2025-2026学年长沙市第一中高二上学期第二次阶段检测（12月）（学生版+解析版）

2025—2026学年长沙市第一中高二上学期第二次阶段检测(12月)时量：120分钟满分：150分一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设集合A={x|x²+x-3C.(-1,1)D.(-4,1)2.若复数z满足(1+2i)z=10i,则z的虚部为()A.4B.2i3.曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线方程为()A.y=3x-2B.y=x+1C.y=2x-14.已知数列{a}是等比数列，数列{b}是等差数列，若aa₃a₅=3√3,,则的值为()A5.VABC的内角A,B,CB的对边分别为a,b,c,的部分图象大致为(若VABC的面积为,则C=)A.7.已知双曲线一条渐近线方程为3x-2y=0,双曲线的左焦点在直线动点，直线PA,PB的斜率分别为k₁,k₂,则k₁+k₂的取值范围为()A.(1,+∞)B.[1,+∞]C.(3,+∞)8.若函数上有两个零点，则实数m的取值范围为()二、选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)9.在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，侧棱AA₁垂直于底面ABCD,下列结论正确的是()C.若A₁D=A₁B,则BDI平面ACC₁AD.若AD=AA₁,则AD₁⊥平面DA₁B₁C表示一次实验结果.记事件A:“a=4”,B:“a+b>10”,C:“b<3”,D:“ab>20”,A事件B与C互斥B.事件C与D对立11.已知抛物线y²=2px(p>0)的焦点为F,AB是经过抛物线焦点F的弦，M是线段AB的中点，分别下列说法正确的是()A.NF⊥ABC直线NA与NB不一定垂直三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)13.已知函数f(x)=x(x-c)²有极大值32,则实数c的值为14.若数列{a}满足a₁=a₂=1,aₙ+am+1+an+2=(n+1)²(n∈N⁴)则a₂0=四、解答题(本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(1)讨论函数f(x)=kx-Inx的单调性并求极(2)证明不等式：(1)记bₙ=ana+,求数列{bn}的通项公式；(2)记Cₙ=log₂an-log₂a+,求数列{c}前n项的和Tₙ.17.如图，在Rt△ABC中，BC=2AB=2,现将Rt△ABC绕直角边AC旋转一周得到一个圆锥，BD为底面圆的直径，点P为圆锥的内切球0与CD的切点，E为的中点.B(1)求点P到平面BCE的距离；(2)求平面BCE与平面PAE所成夹角的余弦值.(1)求函数f₃(x),f₄(x)的零点个数；(2)记f(x)在(0,+)上的零点为xn,求证；19.已知圆O:x²+y²=r²,椭圆E·点P(x₀,y。)为圆0上任意一点，过点P作圆0切线与椭圆E交于A,B两点.(2)直线AB关于原点O的对称直线与椭圆E交于C,D两点，是否存在r,使四边形ABCD为菱形.2025—2026学年长沙市第一中高二上学期第二次阶段检测(12月)时量：120分钟满分：150分一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) A.(-1,1)B.(C.(-1,1)【解析】【详解】集合A={x|x?+x-<2.若复数z满足(1+2i)z=10i,则z的虚部为()A.4B.2i【解析】【详解】由(1+2i)z=10i,则则z的虚部为2.A.y=3x-2B.y=x+1C.y=2x-1【解析】【详解】曲线y=x+lnx,所以,在点(14.已知数列{aₙ}是等比数列，数列{bₙ}是等差数列，若aa的值为()【答案】A【解析】【分析】先应用等差数列及等比数列的项的性质结合已知得出a₃=√3,求解.,再结合特殊角的余弦计算C【详解】因为数列{a}是等比数列，数列{bₙ}是等差数列，且C则【答案】C【解析】所以a²+b²-c²=2absinC故选C.