初中数学九年级《确定二次函数表达式：基于两点坐标的解析式求解》教学设计

初中数学九年级《确定二次函数表达式：基于两点坐标的解析式求解》教学设计一、教学内容分析1.《义务教育数学课程标准（2022年版）》在“函数”主题中明确要求，学生能“会用待定系数法确定一次函数、反比例函数、二次函数的表达式”。本节课“已知图象上两点求二次函数的表达式”正是这一要求的关键落实点，它不仅是待定系数法在二次函数领域的具体应用与深化，更是连接二次函数图象性质与实际应用建模的核心桥梁。从知识图谱看，学生已掌握二次函数的概念、图象及其基本性质，并具备利用待定系数法求一次函数表达式的经验。本节课旨在引导学生实现认知迁移，将解决“二元一次方程组”的代数工具，用于构建关于二次函数系数的方程，从而完成从“形”（两点坐标）到“数”（函数解析式）的数学建模过程。其素养价值深远：探究过程紧密融合了数学建模（根据条件建立数学模型）、逻辑推理（由一般式推导方程并求解）与数学运算（解方程组）等核心素养，培养学生通过代数方法解决几何问题的跨领域思维，体会数学的严谨性与工具性。2.九年级学生已具备一次函数待定系数法的扎实基础，这是宝贵的“先行组织者”。然而，从一次函数的“两个未知数”跃迁至二次函数（以y=ax²为例）的“一个未知数”，部分学生可能产生“为何两点即可确定”或“与一次函数方法雷同，无需深究”的轻慢心态。潜在的认知障碍在于：其一，对二次函数一般式中系数a、b、c的几何意义理解尚浅，仅知其影响开口、对称轴，但如何从具体坐标反推系数存在思维跨度；其二，解二元一次方程组虽属旧知，但在本课新语境下的应用，要求计算准确、步骤规范，仍是分化点。因此，教学需设计精妙的“前测”环节（如快速回顾一次函数求法），动态诊断迁移能力，并通过对比分析（一次函数与二次函数在待定系数法应用上的异同），搭建认知阶梯。对于理解快的学生，引导其探究“两点确定二次函数的条件限制”（如两点是否关于对称轴对称）；对于需要支持的学生，则提供“分步脚手架”学习单，辅以同伴互助，确保全体学生都能经历完整的建模过程。二、教学目标1.知识目标：学生能准确阐述待定系数法求二次函数表达式的基本原理与步骤。他们不仅能理解为何已知两点坐标（及顶点位置等附加信息）可确定特定形式的二次函数解析式，更能将这一理解转化为规范的操作流程：设解析式、代入坐标、建立方程（组）、求解系数、回写函数。2.能力目标：学生能够独立、规范地完成已知两点坐标（且其中一点为顶点或两点为普通点）求解形如y=ax²+bx+c或y=ax²等简单二次函数表达式的全过程。在面对稍复杂情境时，能灵活选择恰当的解析式形式（一般式或顶点式）以简化计算，初步展现策略性思维。3.情感态度与价值观目标：在解决从现实情境（如抛物线轨迹）抽象出的数学问题过程中，学生能感受到数学建模的应用价值，增强运用数学知识解决实际问题的意愿。在小组讨论与互评环节，培养严谨求实的科学态度和乐于分享、倾听他人思路的合作精神。4.科学（学科）思维目标：本节课重点发展学生的方程思想与模型思想。通过任务驱动，学生将经历“识别问题类型→设立数学模型（函数解析式）→转化为代数问题（方程/组）→求解并回归解释”的完整思维链条，强化从具体到抽象、再从抽象反馈到具体的辩证思维能力。5.评价与元认知目标：引导学生借助教师提供的范例与评价量规，对解题过程的规范性与合理性进行同伴互评与自我反思。鼓励学生对比不同解题路径的效率，思考“为何选择这种设法？”“计算中哪里容易出错？”，从而提升监控自身学习过程、优化学习策略的元认知能力。三、教学重点与难点1.教学重点：运用待定系数法，根据二次函数图象上两点的坐标求解函数表达式。其确立依据源于课标对“掌握待定系数法”这一核心技能的要求，以及该技能在本单元乃至整个函数学习中的枢纽地位。