等量代换的智慧：从曹冲称象到生活称重-青岛版三年级上册数学教学设计

等量代换的智慧：从曹冲称象到生活称重——青岛版三年级上册数学教学设计一、教学内容分析

本节课隶属于“量与计量”领域，是学生在初步认识了质量单位“克”与“千克”并具备简单称重经验后的思维进阶课。从《义务教育数学课程标准（2022年版）》解构，其知识图谱的核心在于理解并初步应用“等量代换”这一基本数学思想。它并非孤立的知识点，而是连接具体操作称重（技能）与抽象数量关系（思维）的关键枢纽，为后续学习方程思想、函数关系乃至更复杂的逻辑推理奠基。过程方法上，课标强调通过“创设情境、动手操作、合作交流”来引导学生“经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程”，本节课正可依托“曹冲称象”这一经典历史典故，将“化整为零、等量代换”的思维过程转化为学生可参与、可体验的系列探究活动。其素养价值深远：在知识技能层面，发展学生的量感和推理意识；在思维层面，孕育模型意识的雏形——将现实问题（称大象）抽象为数学模型（石头重量等于大象重量），再通过模型求解；在情感与文化层面，感受中国古代先贤的智慧，增强民族自豪感与探究兴趣。

学情诊断需立体考量。三年级学生思维正处于由具体形象向抽象逻辑过渡的关键期。其优势在于：对“曹冲称象”的故事有基本了解，对使用天平、台秤等工具进行简单比较和称重有直接经验，好奇心与动手欲强。潜在的认知障碍在于：难以自发地从故事情节中剥离并形式化“等量代换”的数学本质；在解决稍复杂的代换问题时，容易因数量关系交织而产生思维混乱。因此，教学调适应遵循“具身认知”原理，设计多层次、可操作的材料（如简易天平、积木、水果图卡等），让思维“看得见、摸得着”。通过“前测性”提问（如：“如果没有大秤，只有小秤，怎么知道一袋大米的重量？”）动态把握学生起点，并准备差异化任务单：为思维敏捷者设计逆向或多元代换的挑战题；为需巩固者提供步骤分解清晰、辅以直观学具的支架任务。二、教学目标

知识目标：学生能在具体情境中，理解“等量代换”的含义，即两个相等的量可以相互代替。他们能清晰表述曹冲称象方法中所蕴含的等量代换思想（石头总重量=大象重量），并能在模拟称重、解决简单生活问题中主动应用这一原理。

能力目标：学生通过小组合作探究，经历“提出问题—设计替代方案—动手操作验证—得出结论”的完整过程，发展初步的数学建模能力和逻辑推理能力。他们能够用语言、符号或图示清晰地表达代换过程中的数量关系。

情感态度与价值观目标：学生在重温曹冲称象的故事和解决现代称重难题中，深刻体验转化思想的妙用，感受数学与历史、生活的紧密联系，激发民族自信与持续探究数学奥秘的内在动机。

科学（学科）思维目标：重点发展学生的推理意识和模型意识。引导他们将复杂的现实问题（称庞然大物）转化为一系列可解决的简单问题（称小块石头），并抽象出“总量不变，等量可代”的核心模型，学会用数学的思维方式思考现实世界。

评价与元认知目标：学生能在小组互评和作品展示中，依据“代换方案是否合理、操作过程是否有序、结论表述是否清晰”等量规进行评价。课后，能通过反思日志回顾本课学习路径，总结“等量代换”策略适用的场景与自己的掌握情况。三、教学重点与难点

教学重点：理解并初步掌握“等量代换”的数学思想方法。其确立依据源于课程标准对“数学基本思想”的强调，等量代换是代数思维的基础，也是解决一系列比例、方程问题的底层逻辑。在学业评价中，能否灵活运用等量关系进行推理是区分学生数学思维能力层次的重要指标。