【解析】【详解】由f(x)=e-cosx,则f'(x)=eˣ+sinx,排除除选项BA.(1,+∞)B.[1,+C.(3,+∞)【解析】答案.代入可得-c+0+√13=0,解得c=√13,且a²+b²=c²,【解析】【分析】令g(x)=x²-2lnx,判断g(x)的单调性和极值，根据g(x)=m有两解得出m的范围.【详解】令f(x)=m-x²+2lnx=0,则m=x²-2lnx,令g(x)=x²-2lnx,,,则实数m的取值范围二、选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)9.在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，侧棱AA₁垂直于底面ABCD,下列结论正确的是()A.若AB=AD,则AC⊥BD₁C.若A₁D=A₁B,则BDI平面ACC₁A₁D.若AD=AA₁,则AD₁⊥平面DA₁B₁C【答案】AC【解析】【分析】根据线面垂直的判定定理与性质定理依次对选项进行判断即可.【详解】对于选项A,AA₁⊥平面ABCD,且AA₁//BB₁,所以BB₁⊥平面ABCD,又因为ACc平面BD∩BB₁=B,BD,BB₁c平面DBB₁D₁,则AC⊥平面DBB₁D₁,对于选项C,设AC与BD交于点0,由A₁D=A₁B,0为BD中点，得A₁O⊥BD,因为AA⊥平面ABCD,因为BDc平面ABCD,所以A₁A⊥BD,因为AA₁∩A₁O=A₁,AA₁,A₁Oc平面ACC₁A₁,对于选项D,因为AD=AA₁,所以四边形ADD₁A为正方形，所以AD₁⊥A₁D,而AD₁与A₁B₁不一定表示一次实验结果.记事件A:“a=4”,B:“a+b>10”,C:“b<3”,D:“ab>20”,C.事件B发生的概率为D.事件A与D相互独立【解析】【分析】列举出事件A、B、C、D所包含的基本事件，利用互斥事件的定义判断A;利用对立事件的定义判断B;应用古典概型计算判断C,利用独立事件的定义判断D.对于B,CnD=,即事件C与D互斥，而事件C与D可以同时不发生，对于C,事件B包含的基本事件有：(5,6),(6,6),(6,5),共3个基本事件，对于D,事件A包含6个基本事件，故;事件D包含6个基本事件，故事件AD包含的基本事件为(4,6),共1个，古因为(AD),所以事件A与D相互独立，D正确.11.已知抛物线y²=2px(p>0)的焦点为F,AB是经过抛物线焦点F的弦，M是线段AB的中点，分别经过点A,B,M作抛物线的准线I的垂线AC,BD,MN,垂足分别是C,D,N,连接NF,NB,NA,则下列说法正确的是()A.NF⊥ABB.直线NA,NB均与抛物线相切C.直线NA与NB不一定垂直【解析】【分析】由向量积为零判断A,由切线方程代入验证点在切线上判断B,由切线斜率乘积恒为-1判断C,由通径情形取最小值并结合函数单调性判断D.【详解】如图所示，设焦点,准线l,设过F由抛物线过焦点弦的性质得y₁y₂=-p²,M为ABB选项，抛物线y²=2px在点处的切线方程是：yy₁=p(x+xA)所以抛物线在点A的切线斜率为直线NA的斜率：,由已知Y₁V₂=-p²得p²=-Y1y₂,代入分母：y²+p²=y²-yY₂=y(y₁-y₂)(Y₁≠同理可证NB是抛物线在点B的切线，B正确.C选项，由B知，代入y₁y₂=-p²得kNA·所以NA⊥NB恒成立，C错误.D选项，由选项A和C可知：NF◆AB且NA◆NB,在直角三角形ANB中，有|NA|.·|NB|=|AB|·|NF|,设AB的倾斜角为θ,由抛物线焦点弦性质：,三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)【答案】2【解析】【分析】根据向量垂直得出数量积为0,再应用模长公式及性质计算求解.所以m²-4=0,所以m=2.故答案为：2.13.已知函数f(x)=x(x-c)²有极大值32,则实数c的值为【答案】6【解析】【分析】对函数求导，令导数为0,求出极值点，分情况讨论函数的单调性，得出相应的极值点并结合已知极大值计算求解.