它是将函数图象与代数解析式联系起来的关键操作，是后续解决二次函数综合应用问题（如求交点、最值等）不可或缺的代数工具，在学业水平考试中属于高频基础考点。2.教学难点：根据所给点的坐标特征，灵活选择二次函数表达式的不同形式（例如，当已知一点为顶点时，选用顶点式y=a(xh)²+k更为简便）来建立方程，并准确求解。难点成因在于，学生需要克服思维定式（习惯性直接使用一般式），综合理解不同形式解析式中参数的几何意义，并做出策略性选择。这要求学生在理解知识本质的基础上进行判断，是思维能力的一次跃升。突破方向在于设计对比性任务，让学生在尝试与比较中切身感受不同选择带来的计算复杂度差异，从而内化策略。四、教学准备清单1.1.教师准备1.2.1.1媒体与课件：制作交互式课件，包含抛物线形成动画（如投篮轨迹）、坐标点动态代入演示、不同解题方法对比页面。2.3.1.2学习材料：设计分层学习任务单（基础版与挑战版）、当堂分层练习卷、课堂小结思维导图模板。3.4.1.3评价工具：准备解题过程评价量规（维度：设式合理性、代入准确性、计算规范性、答案完整性）。5.2.学生准备1.6.复习一次函数待定系数法求解步骤。2.7.准备坐标纸、直尺、铅笔和练习本。8.3.环境布置1.9.将学生分成46人异质小组，便于合作探究与互评。2.10.黑板划分为“知识区”、“方法区”和“范例区”。五、教学过程第一、导入环节1.1.情境激趣，提出问题1.2.1.1教师活动：播放一段篮球入筐的慢镜头视频，并将篮球的运动轨迹抽象为一条抛物线投影在坐标系中。随后，在抛物线上标出两个清晰的点A(0,2)和B(3,5)，并提问：“如果我们把篮筐中心和篮球出手的某个瞬间看作这两个点，那么这条描述篮球飞行路线的抛物线，它的数学表达式是什么呢？换句话说，知道两个点，能确定这条抛物线吗？”2.3.1.2学生活动：观察情境，直观感知抛物线，并对教师提出的核心问题产生思考。部分学生可能基于一次函数经验产生猜测。4.2.唤醒旧知，明确路径1.5.2.1教师活动：承接学生回答，引导回顾：“大家记得我们当初是如何求一条已知两点坐标的直线表达式吗？”快速请一位学生口述一次函数待定系数法步骤。然后点明：“今天，我们就要把这份‘待定系数’的智慧，迁移到二次函数的世界里。我们将一起探索，如何用两点的坐标，‘撬开’二次函数表达式的大门。我们的路线是：先‘设’，再‘代’，然后‘解’，最后‘写’。”2.6.2.2学生活动：回忆并复述一次函数待定系数法，明确本节课的学习方向与基本流程。第二、新授环节1.任务一：温故知新，迁移方法1.2.教师活动：首先板书课题。提出引导性问题：“求一次函数y=kx+b，需要两个点的坐标，因为要确定k和b两个未知数。那么，对于最简单的二次函数y=ax²（板书），它有几个待定的系数？要确定它，需要几个点的坐标呢？理由是什么？”等待学生回答后，进一步追问：“如果我们已知抛物线y=ax²经过点（2,4），你能求出a的值吗？请动手试试。”巡视，选取一名学生的解题过程进行投影展示。2.3.学生活动：思考教师提问，回答：“只有一个未知数a，所以需要一个点的坐标。”随后独立完成将点(2,4)代入y=ax²，得到4=a×2²，从而解出a=1的整个过程。3.4.即时评价标准：1.能否清晰说出“一个系数需要一个方程（一个点）”的对应关系。2.解题过程是否完整呈现“代入计算得出系数”三步。3.计算结果是否正确。4.5.形成知识、思维、方法清单：★核心概念：待定系数法的本质是方程思想。将函数图象上的点坐标代入解析式，就得到了关于待定系数的方程。▲关键步骤：“代入”是建立方程的唯一途径。