第十章第64节二项分布与超几何分布

第64节二项分布与超几何分布考试要求考题分析1.理解n次独立重复试验的模型及二项分布.2.理解两点分布和超几何分布的意义,并能进行简单的应用.年份新高考Ⅰ卷新高考Ⅱ卷2022年--2023年T21-2024年--【主干梳理基础落实】【知识梳理】一、二项分布1.伯努利试验只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验;将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验.2.二项分布一般地,在n重伯努利试验中,设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1),用X表示事件A发生的次数,则X的分布列为P(X=k)=Cnkpk(1-p)n-如果随机变量X的分布列具有上式的形式,则称随机变量X服从二项分布,记作X~B(n,p).3.两点分布与二项分布的均值、方差(1)若随机变量X服从两点分布,则E(X)=p,D(X)=p(1-p).(2)若X~B(n,p),则E(X)=np,D(X)=np(1-p).二、超几何分布一般地,假设一批产品共有N件,其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件产品中的次品数,则X的分布列为P(X=k)=CMkCN-Mn-kCNn,k=m,m+1,m+2,…,r,其中,n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,m=max{0,n-N+M},r=min{n[注意点]超几何分布与二项分布的关系若将超几何分布的概率模型改成:若有N件产品,其中M件是次品,有放回地任意抽取n件,则其中恰有的次品件数X是服从二项分布的.【常用结论】1.当X~B(n,p)时,P(X=k)的最大值:若(n+1)p是正整数,则k=(n+1)p或k=(n+1)p-1时,P(X=k)取得最大值;若(n+1)p不是正整数,则k=[(n+1)p](不大于(n+1)p的最大整数)时,P(X=k)取得最大值.2.超几何分布有时也记为X~H(n,M,N),其均值E(X)=nMN,方差D(X)=nMN(1-MN)(1-【知能自测】类型回源教材澄清盲点结论应用题号31,421.(易错辨析)正确的画“√”,错误的画“×”.(1)从4名男演员和3名女演员中选出4人,其中女演员的人数X服从超几何分布. ()(2)n重伯努利试验中各次试验的结果必须相互独立. ()(3)超几何分布与二项分布的期望值相同. ()(4)二项分布是一个概率分布,其公式相当于(a+b)n二项展开式的通项公式,其中a=p,b=1-p. ()【解析】(1)√(2)√(3)√(4)×2.一班级共有50个学生,其中女生有10个,现在学校开展志愿者活动,需要安排20个学生,现在根据学号随机从本班选取20个学生,选到的女生可能有X个,则E(X)= ()A.4 B.3 C.2 D.1【解析】选A.由题意,E(X)=10×2050=43.(选择性必修第三册P77·练习T2变式)接种疫苗是预防和控制传染病最经济、有效的公共卫生干预措施.根据试验数据,人在接种某种病毒疫苗后,有80%的可能不会感染这种病毒,若有4人接种了这种疫苗,则最多1人被感染的概率为 ()A.512625 B.256625 C.113625【解析】选A.由题得最多1人被感染的概率为C40(45)4+C41(15)4.某市政道路两旁需要进行绿化,计划从甲、乙、丙三种树木中选择一种进行栽种,通过民意调查,赞成栽种乙树木的概率为13.若从该地市民中随机选取4人进行访谈,则至少有3人建议栽种乙树木的概率为________【解析】设建议栽种乙树木的人数为随机变量X,由题意可知X~B(4,13所以至少有3人建议栽种乙树木的概率P=C43(13)3·23+C44(答案:1【考点探究核心突破】考点一n重伯努利试验及其概率【例1】(1)机械研究所对新研发的某批次机械元件进行寿命追踪调查,随机抽查的200个机械元件情况如表:使用时间/天10~2021~3031~4041~5051~60个数1040805020若以频率估计概率,现从该批次机械元件中随机抽取3个,则至少有2个元件的使用寿命在30天以上的概率为 ()A.1316 B.2764 C.2532【解析】选D.由题意可知,该批次每个机械元件使用寿命在30天以上的概率为34,因此,从该批次机械元件中随机抽取3个,至少有2个元件的使用寿命在30天以上的概率为P=C32×(34)2×14+C33(2)一袋中装有5个白球,3个红球,则从袋中往外取球,每次取出一个,记下球的颜色,然后放回,直到红球出现10次停止,用X表示取球的次数,则P(X=12)=_________________(填表达式).

