意取出5个晶体管，若以X表示取出的正品个数，则显然X服从超几何分布，即X~H(n，M，N),则n,M,N的值分别为（）A.5,4,10B.6,5,10C.4,5,10D.5,6,10【知识点：超几何分布】解：D（二）课堂设计问题探究一超几何分布的应用★例.生产方提供一批50箱的产品，其中有2箱不合格产品，采购方接收该产品的准则是：从该产品中任取5箱产品进行检测，若至多有1箱不合格产品，便接收该批产品.问：该批产品被接手的概率是多少？分析：5箱中不合格的产品的箱数X服从参数为N=50，M=2,n=5的超几何分布.被接手的随机变量X≤1，即可根据超几何分布的运算公式进行计算.详解：以50箱为一批产品，从中随机抽取5箱，用X表示“5箱中不合格产品数量”，则服从参数为N=50，M=2,n=5的超几何分布.这批产品被接收的条件是5箱中没有不合格的或只有1箱不合格，所以被接收的概率为P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=.解题策略：理解接收该产品的要求所包含的信息；将信息转化成随机变量取值；概率加法原则的应用.问题探求二、离散型随机变量的综合应用▲排列组合在分布列中的应用▲例、一袋子中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率是，现在甲乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，然后乙再取，取后不放回.以此取球方式进行下去.直到两人中有一人取到白球时即终止.每球在每一次被取出的机会是等可能的，用表示取球终止时所需的取球次数.求：袋中原有白球的个数；随机变量的概率分布列；甲取到白球的概率.分析：根据题意计数原理可解决概率问题；理清取球的条件是无论甲或乙任一人取到白球即止.当前4次取球都为黑色之时，剩下全为白球.此时，第5次取球即为最后可能情况；由于甲先取球，总共白球数量为3.所以甲取到白球的顺序次数在第1、3、5.详解：（1）设袋中原有n个白球，由题可知，所以=6.解得n=3(n=-2舍去)，即袋中原有3个白球.（2）由题可知，的可能取值为1,2,3,4,5.P(=1)=;P(=2)=;P(=3)=;P(=4)=;P(=5)=;所以取球次数的分布列为（3）因为甲先取，所以只有可能在第一次、第三次和第五次取球，记“甲取到白球”为事件A，则P（A）=P(=1，3，5)因为事件“=1”，“=3”，“=5”两两排斥,所以P（A）=P(=1)+P(=3)+P(=5)=.解题策略：本题结合了概率的乘法、加法原则重点考察了组合及分布计数原理.在解决该类问题之前需弄清楚这几大原则的使用条件及运算法则.特定的数学关系载体在分布列中的应用▲载体对象：函数、方程、不等式、立体几何等问题.例、设b和c分别是先后抛掷的一枚骰子得到的点数.用随机变量X表示方程的不等实数根的个数，求X的分布列.分析：随机变量的取值为0，1，2；的正负情况的判定.详解：由题意可知X的取值为0，1，2.随机试验的所有可能结果构成的集合为，元素总个数为36.X=0对应的结果构成的集合为，元素的个数为17个.X=1对应的结果构成的集合为，元素的个数为2个.X=2对应的结果构成的集合为，元素的个数为17个.由此可知，P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=.故X的分布列为解题策略：根据一元二次方程判别式对根的个数的判断着手；骰子的总共可能情况的计数原则；根据分布列求取方法的常规步骤.3.选取合适的分布列进行解题例.某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种甲和品种乙）进行田间试验.选取两大块地，每大块地分成n小块地，在总共2n小块地中，随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙.假设n=4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X，求X的分布列.分析：根据题意可知随机变量X服从超几何分布且其可能取值是0，1，2，3，4.根据超几何分布的求法，结合变量对应的事件概率，列出分布列即可.解：X可能的取值为0，1，2，3，4,P(X=0)=;P(X=1)=;P(X=2)=;P(X=3)=;P(X=4)=.所以X的分布列为解题策略：解决该题的关键点是了解随机变量的取值及那几点可以说明变量服从超几何分布.例、已知离散型随机变量X的分布列如下表所示求：（1）5X+1的分布列；（2）的分布列.分析：由问题不难看出，此题考查的是对第一课时随机变量的概念的认识.尽管给出了新的变量的与原变量的关系式，但是新变量的取值是与原变量的取值是一一对应关系.所以试验中新变量取值的发生概率与对应的原变量取值发生的概率是一样的.另外，取得的相同结果对应了两个原变量的取值，所以发生的概率对应了两原变量发生的概率之和.详解：由分布列的性质可知a=0.3.（1）5X+1的所有取值为11,21,26,36.故5X+1的分布列为的所有取值为1,2,4.且P（=1）=P(X=2)+P(X=4)=0.5，P（=2）=P(X=5)=0.2，P（=4）=P(X=7)=0.3.故的分布列为解题策略：理解型随机变量变量与原变量的关系.掌握概率加法原则的应用.课堂总结【知识梳理】1.超几何分布概率公式的应用.2.函数、方程、不等式、立体几何等章节为载体的问题，需借助对应章节知识点分析X分布列.3.