★认知提示：从一次函数到二次函数y=ax²，待定系数个数减少，所需条件（点的个数）也减少，这体现了不同函数内在结构的差异。6.任务二：情境初探，建立模型1.7.教师活动：回归导入情境，将问题具体化：“现在，我们面对更一般的情况：抛物线是y=ax²+bx+c。它有三个待定系数a、b、c。若已知它经过两点，比如我们刚才的A(0,2)和B(3,5)，能否确定它的表达式？为什么？”引发学生认知冲突。接着引导：“别急着说答案，先思考一下，把A、B两点坐标分别代入这个一般式，我们会得到什么？”组织学生以小组形式进行代入，并观察得到的两个方程。2.8.学生活动：小组讨论。将A(0,2)代入，得到c=2；将B(3,5)代入，得到9a+3b+c=5。他们发现两个方程包含三个未知数，无法直接解出唯一解。产生疑问：“条件不够？”3.9.即时评价标准：1.小组成员能否协作完成坐标代入。2.能否正确列出两个方程。3.能否发现方程数量与未知数数量不一致，并提出疑惑。4.10.形成知识、思维、方法清单：★核心难点：已知两点坐标，代入二次函数一般式y=ax²+bx+c，只能得到两个关于a、b、c的独立方程。★重要原理：三元一次方程组需要三个独立方程才有唯一解。▲思维引导点：当条件与目标不匹配时，意味着我们需要寻找“隐藏条件”或调整“目标形式”。这是激发探究欲望的关键时刻。11.任务三：方法建构，突破难点1.12.教师活动：承接学生的疑惑，进行点拨：“大家发现了一个大问题！两点坐标似乎不够确定一般式。这是否意味着我们的问题无解？让我们换个角度想：篮球出手的瞬间，篮球在运动员手中，这个点有什么特别？”（提示高度从手开始）。引导学生关注点A(0,2)的横坐标为0。“横坐标为0的点在图象的什么位置？……对，在y轴上。也就是抛物线与y轴的交点。在y=ax²+bx+c中，当x=0时，y等于什么？”学生答c。教师欣喜道：“太棒了！所以点A(0,2)其实直接告诉了我们什么？c=2！这不是一个‘普通’的点，它是一个给出了系数c具体值的‘特殊’点！”进而总结：“所以，当我们已知一个点是抛物线与y轴交点时，实际上我们就直接获得了常数项c的值。现在，请利用c=2，和点B的坐标，再去建立一个关于a和b的方程。”2.13.学生活动：跟随教师引导，豁然开朗。意识到点A的特殊性。将c=2代入之前得到的方程9a+3b+c=5，得到9a+3b+2=5，即9a+3b=3，化简为3a+b=1。学生再次困惑：“现在是一个方程，两个未知数a和b，还是解不出来啊？”3.14.即时评价标准：1.能否理解“与y轴交点”这一几何特征对应的代数意义（直接得c）。2.能否正确利用c的值简化方程。3.能否提出新的、更深层次的疑问。4.15.形成知识、思维、方法清单：★核心知识：二次函数y=ax²+bx+c与y轴的交点坐标是(0,c)。▲易错点：学生常误以为任何两点代入一般式都能求解，忽略点的位置特征分析。★方法进阶：分析点的坐标特征（如是否在y轴、顶点、x轴上）是简化问题的关键一步。16.任务四：柳暗花明，策略生成1.17.教师活动：欣赏学生的困惑，并揭示核心：“看来，即便有一个特殊点，已知两点坐标仍然无法确定所有三个系数。但这恰恰是现实世界的普遍情况——两点只能确定一条直线，但要确定一条抛物线，通常需要三个点。而我们今天标题是‘已知两点’，这意味着什么？”停顿，让学生思考。“意味着这两点‘足够特殊’，或者，我们求的二次函数表达式本身是‘特殊形式’！比如，如果我们已知的抛物线顶点在原点，那么它的形式就是？”引导学生回到任务一的y=ax²。再进一步：“如果顶点不在原点，但已知其中一点就是顶点呢？或者，如果抛物线对称轴是y轴呢？在这些‘特殊形式’下，待定系数减少了，两点就足够了。所以，本节课的精髓，不仅是代入计算，更是‘根据条件，选择恰当形式的解析式来设’！”