【解析】一次取球取到红球的概率为38,取到白球的概率为58,前11次取球是11次独立重复试验,“取到红球”的事件发生9次,其概率是C119×(38)9×(58)2.第12次取到红球的概率是38,由相互独立事件同时发生的概率乘法公式,得P(X=12)=C119×(38)9×(58)2×3答案:C119×(58)2×(思维升华n重伯努利试验概率求解的策略(1)先判断问题中涉及的试验是否为n重伯努利试验,判断时注意各次试验之间是否相互独立,并且每次试验的结果是否只有两种,在任何一次试验中,某一事件发生的概率是否都相等,全部满足n重伯努利试验的要求才能用相关公式求解.(2)解此类题时常用互斥事件概率加法公式,相互独立事件概率乘法公式及对立事件的概率公式.对点训练(2023·衡水模拟)一个口袋内有nn>3个大小相同的球,其中3个红球和n-3个白球,已知从口袋中随机取出1个球是红球的概率为p,6p∈N,若有放回地从口袋中连续4次取球(每次只取1个球),在4次取球中恰好2次取到红球的概率大于827,则【解析】因为4次取球中恰好2次取到红球的概率大于827,所以C42p21-p2>827,所以p21-p2>481所以13<p<23,所以2<6p<4,又因为6p∈N,所以6p=3,所以p=12.又因为从口袋中随机取出1个球是红球的概率为p=12,所以3n=1答案:6考点二二项分布角度1二项分布的性质【例2】(1)已知随机变量ξ~B(12,p),且E(2ξ-3)=5,则D(3ξ)= ()A.83 B.8 C.12 D.【解析】选D.因为E(2ξ-3)=2E(ξ)-3=2×12p-3=5,所以p=13,故D(3ξ)=32D(ξ)=9×12×13×(1-1(2)在一次国际大型体育运动会上,某运动员报名参加了其中3个项目的比赛.已知该运动员在这3个项目中,每个项目能打破世界纪录的概率都是23,那么在本次运动会上①求该运动员至少能打破2项世界纪录的概率;②若该运动员能打破世界纪录的项目数为X,求X的分布列及均值.【解析】①依题意知,该运动员在每个项目上“能打破世界纪录”为独立事件,并且每个事件发生的概率相同.设“该运动员至少能打破2项世界纪录”为事件A,则有P(A)=C32(23)2(1-23)+②由①可知X~B(3,23则P(X=0)=C30(1-23)3P(X=1)=C3123(1-23P(X=2)=C32(23)2P(X=3)=C33(23)3=X0123P1248所以均值E(X)=3×23=2思维升华二项分布问题的解题关键定型①在每一次试验中,事件发生的概率相同.②各次试验中的事件是相互独立的.③在每一次试验中,试验的结果只有两个,即发生与不发生.定参确定二项分布中的两个参数n和p,即试验发生的次数和试验中事件发生的概率.[提醒]下列问题能转化为二项分布.(1)条件不变,重复进行试验,一般取球后再放回;(2)该地区人数多或不知总体,从中抽取几个;(3)某产品服从正态分布,若干个产品服从二项分布;(4)用频率表示概率,有时转化为二项分布.对点训练1.(2024·长沙模拟)若X~B(100,13),则当k=0,1,2,…,100时 (A.P(X=k)≤P(X=50)B.P(X=k)≤P(X=32)C.P(X=k)≤P(X=33)D.P(X=k)≤P(X=49)【解析】选C.由题意,得P即C100k13k23100-k≥C100k-113k-123101-k2.(2025·兰州模拟)某地区教研部门开展高三教师座谈会,每名教师被抽到发言的概率均为p,且是否被抽到发言相互独立,已知某校共有8名教师参加座谈会,记X为该校教师中被抽到发言的人数,若D(X)=169,且E(X)>4,则E(X)=________【解析】由题意得,每名教师被抽到发言的概率均为p,且是否被抽到发言相互独立,所以随机变量X~B(8,p),因为D(X)=169,所以8p(1-p)=16解得p=13或p=2又因为E(X)>4,所以E(X)=8p>4,所以p=23所以E(X)=8×23=16答案:16角度2二项分布的期望【例3】(2024·厦门模拟)西梅以“梅”为名,实际上不是梅子,而是李子,其中文正规名叫“欧洲李”.每批西梅进入市场之前,都会对其进行检测,现随机抽取了10箱西梅,其中有4箱测定为一等品.(1)现从这10箱西梅中任取3箱,求恰好有1箱是一等品的概率;(2)以这10箱的检测结果来估计这一批西梅的情况,若从这一批西梅中随机抽取3箱,记X为抽到一等品的箱数,求X的分布列和期望.【解析】(1)设“抽取的3箱西梅中恰好有1箱是一等品”为事件A1,则P(A1)=C41C62C103=12,因此,从这10(2)由题意可知,从这10箱西梅中随机抽取1箱,恰好是一等品的概率为410=25,由题可知X的所有可能取值为0,1,2,3,X~B(3,25),所以P(X=0)=C30×250×353=27125,P(X=1)=C31×251×352=54125,P(X=2)=C32×25X0123P2754368E(X)=0×27125+1×54125+2×36125+3×8125=65(或E(X)=3×思维升华二项分布满足的条件(1)在每次试验中,事件发生的概率都是相同的(题目中有“将频率视为概率”时,事件发生的概率就是相同的);(2)各次试验中的事件是相互独立的;(3)每次试验只有两种结果;(4)随机变量是n重伯努利试验中事件发生的次数.