教学难点：学生从具体、感性的操作体验中，抽象概括出普适性的“等量代换”模型，并能在稍复杂的新情境中主动调用该模型解决问题。难点成因在于，三年级学生的抽象概括能力尚在发展中，且代换过程涉及对“等量”关系的双重把握（替代物与被替代物内部的等量、替代物整体与被替代物整体的等量）。突破方向在于搭建丰富的认知阶梯，设计从“物物置换”到“符号代换”的渐进任务链，并提供图形、表格等思维可视化工具作为支撑。四、教学准备清单1.教师准备

1.1媒体与教具：多媒体课件（含曹冲称象动画片段、各类生活称重场景图片）；简易杠杆天平（教师演示用）若干台；实物投影仪。

1.2学习材料包（小组用）：①任务卡（共3个梯度任务）；②操作材料袋（内含：小型电子秤或弹簧秤、一袋未开封的食盐、若干盒形状大小相同的积木、一盆水、一个可放入水盆的密封小容器）；③学习记录单及思维可视化工具（如简易天平示意图、代换关系记录表）。2.学生准备

复习“克与千克”的知识；观察生活中哪些地方需要“称重”；分组（4人异质小组）。3.环境布置

教室桌椅调整为小组合作模式；前后黑板划分区域，分别用于张贴核心问题与小组探究成果展示。五、教学过程第一、导入环节

1.情境冲突，激发疑问：播放一段简短的“现代超市难题”动画：店员想用一个小台秤称出一整个大西瓜的重量，但秤盘太小放不下。“同学们，遇到这种情况，如果是你，会怎么办？开动脑筋想一想。”（预计学生会提出切开来称）“切开来称，是个办法！那大家有没有想过，一千多年前，一个叫曹冲的孩子，遇到了一个更难的‘称重’问题——他要称一头大象！他是怎么解决的呢？”

1.1故事唤醒，聚焦核心：快速回顾曹冲称象的故事核心步骤，并提问：“曹冲的方法妙在哪里？为什么石头重量的总和就是大象的重量？”（引导学生初步说出“因为船下沉的深度一样”）“这里面啊，藏着一个非常重要的数学思想。今天，我们就化身‘小小曹冲’，一起来揭开这个思想的奥秘，看看它在我们的生活中能发挥多大的作用！”

1.2明晰路径：向学生简要勾勒本节课探索路线：“我们先一起琢磨曹冲的妙计，然后用小实验体验其中的道理，最后挑战生活中的‘称重’难题，看看谁能成为‘称重小达人’。”第二、新授环节

本环节以“支架式教学”理念贯穿，设计层层递进的探究任务，引导学生主动建构“等量代换”模型。任务一：回溯经典，初识“等量”

教师活动：首先，通过课件动态图示，引导学生聚焦曹冲方法中的两个关键状态：大象上船后船身下沉的刻度线A，以及石头分批上船直至船身再次下沉到同一刻度线A。提问：“为什么船沉到同一个位置，就能说明大象和石头一样重？”（此处关键引导：水面刻度相同，说明船受到的‘压力’或‘重量’相同）引出核心词“等量”。紧接着，在黑板上用图示建立关系：大象重量=船承载的重量1→石头总重量=船承载的重量2→因为重量1=重量2，所以大象重量=石头总重量。用彩色粉笔标出两个等号，强调“等量是代换的前提”。

学生活动：观看图示，跟随教师引导进行观察与思考。尝试用自己的语言解释“为什么可以拿石头换大象”。在教师板书时，同步在记录单上画出简单的示意图，并标注关键等式。

即时评价标准：1.能否准确指出两次“船身下沉位置相同”是判断的关键。2.在解释时，能否使用“因为…所以…”的句式进行简单的因果推理。3.记录是否抓住了“相等”这个核心。

形成知识、思维、方法清单：★等量代换思想：当两个量相等时，其中一个量可以用另一个量来替换，解决问题的办法就产生了。这是本节课最核心的数学思想。▲理解的关键：代换能否成立，取决于是否找到了可靠的“等量关系”。曹冲利用“船身吃水深度相同”来建立大象与石头之间的等量关系。模型雏形：复杂物体重量→转化为→多个标准物体重量总和。这个过程已经开始建立数学模型。任务二：实验探究，体验“代换”

