小学数学三年级下册：两位数乘整十数的算理探究与算法实践

小学数学三年级下册：两位数乘整十数的算理探究与算法实践一、教学内容分析  本课内容隶属《义务教育数学课程标准（2022年版）》“数与代数”领域“数量关系”主题。在知识图谱中，它既是“数的运算”的重要组成部分，也是学生从表内乘法、整十数乘一位数向更复杂的两位数乘两位数乃至多位数乘法进阶的关键枢纽。其核心技能在于理解并掌握“先用两位数乘整十数十位上的数，再在积的末尾添上一个0”的算法，而更深层的认知要求在于理解其背后的算理——将两位数乘整十数转化为已学的两位数乘一位数，并明晰末尾添“0”的本质是计数单位（几个十）的运算结果。这一过程蕴含了重要的数学思想方法：转化思想与位值思想。通过将新知转化为旧知，学生能亲历“数学建模”的简化过程；通过对“0”的处理，深化对十进制位值制的理解。本课承载的素养价值，直接指向“运算能力”与“推理意识”的发展。学生在探究算法、说清算理的过程中，不仅提升运算的熟练度与灵活性，更锻炼了基于已有事实进行逻辑推理的能力，从而体会数学的严谨与内在一致性，为形成理性的科学精神奠定基础。  学情诊断应从多维度展开。已有基础上，学生已熟练掌握表内乘法、整十数乘一位数的口算（如20×3）及两位数乘一位数的笔算（如12×3），并具备初步的“转化”经验。潜在障碍在于：首先，学生容易机械记忆算法步骤，对“为什么可以先乘后添0”的算理理解模糊；其次，受加法“末尾对齐”负迁移影响，在列竖式时可能产生数位对齐错误。过程评估设计上，将贯穿于课始的复习提问、探究环节中的小组讨论与汇报、以及随堂练习的典型错误捕捉中。例如，在探究12×20时，直接追问“为什么可以先算12×2，再添0？这个‘0’代表什么？”，通过学生的即时回答动态把握其思维水平。基于此，教学调适应体现差异化：对于理解较快的学生，引导其探索并表述不同的算法（如12×2×10），并尝试解释其相通性；对于存在困难的学生，提供小棒图、方块模型等直观学具作为“脚手架”，帮助其将抽象运算与具体表象关联，逐步建立位值观念。二、教学目标  知识目标：学生能理解两位数乘整十数（不进位）的算理，即将其转化为两位数乘一位数后再乘10，并能在理解的基础上，正确、熟练地掌握其口算与笔算方法，明确竖式计算中“0”的占位作用及简便写法的合理性。  能力目标：学生能够运用多种策略（如拆分法、模型表征）探索并解决两位数乘整十数的实际问题，并在交流对比中，发展运算能力与初步的归纳、推理能力，做到“法理兼明”。  情感态度与价值观目标：在合作探究与算法多样化的交流中，学生能体会到数学思考的乐趣和团队协作的价值，愿意倾听并尊重不同的解题思路，培养开放、包容的学习态度。  科学（学科）思维目标：重点发展学生的推理意识和模型意识。通过“你是怎么想到的？”等追问，引导其经历从具体情境抽象出数学问题、利用旧知（模型）解决新问题的完整思维过程，理解“转化”这一基本数学思想。  评价与元认知目标：引导学生初步学会评价自己及同伴的算法是否合理、表述是否清晰，并在课堂小结时，能够回顾学习路径，反思“我是如何学会的？哪种方法对我理解最有帮助？”，提升学习的自主性与策略性。三、教学重点与难点  教学重点：理解两位数乘整十数的算理，并掌握其计算方法。确立依据在于：从课程标准看，运算教学的核心是理解算理、掌握算法，此为本课知识建构的“大概念”；从后续学习看，透彻理解此处的算理，是攻克两位数乘两位数（进位）、三位数乘两位数等复杂运算的基石，若此处理解不牢，将产生系统性认知障碍。  教学难点：理解“先用两位数乘整十数十位上的数，得到的积表示多少个‘十’，因此末尾要添一个0”这一算理本质。预设依据源于两方面学情：一是三年级学生的抽象思维仍以具体形象为支撑，将“20”理解为“2个十”并进行运算，需要跨越认知层次；二是常见错误分析显示，学生易将“20”末尾的0与计算所得的0混淆，出现如12×20=24或240等错误，根源在于对计数单位运算的模糊。