对点训练(2024·常德模拟)某大学一个专业团队为某专业大学生研究了多款学习软件,其中有A,B,C三款软件投入使用,经一学年使用后,团队调查了这个专业大一四个班的使用情况,从各班抽取的样本人数如表:班级一二三四人数3234(1)从这12人中随机抽取2人,求这2人恰好来自同一班级的概率;(2)从这12名学生中,指定甲、乙、丙三人为代表,已知他们下午自习时间每人选择一款软件,其中选A,B两款软件学习的概率都是16,且他们选择A,B,C任一款软件都是相互独立的,设这三名学生中下午自习时间选软件C的人数为ξ,求ξ的分布列和数学期望【解析】(1)从这12人中随机抽取2人,共有C122=66记“这2人恰好来自同一班级”为事件A,则事件A包含的可能情况有C32+C22+C32+C42=3+1+3+6=13(种(2)由题意知,ξ的可能取值为0,1,2,3,因为选A,B两款软件学习的概率都是16,且他们选择A,B,C任一款软件都是相互独立的,所以他们选择C款软件学习的概率是1-16-16=23,所以所以P(ξ=0)=C30(23)0(1P(ξ=1)=C31(23)1(13)P(ξ=2)=C32(23)2(13)1=1227C33(23)3(13)0ξ0123P1248所以E(ξ)=3×23=2【加练备选】某工厂车间有6台相同型号的机器,各台机器相互独立工作,工作时发生故障的概率都是14,且一台机器的故障能由一个维修工处理.已知此厂共有甲、乙、丙3名维修工,现有两种配备方案,方案一:由甲、乙、丙三人维护,每人负责2台机器;方案二:由甲、乙两人共同维护6台机器(1)对于方案一,设X为甲维护的机器同一时刻发生故障的台数,求X的分布列与均值E(X);(2)在两种方案下,分别计算机器发生故障时不能得到及时维修的概率,并以此为依据来判断哪种方案能使工厂的生产效率更高.【解析】(1)由题意可知,X~B(2,14则P(X=0)=(34)2=916,P(X=1)=C21×14×34=38,P(X所以随机变量X的分布列为X012P931所以E(X)=2×14=1(2)对于方案一:“机器发生故障时不能及时维修”等价于“甲、乙、丙三人中,至少有一人负责的2台机器同时发生故障”.其概率为P1=1-[1-P(X=2)]3=1-(1-116)3=721对于方案二:机器发生故障时不能及时维修的概率为P2=1-(34)6-C61·14×(34)5-C62·(14)2×(34)4=1-36+6×35+15×3考点三超几何分布【例4】如图,某城市有南、北两条城市主干道,在出行高峰期,北干道有N1,N2,N3,N4四个交通易堵塞路段,它们被堵塞的概率都是13,南干道有S1,S2两个交通易堵塞路段,它们被堵塞的概率分别为12,23.某人在高峰期驾车从城西开往城东(1)求北干道的N1,N2,N3,N4四个易堵塞路段至少有一个被堵塞的概率;(2)若南干道被堵塞路段的个数为X,求X的分布列及数学期望E(X);(3)若按照“平均被堵塞路段少的路线是较好的高峰期出行路线”的标准,则从城西开往城东较好的高峰期出行路线是哪一条?请说明理由.【解析】(1)记北干道的N1,N2,N3,N4四个易堵塞路段至少有一个被堵塞为事件A,则P(A)=1-(1-13)4(2)由题意可知X的可能取值为0,1,2,P(X=0)=(1-12)×(1-23)=P(X=1)=12×(1-23)+(1-12)×2P(X=2)=12×23=随机变量X的分布列为X012P111E(X)=0×16+1×12+2×13(3)设北干道被堵塞路段的个数为Y,则Y~B(4,13),所以E(Y)=4×13=43,因为E(X)<E(Y思维升华决策问题的解题策略(1)在实际问题中,已知两个随机变量ξ1,ξ2,当E(ξ1)=E(ξ2)或E(ξ1)与E(ξ2)较为接近时,就需要用D(ξ1)与D(ξ2)来比较两个随机变量的稳定程度.(2)一般地,将期望最大(或最小)的方案作为最优方案,若各方案的期望相同,则选择方差最小(或最大)的方案作为最优方案.对点训练为宣传航空知识,某校组织了航空知识竞赛活动.活动规定初赛需要从8道备选题中随机抽取4道题目作答.假设在8道备选题中,小明正确完成每道题的概率都是34且每道题正确完成与否互不影响,小宇能正确完成其中6道题且另外2道题不能完成(1)求小明至少正确完成其中3道题的概率;(2)设随机变量X表示小宇正确完成题目的个数,求X的分布列及数学期望;(3)现规定至少完成其中3道题才能进入决赛,请你根据所学概率知识,判断小明和小宇两人中选择谁去参加市级比赛(活动规则不变)会更好,并说明理由.【解析】(1)记“小明至少正确完成其中3道题”为事件A,则P(A)=C43(34)3×14+(2)X的可能取值为2,3,4.P(X=2)=C22C62P(X=3)=C21C63P(X=4)=C20C64X的分布列为X234P343数学期望E(X)=2×314+3×47+4×3(3)由(1)知,小明进入决赛的概率为P(A)=189256,记“小宇至少正确完成其中3道题”为事件B,则P(B)=47+314=1114.因为P(B)>P(A),【加练备选】(一题多法)某地区拟建立一个艺术博物馆,采取竞标的方式从多家