15.3 第1课时 可化为一元一次方程的分式方程及其解法（课件）-华东师大版(2024)八下

15.3可化为一元一次方程的分式方程第1课时

可化为一元一次方程的分式方程及其解法1.掌握解分式方程的基本思路和解法.(重点)2.理解分式方程可能无解的原因.(难点)知识点1分式方程的有关概念

轮船在顺水中航行80千米所需的时间和在逆水中航行60千米所需的时间相同,已知水流的速度是3千米/时,求轮船在静水中的速度.问题1分析：设轮船在静水中的速度为x千米/时，根据题意，得

为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园,某校团总支号召同学们自愿捐款.已知第一次捐款总额为4800元,第二次捐款总额为5000元,第二次捐款人数比第一次多20人,而且两次人均捐款额恰好相等.如果设第一次捐款人数为x人,那么x应满足怎样的方程？问题2

一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时,它沿江以最大航速顺流航行90千米所用时间,与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等.设江水的流速为x千米/时,根据题意可列方程

.这些方程是我们以前学过的方程吗？它们与一元一次方程有什么区别？问题3

由上面的问题,我们得到了三个方程,它们有什么共同特点？分母中都含有未知数分式方程的特征:

方程中含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程.(1)是方程；(2)方程中含有分母；(3)分母中含有未知数.分式方程的概念:

下列方程中,哪些是分式方程？哪些是整式方程？整式方程分式方程解题技巧:判断一个方程是否为分式方程,主要是看分母中是否含有未知数.(注意:π不是未知数)你能试着解这个分式方程吗？(2)怎样去分母？(3)在方程两边乘什么样的式子才能把每一个分母都约去？(4)这样做的依据是什么？

解分式方程最关键的问题是什么？(1)如何把它转化为整式方程呢？“去分母”知识点2分式方程的解法方程各分母最简公分母是:(30+x)(30-x)解:方程两边同乘(30+x)(30-x),得

检验:将x=6代入原分式方程中,左边==右边,因此x=6是原分式方程的解.90(30-x)=60(30+x),解得x=6.x=6是原分式方程的解吗？将分式方程化为整式方程,具体做法是“去分母”,即方程两边都乘以同一个整式，所乘的整式通常取方程中出现的各分式的最简公分母.这也是解分式方程的一般方法.解分式方程的基本思路:下面我们再讨论一个分式方程:解:方程两边同乘(x+5)(x-5),得x+5=10,解得x=5.x=5是原分式

方程的解吗？知识点3分式方程的增根检验:将x=5代入原方程中,分母x-5和x2-25的值都为0,相应的分式无意义.因此x=5虽是整式方程x+5=10的解,但不是原分式方程的解,实际上,这个分式方程无解.上面两个分式方程中,为什么

去分母后所得整式方程的解就是原分式方程的解,而去分母后所得整式方程的解却不是原分式方程的解呢？真相揭秘:分式两边同乘了不为0的式子,所得整式方程的解与分式方程的解相同.

我们再来观察去分母的过程:90(30-x)=60(30+x)两边同乘(30+x)(30-x)当x=6时,(30+x)(30-x)≠0真相揭秘:分式两边同乘了等于0的式子,所得整式方程的解使分母为0,这个整式方程的解就不是原分式方程的解(或根)，这种根通常称为增根.因此，在解分式方程时必须进行检验.x+5=10两边同乘(x+5)(x-5)当x=5时,(x+5)(x-5)=0解分式方程时,去分母后所得整式方程的解有可能使原方程的分母为0,所以分式方程的解必须检验．怎样检验？这个整式方程的解是不是原分式的解呢？分式方程解的检验——必不可少的步骤检验方法:将整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解；否则,这个解不是原分式方程的解.解分式方程时,将分式方程转化为整式方程所求得整式方程的根,使原分式方程中最简公分母(或分母)为零,这种根通常称为增根.1.关于x的方程有增根,则增根是

.练习

x=3令x-3=02.关于x的方程

有增根,则增根是

.x=0,1-1法二：令x=0,x-1=0,x(x+1)=0法一：令最简公分母x(x-1)(x+1)=0x=0,1-1.

解方程:解:

方程两边乘(x－1)(x

+

2),得

x(x+2)－(x－1)(x+2)=3.

解得x=1.检验:当x=1时,(x－1)(x+2)=0.因此x=1不是原分式方程的解.所以,原分式方程无解.1.在方程的两边都乘以最简公分母,约去分母,化成

整式方程；2.解这个整式方程；3.把整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母

的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解,

否则需舍去；4.写出原方程的根.简记为:“一化二解三检验”.“去分母法”解分式方程的步骤:例1

解方程:解:两边都乘以最简公分母(x+1)(x-1),得x+1=2,解得x=1.检验:把x=1代入原方程,最简公分母为0,分式无意义.因此x=1不是原分式方程的解,从而原方程无解.

(x+1)(x-1)解:方程两边都乘最简公分母x(x－7),得解这个整式方程,得

x=10.检验:把

x=10代入最简公分母,得

因此x

=10是原分式方程的解．

x(x-7)100(x-7)=30x.x(x－7)≠0,分析：去分母,得2x＋a＝x－1,解得x＝－a－1.∵关于x的方程的解是正数,∴x＞0且x≠1,

∴－a－1＞0且－a－1≠1,解得a＜－1且a≠－2,

∴a的取值范围是a＜－1且a≠－2.解题技巧：求出方程的解(用未知字母表示),然后根据解的正负性,列关于未知字母的不等式求解,特别注意分母不能为0.a＜－1且a≠－2例2关于x的方程的解是正数,则a的取值范围是________________．

若关于x的分式方程无解,求m的值．分析：先把分式方程化为整式方程,再分两种情况讨论求解：一元一次方程无解与分式方程有增根．例3解：方程两边都乘以(x＋2)(x－2),

得2(x＋2)＋mx＝3(x－2),即(m－1)x＝－10.①当m－1＝0时,此方程无解,此时m＝1；②方程有增根,则x＝2或x＝－2.当x＝2时,代入(m－1)x＝－10,得(m－1)×2＝－10,解得m＝－4；当x＝－2时,代入(m－1)x＝－10,得(m－1)×(－2)＝－10,解得m＝6.∴m的值是1,－4或6.解题技巧：分式方程无解与分式方程有增根所表达的意义是不一样的：分式方程有增根仅仅针对使最简公分母为0的数；分式方程无解不但包括使最简公分母为0的数，而且还包括分式方程化为整式方程后，使整式方程无解的数．D2.要把方程化为整式方程,方程两边可以同乘以()A.3y-6B.3yC.3(3y-6)D.3y(y-2)1.下列关于x的方程中，是分式方程的是(

)A.B.C.D.D3.若关于x的分式方程

无解，则m的值为()A.－1，5 B.1C.－1.5或2D.－0.5或－1.5D4.解方程:(1)解:(1)方程两边乘x(x-3),得2x=3x-9.解得x=9.检验:当x=9时,x(x-3)≠0.所以,原分式方程的解为x=9.(2)(2)去分母，得解得检验:把代入所以原方程的解为5.若关于x的方程有增根，求m的值.解：方程两边同乘以x-2,得