突破方向在于强化直观模型（如点子图、小棒）与算法算理的多元关联。四、教学准备清单1.教师准备1.1媒体与教具：交互式课件（含情境动画、点子图动态演示）；板书设计预案（左侧留出算法推导区，右侧为核心要点区）；12×20的点子图学习单（每份10×12的点子图若干）。1.2学习任务单：设计分层探究任务卡（A卡侧重直观操作与引导式问题，B卡侧重算法探索与解释）。2.学生准备：复习两位数乘一位数（如12×3）的计算；常规学具。3.环境准备：教室座位调整为四人小组，便于合作交流。五、教学过程第一、导入环节1.情境激趣，提出问题：同学们，学校运动会快到了，我们班要为大家准备矿泉水。如果每箱有20瓶，我们班需要12箱，你能快速算出总共需要多少瓶水吗？来，把这个问题用数学算式表示出来。（预设学生列出：12×20或20×12）这个算式和我们以前学的乘法有什么不同？1.1唤醒旧知，明确方向：对，这是一个“两位数乘整十数”。之前我们学过整十数乘一位数（如20×3），也学过两位数乘一位数（如12×3）。那今天这个新朋友“12×20”，我们能想办法用学过的知识来征服它吗？这节课，我们就一起来当一回“推理小侦探”，揭开它的计算奥秘。第二、新授环节任务一：策略初探——多样的方法教师活动：首先，不急于教授竖式，而是将问题抛还给学生。“12×20到底等于多少？别急着告诉我答案，先和同桌说说你是怎么想的，看谁的方法多。”巡视倾听，捕捉不同的策略：有的可能拆数（10×20+2×20），有的可能凭感觉猜，有的可能联系旧知（12×2=24，再想想）。邀请23组代表上台分享他们的“原始思路”。无论对错，先给予肯定：“敢于分享就是了不起的第一步！”学生活动：同桌或小组内积极交流，尝试用语言、画图或列式表达自己的想法。聆听同伴分享，比较不同方法的异同。即时评价标准：1.能否尝试用已有知识解释新问题；2.表达是否清晰，能让同伴听懂；3.能否认真倾听并简要复述他人的方法。形成知识、思维、方法清单：★算法多样性：面对新问题，可以联系旧知，尝试多种策略。▲转化思想萌芽：将未学过的“12×20”转化为已学的“10×20和2×20”或联想到“12×2”，是数学中重要的转化思想。教师提示：“大家的点子真多！这些方法背后有没有什么共同的秘密呢？”任务二：模型支撑——点子图的奥秘教师活动：提供点子图学习单（10×12排列）。引导：“如果我们用这样一个点阵图来表示12×10（120），那么12×20该怎样表示呢？”让学生动手画一画、圈一圈。接着课件动态演示：将12×20理解为2个12×10，即先得到12×10=120，再乘2得240。追问：“这个过程中，哪个算式是我们学过的？（12×10）哪个是新的？（120×2）但我们最终算的是（12×20）。”学生活动：动手操作点子图，通过“复制”或“合并”的方式，直观感受12×20是2个12×10的和。观察课件演示，建立图形与算式之间的联系。即时评价标准：1.能否利用点子图正确表征12×20；2.能否将图形操作与相应的算式变化对应起来。形成知识、思维、方法清单：★直观模型的价值：点子图能帮助我们将抽象的乘法运算可视化。★算理初步感知：12×20可以看作先算12×10，再乘2，结果是240。教师提示：“看图说话，让我们的思考有了依据。”任务三：算理深究——为什么可以“先乘后添0”？教师活动：这是攻克难点的核心步骤。引导学生聚焦最简洁的口算方法：12×20，先把20看作（2个十），12乘2个十得（24个十），24个十就是（240）。用板书清晰地展示这一推理链：12×20=12×（2个十）=（12×2）个十=24个十=240。反复指读，强调“几个十”。然后设置认知冲突：“有同学直接算12×2=24，然后在后面添了一个0，得到了240。这样算对吗？和我们的推理过程哪里对上了？”让学生讨论。学生活动：跟随教师引导，理解“20=2个十”的位值意义。参与推理过程的口述与书写。