教师活动：提出挑战：“我们没有大河和大船，但有一盆水和一个密封的小盒子（代表‘船’）。谁能利用这些材料，设计一个实验，来称出这个不规则小盒子（内部已装未知重物）的重量？”分发材料包，巡视指导。重点观察小组是否想到：1.将空盒子放入水中标记水位；2.将盒子拿出，逐渐向水中加入已知重量的标准物（如积木），直到水位上升到标记处；3.记录所用标准物的总重量。对有困难的小组，提示：“想想曹冲是怎么让船回到那条线的？”

学生活动：以小组为单位，领取材料，讨论并动手实验。尝试用水位变化来模拟“船身下沉”，用积木作为“石头”。记录每次添加积木的数量与水位变化，最终通过反复调试，找到使水位达到标记线的积木总数量，从而“称”出盒子的重量。

即时评价标准：1.协作有效性：组内是否有合理分工（操作员、记录员、观察员）。2.方案逻辑性：实验步骤是否清晰，是否体现了“寻找等量（水位）—进行代换（加积木）”的思路。3.操作严谨性：标记水位、轻放物品等操作是否细致。

形成知识、思维、方法清单：★等量关系的多样性：等量关系不仅可以像曹冲那样通过“船身下沉深度”体现，还可以通过“水位上升高度”、“天平平衡”等多种方式体现。▲实验验证思想：数学结论可以通过实验来验证和发现。科学探究步骤：明确问题→设计实验→动手操作→观察记录→分析结论。任务三：天平建模，抽象关系

教师活动：“刚才我们用水做了实验，其实数学上有一个更精准的工具来表示‘等量’——天平。”出示杠杆天平。演示：左盘放一袋食盐（500克），右盘放砝码直至平衡。提问：“现在天平平衡了，说明什么？”（食盐=砝码重量）。然后，将食盐换成若干盒积木（需预先称好每盒重量，如100克/盒），直至天平再次平衡。“哇，现在发生了什么？我们可以怎么说？”引导学生说出：一袋食盐的重量等于5盒积木的重量。进而板书数学关系式：500克=100克×5。

学生活动：观察教师演示，理解天平平衡代表左右两边重量相等。根据演示过程，口头描述代换关系，并尝试用等式表示。部分学生可上前操作，用已知重量的苹果模型去代换天平另一端的橘子模型，并说出关系。

即时评价标准：1.能否将天平平衡的状态语言转化为数学等式。2.在操作中，能否先确认“等量”，再进行“代换”。3.表达是否从“具体物体”向“数字与单位”过渡。

形成知识、思维、方法清单：★天平是等量的直观模型：天平平衡是“等量”最标准、最直观的数学表征。从具象到抽象：将“食盐换积木”的具体操作，抽象为“500克=100克×5”的数学等式，这是数学化的关键一步。▲等式表示法：用等式可以清晰、简洁地表示等量代换的关系，为后续列方程打基础。任务四：挑战升级，应用策略

教师活动：出示“动物乐园称重”情境图：已知1只小狗的重量等于2只小猫的重量，1只小猫的重量等于3只小兔的重量。问题：1只小狗的重量等于几只小兔的重量？提供两种支持：A.提供小猫、小兔的图片卡，供学生摆一摆、画一画；B.提供填空式思维链条图：（）只小兔=1只小猫→（）只小猫=1只小狗→所以（）只小兔=1只小狗。引导学生发现，这是连续的等量代换。

学生活动：学生根据自身情况选择支持方式，独立或结对尝试解决问题。通过操作图片卡或填写思维链，理清“小狗—小猫—小兔”之间的连环代换关系，最终计算出答案。完成后，用语言向同桌讲述自己的推理过程。

即时评价标准：1.策略选择的合理性：是否选择了适合自己的思考工具。2.推理的连贯性：代换步骤是否清晰，有无跳跃或混淆。3.表达的条理性：在讲述时，能否使用“首先…然后…所以…”等连接词。