然后，给出明确任务：“请看学习单上的例题1：已知抛物线顶点为(1,2)，且过点(3,4)。请你尝试求其表达式。思考：该设哪种形式？”2.18.学生活动：聆听教师讲解，经历“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的思维转折。理解“两点求表达式”的前提是函数形式已因附加条件（如顶点已知）而简化。针对例题，他们根据顶点坐标，选择设顶点式y=a(x1)²2，再将点(3,4)代入，得到关于a的方程，顺利解出a=1.5，从而得到解析式。3.19.即时评价标准：1.能否理解“两点确定”的前提是函数为特殊形式（如y=ax²或已知顶点设顶点式）。2.面对顶点已知的条件，能否主动选择顶点式。3.解题过程是否规范、准确。4.20.形成知识、思维、方法清单：★核心方法：求二次函数表达式，应先分析条件（点的特征），再选择设表达式形式（一般式、顶点式、交点式）。★本节课重点模型：已知顶点(h,k)及另一点，设顶点式y=a(xh)²+k求解；已知抛物线关于y轴对称（即顶点在y轴上，b=0）及一点，可设y=ax²+c求解。▲思维跃迁：从“机械代入”到“策略选择”，体现了高阶思维。★注意事项：顶点式中的h和k是顶点坐标，代入时需注意符号。第三、当堂巩固训练1.设计分层任务：1.2.基础层（全员必做）：1.已知抛物线y=ax²经过点(2,8)，求a的值及函数表达式。2.已知抛物线顶点在原点，且过点(2,12)，求函数表达式。（师：“这两道题，检验我们是否抓住了最简单形式的本质。”）2.3.综合层（大部分学生完成）：已知抛物线顶点为(1,4)，且经过点(1,0)，求这个二次函数的表达式。（师：“这里没有直接说对称轴，但‘顶点’二字就是最明确的信号。你想怎么设？”）3.4.挑战层（学有余力选做）：已知某二次函数图象的对称轴为直线x=2，且图象经过点(0,3)和点(3,6)，求该函数的表达式。（师：“对称轴是x=2，这个信息等价于告诉了我们什么？能否转化为我们熟悉的‘特殊形式’？勇敢尝试一下。”）5.反馈与讲评：1.6.学生独立练习约8分钟，教师巡视，搜集典型解法与错误。2.7.通过投影展示不同层次的正确解答，尤其展示挑战题的不同思路（如利用对称轴公式x=b/2a=2结合两点列方程组，或设顶点式为y=a(x2)²+k再代入两点）。3.8.针对普遍性错误（如顶点式设错符号、解方程粗心）进行集中点评。组织小组内交换批改基础层题目，并依据评价量规进行简单互评。第四、课堂小结1.知识结构化：教师引导学生共同回顾，利用思维导图梳理本课核心：“我们今天解锁了‘两点求二次函数表达式’的密码。密码的关键在于——先看形式再设元。如果形式是y=ax²，一点即可；如果已知顶点，就设顶点式，两点中的另一点用于求a；如果……（留白）。”请学生代表补充。2.方法反思：提问：“回顾整个过程，待定系数法的基本步骤是什么？与一次函数相比，处理二次函数时我们需要额外关注什么？”引导学生总结出“审（条件）、设（形式）、代（坐标）、解（方程）、答（解析式）”五步，并强调“审”和“设”的决策重要性。3.作业布置与延伸：公布分层作业（详见第六部分）。并留下思考题：“如果只告诉我们抛物线经过两个普通的点，比如(1,2)和(2,3)，我们能确定一个二次函数吗？如果不能，至少我们可以确定什么信息？下节课我们将继续探讨。”六、作业设计1.基础性作业（必做）：1.课本对应节次的基础练习题。2.自行编写一道“已知顶点和另一点坐标，求二次函数表达式”的题目并解答。2.拓展性作业（建议完成）：查阅或观察生活中的一条抛物线轨迹（如拱桥、喷泉），尝试建立坐标系，测量或假设两个关键点的坐标（至少一个点具有特殊位置，如顶点或端点），并求出其近似的二次函数表达式，撰写简要的“数学发现报告”。