讨论“先乘后添0”的简便算法与完整算理之间的对应关系，发现“添0”正是因为结果是“24个十”。即时评价标准：1.能否跟随教师说清算理链条；2.能否在讨论中指出“添0”与“几个十”之间的联系。形成知识、思维、方法清单：★核心算理：计算两位数乘整十数，可以先把整十数看作几个十，用两位数乘几，得到多少个十，就是几百几十。★算法与算理统一：“先乘（十位上的数）后添0”是上述算理在操作上的简化体现。教师提示：“原来，‘添0’这个动作，记录的是计数单位从‘一’到‘十’的升级！”任务四：竖式建模——规范的记录教师活动：明确竖式是记录计算过程的规范工具。示范12×20的竖式标准写法：将20的十位数字2与12的个位对齐（实质是与12相乘）。计算12×2=24。追问：“这里的24表示什么？（24个十）”所以，4要写在十位上，2写在百位上，个位用0占位。强调简便写法中，20个位上的0可以先不参与计算，直接移到积的末尾。对比展示错误对齐方式（如末尾0对齐），让学生辨析。学生活动：观察教师规范书写，理解每一步的算理依据。尝试独立书写竖式，并与口算方法相互验证。辨析错误竖式，加深对数位对齐规则的理解。即时评价标准：1.竖式书写是否规范，数位对齐是否正确；2.能否解释竖式中每一步计算结果的真实含义。形成知识、思维、方法清单：★竖式规范：两位数乘整十数竖式，应将整十数十位上的数与两位数个位对齐。★“0”的处理：乘数末尾的0在计算时可先不参与，最后在积的末尾添上，其作用是占位，体现结果的正确数位。教师提示：“竖式就像一位严肃的会计，它要求我们每一步都记录得清清楚楚、位位分明。”任务五：初步应用——小试牛刀教师活动：出示23道模仿性练习题，如14×30，21×40。先让学生独立尝试，鼓励用多种方法（口算、竖式）计算并说理。巡视指导，重点关注学习有困难的学生，引导他们利用算理解释算法。选取典型作业进行投影展示与点评。学生活动：独立完成练习，巩固算法。部分学生上台讲解自己的计算过程，重点说明“先算什么，再算什么，为什么”。即时评价标准：1.计算结果的正确性；2.解释过程是否体现了对算理的理解。形成知识、思维、方法清单：★算法迁移：理解算理后，可将“先乘后添0”的方法迁移到其他两位数乘整十数的计算中。▲易错点警示：计算时，勿忘添0；竖式中注意数位对齐，避免直接用乘数末尾的0去乘。第三、当堂巩固训练  设计分层练习，满足差异化需求。基础层（全员必做）：1.口算：23×10，30×15，17×20。2.用竖式计算：31×20，50×14。（目标：巩固基本算法）综合层（多数学生挑战）：1.填空：计算34×50时，可以想：34×（）=（），所以34×50=（）。2.解决问题：一本《童话选集》定价40元，三年级（1）班有32名同学，每人买一本，共需多少元？（目标：在变式和应用情境中深化算理理解）挑战层（学有余力选做）：思考：130×20怎样计算？你的方法和今天学的有什么联系？（目标：引发对三位数乘整十数的前瞻性思考，体会方法的一致性）  反馈机制：基础层练习采用全班核对、快速手势判断（如对则拇指向上）。综合层练习进行小组互评，依据“答案正确、说理清晰”的标准互相检查。挑战层题目请自愿者分享思路，教师点评其迁移能力。针对练习中暴露的普遍问题，如忘记添0，进行集中精讲。第四、课堂小结  引导学生进行结构化总结：“同学们，经过一节课的侦探工作，我们破解了‘两位数乘整十数’的秘密。现在，请你用自己喜欢的方式（如思维导图、几句话）整理一下今天的收获，可以包括‘我们学会了什么？’‘我们是怎么学会的？’‘要提醒大家注意什么？’”邀请几位学生分享。教师最后升华：今天我们不仅学会了一种新的计算技能，更重要的是，我们掌握了“转化”这个强大的数学武器——把新问题变成老问题来解决。记住，理解“为什么”比记住“怎么做”更重要。作业分为：必做（完成练习册基础题）；选做（寻找生活中两位数乘整十数的例子，并编成一道应用题）。六、作业设计基础性作业：1.