形成知识、思维、方法清单：★连环等量代换：当两个量不是直接相等，但可以通过第三个“中间量”建立联系时，可以进行连续的等量代换。这是等量代换思想的深化应用。▲中间量（桥梁）思想：找到联系两个未知量的“中间量”是解决此类问题的关键。思维可视化工具：使用图片、链条图等工具，可以让复杂的推理过程变得一目了然，是解决问题的好帮手。任务五：回归生活，评价方法

教师活动：引导学生回顾并总结曹冲方法的价值与局限。“曹冲的方法在当时非常了不起，但如果用我们现代的眼光看，这个方法有没有什么可以改进或者需要注意的地方？”（引导学生思考：石头必须一块一块搬上搬下，效率低；水的波动会影响判断精度等。）“那么，我们今天探索的‘等量代换’思想，在现代生活中有用吗？”展示图片：用已知重量的手机通过“曹冲原理”测量包裹重量（利用快递站的不规则物品称重台）；化学实验中用已知浓度的溶液滴定未知浓度的溶液。

学生活动：展开讨论，辩证地评价古代方法的智慧与历史局限性。联系生活，举例说出可能用到“等量代换”思想的地方（如：用几个硬币凑足一个砝码的重量；用步数测量距离等）。感受数学思想超越时代和工具的生命力。

即时评价标准：1.批判性思维：能否从不同角度评价一个方法。2.知识迁移能力：能否将课堂所学思想与更广阔的生活、科学场景相联系。

形成知识、思维、方法清单：▲辩证看待历史方法：任何方法都有其时代背景下的创造性和局限性，我们要学习其核心思想而非机械照搬。思想的普适性：“等量代换”作为一种基本的数学思想，广泛应用于科学、工程、经济等众多领域，是解决问题的重要工具。创新源于思想：现代许多精密测量技术，其基本原理可能就源于古老的智慧。第三、当堂巩固训练

设计分层、变式练习，提供及时反馈。

基础层（全体必做）：看图填空。①一个菠萝重（）克？（图示：天平一端放1个菠萝，另一端放3个橙子；旁边图示：1个橙子=200克）。②根据天平平衡状态，判断：如果△=□□，○=△△△，那么○=（）个□。（反馈：同桌互换批改，教师投影讲解易错点）

综合层（大部分学生完成）：解决“水果代换”问题。已知：2个苹果的重量等于1个梨的重量，4个桃子的重量等于1个苹果的重量。问：1个梨的重量等于几个桃子的重量？（提供画图或列表格两种方法提示）（反馈：选取不同方法的学生上台讲解思路，比较优劣。）

挑战层（学有余力选做）：“神秘盒子”挑战。一个盒子放在天平左盘，右盘放300克砝码，天平平衡。现在将盒子打开，取出里面一半的物品放在右盘，天平依然平衡。请问：盒子里原来的物品重多少克？盒子本身重多少克？（反馈：课后提交思路简述，下节课前展示优秀解法。）第四、课堂小结

1.结构化总结：“同学们，今天我们这趟‘称重’之旅收获满满。谁能用一棵‘智慧树’的形式，来总结一下我们的收获？”引导学生梳理：树根是“曹冲称象的故事”；树干是“等量代换”思想；树枝可以是“找等量关系”、“用天平模型”、“连环代换”等方法；树叶则是我们解决的各种问题。

2.元认知反思：“在今天的活动中，你觉得哪个环节最有挑战？你是用什么办法克服的？”、“如果让你用一句话告诉弟弟妹妹什么是‘等量代换’，你会怎么说？”鼓励学生反思学习过程，提炼核心认知。

3.作业布置与延伸：公布分层作业（详见第六部分）。并提出延伸思考：“除了称重量，等量代换的思想还能用来解决哪些问题？比如，测量长度、计算时间？找找生活中的例子，我们下次课分享。”六、作业设计