3.探究性/创造性作业（选做）：探索：在平面直角坐标系中，给定两个点，有多少条抛物线（二次函数图象）可以同时经过它们？尝试画出草图或通过代数方法说明你的结论。（提示：考虑不同开口方向和大小的抛物线）七、本节知识清单及拓展1.★待定系数法：一种通过设定含有未知系数的函数模型，代入已知条件建立方程（组），从而求解未知系数的数学方法。它是沟通函数“形”与“数”的桥梁。2.★核心前提：“已知两点求二次函数表达式”成立的前提是，该二次函数具有特殊形式（如y=ax²或y=ax²+c），或已知额外条件（如顶点坐标、对称轴），使得待定系数个数减少至两个或一个。3.★关键步骤——审与设：审题，分析所给点的坐标特征（是否在y轴、是否为顶点等）。根据特征，选择设：1.y=ax²（顶点在原点）；2.y=ax²+c（顶点在y轴上，对称轴为y轴）；3.y=a(xh)²+k（已知顶点坐标(h,k)）。4.★求解流程：①设出恰当形式的解析式；②将已知点的坐标依次代入解析式，得到方程（组）；③解方程（组），求出待定系数；④将求出的系数代回所设解析式，得到最终答案。5.▲易错点1——顶点式代入：代入顶点坐标时，解析式设为y=a(xh)²+k，其中h、k即为顶点坐标，注意符号。例如，顶点(1,2)应代入为y=a(x1)²+(2)，即y=a(x1)²2。6.▲易错点2——计算失误：解二元或一元方程时需仔细，建议将解出的系数代回原方程检验。7.★与y轴的交点：对于y=ax²+bx+c，令x=0，则y=c。故图象与y轴交点坐标恒为(0,c)。这是一个重要的隐含条件。8.▲知识联系：该方法与七年级学习的“二元一次方程组”解法、八年级的“一次函数待定系数法”一脉相承，是方程思想在函数领域的深化应用。9.★数学思想：本节主要体现方程思想（将几何条件转化为代数方程）和模型思想（为实际问题建立二次函数模型）。10.▲拓展思考：若两点均为普通点，无法唯一确定一个一般二次函数，但可以确定一个二次函数系数的关系式，或确定无数条开口大小、方向不同的抛物线。这为高中圆锥曲线的学习埋下伏笔。11.★应用价值：在物理（抛体运动轨迹）、工程（抛物线拱桥设计）、经济（最优化问题）等领域有广泛应用，是数学建模的基础工具之一。12.▲学法指导：建立“条件形式选择”对照表，有助于快速决策。多练习从具体问题中识别“顶点”、“对称轴”、“与y轴交点”等关键信息。八、教学反思1.本节课围绕“已知两点求二次函数表达式”这一核心任务，力图实现从知识传授到素养培育的转变。从预设目标看，大部分学生通过“冲突探究建构”的历程，基本掌握了在特定条件下运用待定系数法的技能，并在任务四中初步展现了根据条件选择解析式形式的策略意识，知识目标与能力目标达成度较高。情感目标在导入的生活情境与最终的“数学发现报告”作业中有所渗透，但课堂中间过程的紧张探究可能冲淡了部分学生对数学应用价值的持续感受。2.各环节有效性评估：导入环节的“投篮轨迹”成功激发了兴趣，并将问题自然锚定在“确定抛物线”上。新授环节的四个任务构成了逻辑严密的认知阶梯：任务一实现平稳迁移；任务二故意制造“条件不足”的认知冲突，是激发深度思考的转折点；任务三通过剖析“与y轴交点”的特殊性，部分化解冲突，但留下新悬念；任务四最终揭示“特殊形式”的前提，完成方法建构。这一“冲突部分解决再揭示”的设计，比直接告知前提更能促进学生思维的主动参与。当堂巩固的分层设计较好地照顾了差异，挑战题虽仅有少数学生完全解出，但启发了更多学生思考对称轴条件的转化运用，思维价值显著。3.学生表现深度剖析：在小组探究任务二中，观察到约70%的小组能顺利列出方程并发现未知数