如何选取合适的（满足某些分布列的适用条件）分布列解决实际问题.【重难点突破】1.典型的离散型随机变量分布列题型分析及解题策略探究.★★★2.熟练掌握应用问题转化成离散型随机变量分布列问题的技巧.★★★三、随堂检测1、一批产品共50件，次品率为4%，从中任取10件，则抽的1件次品的概率是（）A.0.078B.0.78C.0.0078D.0.078【知识点：超几何分布;数学思想：组合】解：A2、从分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，9的9张卡片中任取2张，则两数之和是奇数的概率是________________.【知识点：超几何分布；数学思想：组合】解：3、已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．（Ⅰ）求取出的4个球均为黑球的概率；（Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；（Ⅲ）设为取出的4个球中红球的个数，求的分布列．【知识点：超几何分布，独立事件概率：数学思想：组合】（Ⅰ）解：设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件，“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件．由于事件相互独立，且，．故取出的4个球均为黑球的概率为．（Ⅱ）解：设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件．由于事件互斥，且，．故取出的4个球中恰有1个红球的概率为．（Ⅲ）解：可能的取值为．由（Ⅰ），（Ⅱ）得，，．从而．的分布列为：4、某批产品成箱包装，每箱5件．一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意抽取2件产品进行检验．设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品．【知识点：超几何分布，互斥事件概率；数学思想：组合】Ⅰ）用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数，求ξ的分布列；Ⅱ）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品级用户拒绝的概率．解：（1）所以的分布列为（2）P()=四、课后作业智能提升★基础型自主突破1．10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是（）A．取到产品的件数B．取到正品的概率C．取到次品的件数D．取到次品的概率【知识点：离散型随机变量】解：C2．下列随机变量中不是离散型随机变量的是（）A．盒子里有除颜色不同，其他完全相同的红球和白球各5个，从中摸出3个球，白球的个数XB．小明回答20道选择题，答对的题数XC．某人早晨在车站等出租车的时间XD．某人投篮10次投中的次数X【知识点：离散型随机变量】解：C3．下列变量中，是离散型随机变量的是()A．到2013年5月1日止，我国被确诊的爱滋病人数B．一只刚出生的大熊猫，一年以后的身高C．某人在车站等出租车的时间D．某人投篮10次，可能投中的次数【知识点：离散型随机变量】解：D4.将一颗骰子掷两次，不能作为随机变量的是（）A．两次点数之和B．两次点数差的绝对值C．两次的最大点数D．两次的点数【知识点：离散型随机变量】解：D5．一串钥匙有5枚，只有一把能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到找到能开锁的钥匙为止，则试验次数ξ的最大值可能为（）A．5B．2C．3D．4【知识点：；离散型随机变量】解：D6.抛掷两枚骰子，所得点数之积记为ξ，那么ξ＝4表示的随机试验结果是（）A．2枚都是4点B．1枚是1点，另1枚是4点C．2枚都是2点D．1枚是1点，另1枚是4点，或者2枚都是2点【知识点：离散型随机变量】解：D★★能力型师生共研7.随机变量X的概率分布规律为，其中是常数，则的值为（）A.eq\f(2,3)B.eq\f(3,4)C.eq\f(4,5)D.eq\f(5,6)【知识点：分布列性质、互斥事件概率；数学思想：分类讨论】解：D8.已知随机变量ξ的分布列为若η＝2ξ－3，则写出η的分布列．【知识点：离散型随机变量、分布列；数学思想：类比】解：有5支不同标价的圆珠笔，分别标有10元、20元、30元、40元、50元．从中任取3支，若以ξ表示取到的圆珠笔中的最高标价，试求ξ的分布列．【知识点：分布列；数学思想：分类讨论】解：设ξ表示取到圆珠笔中的最高标价，则有当，抽取情况：10，20，30.当，抽取情况：10，20，40；10，30，40；20，30，40.当，抽取情况：10，20，50；10，30，50；10，40，50；20，30，50；20，40，50;30,40,50..其分布列为10．已知随机变量ξ只能取三个值：x1、x2、x3，其概率依次成等差数列，求公差d的取值范围．【知识点：分布列性质，等差数列,不等式】解：设等差数列的公差为d.由等差数列性质可知.由分布列的概率性质可知.于是有，，.,.因此，.★★★探究型多维突破11．袋中有4个红球，3个黑球，从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球．(1)求得分X的概率分布列；(2)求得分大于6分的概率．