基础性作业（必做）：

1.完成课本第X页“自主练习”中关于等量代换的基础题。

2.向家人讲述曹冲称象的故事，并重点说明其中包含的数学道理。

拓展性作业（建议完成）：

3.【生活小调查】家里有哪些东西在需要知道重量时，是不方便直接放在秤上的？你能想出用“等量代换”的办法来解决吗？（例如：一大桶油的重量）把你的想法画下来或写下来。

探究性/创造性作业（选做）：

4.【我是小小设计师】请你利用“等量代换”的原理，设计一个可以测量自己书包重量的“家庭小实验”。写出需要的材料、步骤，并可以实际动手试一试，记录结果。七、本节知识清单及拓展

★1.等量代换思想：这是本节课最核心的数学思想。指的是如果两个量相等（A=B），那么在任何公式或情境中，A都可以用B来替换，B也可以用A来替换，而不会改变原有的数量关系。它是解决许多数学问题（尤其是代数问题）的基石。

★2.代换的前提——等量关系：进行代换，必须首先确凿地建立起“等量”关系。曹冲是通过“船身下沉深度相同”来建立大象与石头之间的等量关系。生活中，天平平衡、价格相等、长度相同等都可以构成等量关系。

★3.天平模型：天平是表示等量关系最直观、最标准的数学模型。当天平平衡时，左盘物体总质量等于右盘物体总质量。这个模型将抽象的“相等”变得可视化。

▲4.从操作到抽象：学习数学的一个重要过程是从具体操作（如搬石头、加水）中，抽象出一般的数学关系（如等式）。要学会用数字、符号和图形来表示具体的代换过程。

★5.连环等量代换（桥梁法）：当两个量（如A和C）没有直接相等的关系时，可以寻找一个或多个“中间量”（B），使得A=B且B=C，从而推导出A=C。这个“中间量”就像一座桥梁。

▲6.思维可视化工具：在解决复杂的代换问题时，使用画图（如实物图、线段图）、列表格、写等式链等方法，可以帮助我们理清思路，避免混乱。例如，用圆圈、方块代表不同物体，用箭头表示等量关系。

▲7.曹冲方法的再审视：从数学思想上看，曹冲的方法体现了“转化与化归”——将无法直接测量的大象重量，转化为可以测量的石头重量。但从操作上看，该方法受当时技术条件限制，存在效率、精度等问题。学习古人智慧，重在领悟其思想精髓。

▲8.等量代换的应用领域：该思想远超“称重”范畴。在化学中计算物质质量比，在经济学中进行货币兑换，在几何中证明图形全等（对应边、角相等），在计算机编程中进行变量赋值，其底层逻辑都包含着等量代换。八、教学反思

（一）目标达成度评估本节课的核心目标是让学生理解并初步应用“等量代换”思想。从“当堂巩固训练”的完成情况看，约85%的学生能独立解决基础层和综合层问题，表明对思想的基本理解已达成。挑战层问题有约15%的学生尝试并给出了部分正确思路，展现了良好的思维延展性。情感目标在课堂热烈的讨论和对生活实例的踊跃列举中得到充分体现，学生眼中闪烁着发现数学与现实联系的兴奋光芒。“没想到我家的电子秤也可以玩‘曹冲称象’！”一位学生的课后感言，正是素养目标落地的生动注脚。

（二）环节有效性分析“回溯经典”任务成功激活了学生的前认知，但部分学生仅停留在故事复述层面。下次需在问题设计上更聚焦，如直接提问：‘故事里，曹冲找到的，连接大象和石头的‘相等’的东西到底是什么？’“实验探究”环节是高潮也是难点，小组间差异明显。有的组迅速抓住“水位标记”关键，有的组则沉迷于玩水。巡视时的差异化指导至关重要：对快速完成组，追问“如果盒子本身有重量怎么考虑？”；对困难组，则提供更具体的步骤卡片。这提醒我，开放性探究任务必须配备清晰的分层指引。“天平建模”环节实现了从感性到理性的关键跨越，实物演示结合板书等式，效果显著。