【详解】∵f(x)=x(x-c)²=x³-2cx²+c²x,求导得f(x)=3x²-4cx+c²=(3x-c)(x-c),上f(x)<0,上f(x)<0,【解析】所以a₂0=(a₂0-a₁₇)+(a₇-a₄)+=(2×17+3)+(2×14+3)+…+(故答案为：133.四、解答题(本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(1)讨论函数f(x)=kx-lnx的单调性并求极值，【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析；【解析】【详解】(1)函数f(x)=kx-lnx,定义域为(0,+∞),所以(2)设函数,定义域为(0,+o),所以g(x)≥0,所以16.已知数列{a}的前n项和为S,且(n∈N,n≥2),a₁(1)记bₙ=ana+,求数列{bn}的通项公式；(2)记Cₙ=log₂an-log₂a+,求数列{c}前n项的和Tₙ.【解析】式bn;(2)利用对数公式可得Cn=log₂an-log₂,再利用(1)中bn的通项公式，即可得到Cn的【小问1详解】当n≥2(n∈N*)时，Sₙ-S₋1=a,又因为,所以,化简得：因为b=aan+1,所以bn-bn-1=2,所以b,为等差数列，且公差为2,【小问2详解】由(1)得：bn=anan+1=2n,bn+1=an+1an+2=2(n+1);,所一个圆锥，BD为底面圆的直径，点P为圆锥的内切球O与CD的切点，E为的中点.(2)求平面BCE与平面PAE所成夹角的余弦值.【答案】(1)【解析】【分析】(1)由题中几何条件，得出P是CD中点，再建立空间直角坐标系，分别求出PB和平面BCE的一个法向量，最后应用点到平面距离公式计算求解；(2)建立空间直角坐标系，分别求出平面BCE与平面PAE的一个法向量，再利用空间向量求出面面角，从而可求解.【小问1详解】∵球O是圆锥的内切球，∴DP=DA,∵BD为底面圆的直径，又因为BC=2,BA=1,所以△BCD是等边三角形，以点A为原点，AE,AB,AC所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图所示，设平面BCE的一个法向量为m=(x,y,z),设点P到平面BCE的距离为d,【小问2详解】因为设平面PAE的一个法向量为n=(a,b,c),设平面BCE与平面PAE所成夹角为θ平面BCE与平面PAE所成夹角的余弦值为.(1)求函数f₃(x),f₄(x)的零点个数；(2)记f(x)在(0,+)上的零点为xn,求证；【答案】(1)f₃(x)有1个零点，f₄(x)有2个零点；(2)证明见解析【解析】【分析】(1)利用导数研究函数f₃(x),f₄(x),结合零点的存在性定理可求解零点；(2)(i)易知x₁=1,当n≥2时可得fn+(x)>f+(xa+1),利用f,(x)的单调性解不等式可得xn+1<xn,即可证明；(ii)由(i),求和可得,求和计算即可证明.【小问1详解】所以函数f₃(x)在R上单调递增，又f₃(0)=-1<0,f₃(1)=2>0,设h(x)=4x³+3x²+2x+1,则h'(x)=12x²+6x+2>0,函数f4(x)在R上单调递增，f4(O)=1,f4(-1)=-2,f4(x)在(-1,0)内有1个零点，记作x₀,且f₄(-2)=9,f₄(0)=-1,f₄(1)=3,根据零点的存在性定理可f₄(x)有2个零点.所以f₃(x)有1个零点，f₄(x)有2个零点；小问2详解】则fn+(x)=x”+¹+x“+…+x,-1=x”+¹>0=f+(xn+1),故xn+1<xn,所以数列{xn}是一个递减数列；当n≥2时，求和可得当且仅当n=1时等号成立；当n≥2时，即0<x<1,x₁+x₂+…+x≤n,当且仅当n=1时等号成立；19.已知圆O:x²+y²=r²,椭圆·点P(x₀,y。)为圆0上任意一点，过与椭圆E交于A,B两点.【答案】(1)(i)证明见解析；(ii)(2)存在，【解析】在时，根据弦长公式求得|AB|,再由点O到直线AB的距离d=r,求得SOAB,通过t=√2x²+1,换元，利用对勾函数单调性即得其范围，再验证AB斜率不存在时的情况即可；(2)假设存在r,使题设成立，结合菱形的性质可知OA⊥OB