【知识点：超几何分布；数学思想：分类讨论】解：(1)从袋中随机取4个球的情况为：1红3黑，2红2黑，3红1黑，4红四种情况，分别得分为5分，6分，7分，8分，故X的可能取值为5,6,7,8.P(X＝5)＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(3,3),C\o\al(4,7))＝eq\f(4,35)，P(X＝6)＝eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(2,3),C\o\al(4,7))＝eq\f(18,35)，P(X＝7)＝eq\f(C\o\al(3,4)C\o\al(1,3),C\o\al(4,7))＝eq\f(12,35)，P(X＝8)＝eq\f(C\o\al(4,4)C\o\al(0,3),C\o\al(4,7))＝eq\f(1,35).故所求分布列为(2)根据随机变量X的分布列，可以得到得分大于6的概率为：P(X>6)＝P(X＝7)＋P(X＝8)＝eq\f(12,35)＋eq\f(1,35)＝eq\f(13,35).12．随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次亏损2万元．设1件产品的利润(单位：万元)为ξ，求ξ的分布列．【知识点：超几何分布；数学思想：分类讨论】解：ξ的所有可能取值有6,2,1，－2.P(ξ＝6)＝eq\f(126,200)＝0.63，P(ξ＝2)＝eq\f(50,200)＝0.25，P(ξ＝1)＝eq\f(20,200)＝0.1，P(ξ＝－2)＝eq\f(4,200)＝0.02，故ξ的分布列为六、自助餐1.袋中有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量ξ，则ξ所有可能取值的个数是（）A.5B.9C.10D.25【知识点：离散型随机变量；数学思想：分类讨论】解：B2.若离散型随机变量X的分布列为：则常数c的值为（）A.eq\f(2,3)或eq\f(1,3)B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,3)D.1【知识点：两点分布】解：C3.①某座大桥一天经过的车辆数为ξ②某无线电台一天收到的寻呼次数为ξ③一天之内的温度为ξ④一射手射击,击中目标得1分,未击中目标得0分,用ξ表示射手一次射击中的得分.上述问题中的ξ是离散型随机变量的是（）A.①②③④B.①②④C.①③④D.②③④【知识点：离散型随机变量】解：B4.在15个村庄中,有7个村庄交通不方便,现从中任选10个村庄,用ξ表示这10个村庄中交通不方便的村庄数,下列概率中等于的是（）A.P(ξ=2)B.P(ξ≤2)C.P(ξ=4)D.P(ξ≤4)【知识点：超几何分布】解：C在8件产品中，有3件次品，5件正品，从中任取一件，取到次品就停止，抽取次数为X，则X＝3表示的试验结果是________．【知识点：超几何分布】解：X＝3表示前2次均是正品，第3次是次品．在考试中，需回答三个问题，考试规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，则这名同学回答这三个问题的总得分ξ的所有可能取值是________________．【知识点：离散型随机变量】解：300,100，－100，－300甲进行3次射击，甲击中目标的概率为eq\f(1,2)，记甲击中目标的次数为X，则X的可能取值为________．【知识点：离散型随机变量】解：0,1,2,3.8.设离散型随机变量X的分布列为求2X＋1的分布列．【知识点：离散型随机变量的拓展，分布列】解：由分布列的性质知：0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3.首先列表为：从而由上表得2X＋1的分布列：小王钱夹中只剩有50元、20元、10元、5元和1元的人民币各一张．他决定随机抽出两张，用来买晚餐，用X表示这两张金额之和．写出X的可能取值，并说明所取值表示的随机试验结果．【知识点：离散型随机变量；数学思想：分类讨论】解：X的可能取值为6,11,15,21,25,30,51,55,60,70.其中，X＝6，表示抽到的是1元和5元；X＝11，表示抽到的是1元和10元；数字1,2,3,4任意排成一排，若数字k恰好出现在第k个位置上，则称为一个巧合，求巧合个数ξ的分布列．【知识点：分布列应用；数学思想：分类讨论】解：ξ取值为0,1,2,3,4.ξ＝0，没有巧合，若1—2—3—4为四个数都巧合，则没有一个巧合的情况有以下几种：所以P(ξ＝0)＝eq\f(9,A\o\al(4,)4)＝eq\f(9,24)＝eq\f(3,8)；ξ＝1，只有一个巧合，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,)4×2,A\o\al(4,)4)＝eq\f(1,3)；ξ＝2，只有两个巧合，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,)4×1,A\o\al(4,)4)＝eq\f(1,4)；ξ＝3，只有三个巧合，不存在，P(ξ＝3)＝0；ξ＝4，四个数位置都巧合，P(ξ＝4)＝eq\f(1,A\o\al(4,)4)＝eq\f(1,24).所以ξ的分布列为11．生产方提供50箱的一批产品，其中有2箱不合格产品．采购方接收该批产品的准则是：从该批产品中任取5箱产品进行检测，若至多有1箱不合格产品，便接收该批产品．问：该批产品被接收的概率是多少？【知识