完成课本第XX页“练一练”第1、2题。2.竖式计算：24×30，40×18，16×50。（目标：确保全体学生掌握核心算法）拓展性作业：1.数学日记：以“我是这样理解12×20的”为题，用文字、图画或算式等形式，记录你的思考过程。2.解决问题：学校食堂买来50袋大米，每袋大米重25千克。一共买来多少千克大米？（目标：在情境中综合应用，并鼓励多元表征）探究性/创造性作业：（选做）研究：计算25×40，除了今天的方法，你还能想出其他不同的计算方法吗？至少写出两种，并比较它们的异同。（目标：鼓励算法多样化探索，发展思维深度与灵活性）七、本节知识清单及拓展★1.核心概念：两位数乘整十数。指形如12×20、30×15这类乘法算式，是整数乘法运算体系中的重要一环。★2.基本算理。计算时，可以把整十数（如20）看作几个十（2个十），用两位数去乘这个“几”（12×2），得到的结果就是多少个十（24个十），也就是几百几十（240）。这是理解一切算法的基础。★3.口算方法（简化算法）。基于算理，操作上可以简化为：先用两位数乘整十数十位上的数，再在积的末尾添上一个0。例如：12×20，先算12×2=24，再添0得240。★4.竖式计算方法。书写时，将整十数十位上的数与两位数个位对齐。进行计算时，先用两位数乘整十数十位上的数。乘数末尾的0，在计算过程中可以先不参与，最后在积的末尾加上，以确保结果的数位正确。▲5.算理与算法的关系。“先乘后添0”的算法是“看作几个十”这一算理在操作层面的直观体现。算法是“船”，算理是“桨”，知其然更需知其所以然。★6.“0”的本质。这里的“0”是占位符。末尾添上的0，表示计算结果的单位是“十”，从而将“24”（表示24个一）正确地转化为“240”（表示24个十）。▲7.转化思想的应用。本节课的核心思想是将未知的“两位数乘整十数”转化为已知的“两位数乘一位数”。这是解决数学问题的通用策略。★8.易错点提醒。常见错误有：（1）忘记在积的末尾添0；（2）竖式计算时，错误地将整十数的末尾0也参与对齐和相乘。根源在于算理不清。★9.与旧知的联系。本课知识建立在“整十数乘一位数”（如20×3）和“两位数乘一位数”（如12×3）的扎实基础上。新旧知识通过“计数单位”这一核心概念相连。▲10.模型支撑。利用点子图、小棒图等直观模型，可以将抽象的算理形象化，帮助理解“几个十”的乘法意义。★11.问题解决中的应用。在解决涉及“单价×数量=总价”或“每份数×份数=总数”的实际问题时，若数据符合特征，可直接应用本课算法提高效率。▲12.拓展前瞻。该方法可迁移至三位数乘整十数（如130×20），思想一致：将整十数看作几个十，相乘后在积的末尾添0。体现了数学方法的一致性。八、教学反思  （一）目标达成度分析。本课预设的核心目标是理解算理、掌握算法。从课堂反馈与巩固练习情况看，约80%的学生能正确计算并用自己的语言大致解释“先乘后添0”的原因，表明知识技能目标基本达成。在“点子图奥秘”和“算理深究”任务中，学生积极参与讨论，能建立模型与算式的联系，推理意识得到了一定锻炼。情感目标在小组合作与算法分享环节体现较好，课堂氛围积极。然而，元认知目标的达成可能流于表面，多数学生的小结仍停留在知识罗列，对学习策略的反思深度不足。  （二）教学环节有效性评估。1.导入环节：真实情境快速切入，有效激发兴趣，提出的核心问题导向明确。2.新授环节：五个任务层层递进，形成了较为完整的认知支架。“任务二（模型支撑）”与“任务三（算理深究）”是突破难点的关键双环，从直观到抽象符合学生认知规律。但“任务五（初步应用）”时间稍显仓促，部分学生尚未完成充分内化便进入巩固环节，下次可考虑精简前序任务的分享时间。3.巩固与小结环节：分层练习设计满足了不同需求，但挑战题分享时间不足。小结若能引导学生对比学习前后的思维变化（如从“猜答案”到“讲道理”），元认知效果会更佳。  （三）学生表现差异化剖析。在探究环节，