大工20秋《运筹学》在线作业2

大工20秋《运筹学》在线作业2运筹学作为一门研究如何最优地配置资源、做出决策的学科，其核心在于将复杂的实际问题抽象为数学模型，并运用科学的方法求解。在线作业2作为课程学习的重要环节，往往聚焦于线性规划的深化与拓展，其中对偶理论与运输问题是两大核心模块。本文将结合课程内容与作业要求，对这两部分知识进行系统性梳理，并探讨其在实际解题中的应用技巧与思维方法，旨在为同学们提供一份兼具理论深度与实用价值的参考。一、对偶理论：线性规划的“另一面镜子”对偶理论是线性规划中一个极具深刻思想与实用价值的分支。它揭示了原问题与对偶问题之间内在的逻辑联系和数学对称性，不仅为我们提供了求解线性规划问题的新视角，更在经济分析、资源配置优化及灵敏度分析中扮演着关键角色。（一）对偶问题的构建与经济含义理解对偶问题的核心在于把握其与原问题之间的“镜像”关系。对于一个追求最大化目标的线性规划原问题，其对偶问题则表现为一个追求最小化目标的线性规划，二者的变量、约束条件乃至系数矩阵都存在着特定的对应法则。这种对应并非简单的数学游戏，而是有着明确的经济解释。对偶变量通常被赋予“影子价格”的含义，它代表了在最优生产方案下，某种资源每增加一个单位所带来的目标函数值（通常为利润）的增量。这一概念对于企业管理者而言，无疑是进行资源定价、评估稀缺资源价值的重要依据。在作业中，准确写出给定线性规划问题的对偶问题是基础要求。这需要我们熟练掌握原问题与对偶问题之间的转换规则：原问题的目标函数系数对应对偶问题的约束右端项；原问题的约束右端项对应对偶问题的目标函数系数；原问题的技术系数矩阵的转置则构成了对偶问题的技术系数矩阵。同时，约束条件的类型（等式或不等式）以及变量的非负性要求，在对偶转换中也需仔细斟酌，稍有不慎便会出错。（二）对偶理论的核心定理及其应用对偶理论的魅力不仅在于其对称性，更在于一系列重要的定理，它们为问题的求解与最优性判断提供了强大的工具。*弱对偶性定理告诉我们，原问题的任意可行解的目标函数值不大于其对偶问题任意可行解的目标函数值。这一性质为我们提供了一个初步判断解的优劣或可行性的依据。*强对偶性定理则进一步指出，若原问题和对偶问题均有可行解，则它们必有最优解，且最优目标函数值相等。这为我们通过求解对偶问题来获得原问题的最优解提供了理论保障，尤其当原问题变量较多而约束较少时，求解其对偶问题（变量较少而约束较多）可能更为简便。*互补松弛定理是连接原问题与对偶问题最优解的桥梁。它阐明，在最优解处，原问题中某个约束条件的松弛变量（或剩余变量）若不为零，则其对应的对偶变量必为零；反之，若对偶变量不为零，则其对应的原问题约束条件必取等式。这一特性在最优解的检验、灵敏度分析以及解释最优决策的经济意义方面都有着广泛的应用。例如，利用互补松弛定理，我们可以根据对偶问题的最优解（影子价格）来判断哪些资源在当前最优方案下是稀缺的，哪些是过剩的，从而为资源调整提供方向。在作业中，对偶问题的求解、利用对偶理论判断原问题解的最优性、以及影子价格的计算与经济解释，是常见的考察点。同学们需要将这些定理融会贯通，能够灵活运用它们解决实际问题。二、运输问题：一类特殊线性规划的高效解法运输问题作为线性规划的一个重要应用领域，旨在研究如何将某种物资从若干个产地（供应点）以最低的总费用（或最短的总距离）运送到若干个销地（需求点），并满足产销平衡的条件。其特殊性在于约束条件的结构较为规整，这使得我们可以不必拘泥于单纯形法，而是采用更为简便高效的专门解法——表上作业法。（一）运输问题的模型特征与数学描述运输问题的数学模型具有鲜明的特点。其目标函数是总运输费用的最小化（或总利润的最大化，此时可转化为最小化问题）。约束条件包括供应约束（每个产地的供应量必须等于其产量）和需求约束（每个销地的接收量必须等于其需求量）。在经典的运输问题中，通常假设总产量等于总需求量，即产销平衡。若产销不平衡，则需要通过虚设产地或虚设销地的方式将其转化为产销平衡问题。理解运输问题的模型结构是运用表上作业法的前提。模型中的变量是从各产地到各销地的运输量，约束条件的系数矩阵具有高度的稀疏性和特殊的结构（每行每列只有特定的1），这为后续的简化计算奠定了基础。（二）表上作业法：从初始方案到最优解的迭代表上作业法是求解运输问题的核心方法，其整个求解过程都在运价表（或单位成本表）上进行，直观且高效。该方法主要包括以下几个步骤：1.确定初始基可行解：即在满足产销平衡的条件下，给出一个初始的运输方案。常用的方法有西北角法、最小元素法和伏格尔（Vogel）法。其中，最小元素法是优先考虑单位运价最小的供销点进行分配，而伏格尔法则通过计算各行各列的最小运价与次小运价之差（罚数），优先在罚数最大的行或列中选择最小运价进行分配。实践表明，伏格尔法通常能得到更接近最优解的初始方案，从而减少后续迭代的次数。2.最优性检验：判断当前的初始方案是否为最优方案。常用的方法是闭回路法和位势法（对偶变量法）。闭回路法是针对每个非基变量（即未被分配运输量的格子），寻找一条由基变量格子和该非基变量格子组成的闭回路，计算其检验数（调整量）。若所有非基变量的检验数均非负（对于极小化问题），则当前方案为最优；否则，需要进行调整。位势法则是通过引入对偶变量（位势），利用基变量的检验数为零的条件，求解出位势值，进而计算所有非基变量的检验数。位势法相对闭回路法更为系统和便捷，尤其在变量较多时优势明显。3.方案的调整与改进：当存在负的检验数（极小化问题）时，表明当前方案不是最优，需要进行调整。调整的方法是从具有最负检验数的非基变量出发，沿其闭回路进行调整，确定调整量（通常为闭回路上偶数顶点处的最小运量），并对闭回路上的各顶点的运量进行增减，从而得到一个新的基可行解。然后，再次进行最优性检验，如此迭代，直至得到最优方案。在作业中，同学们需要熟练掌握表上作业法的每一个步骤，包括不同初始方案确定方法的运用、两种最优性检验方法的操作以及闭回路调整的技巧。尤其需要注意的是，在处理产销不平衡问题时，如何正确设置虚设的产地或销地，并赋予相应的运价（通常为零或一个较大的数以避免其被选中）。此外，对于运输问题中的退化现象（即基变量的个数小于产地数与销地数之和减一），也需要了解其产生原因及处理方法，以确保最优性检验的正确性。三、实用价值与学习建议对偶理论与运输问题不仅是运筹学课程的重要知识点，更是解决实际管理问题的有力工具。对偶理论中的影子价格为企业资源的优化配置和价值评估提供了量化依据；运输问题的模型与解法则广泛应用于物流配送、供应链管理、生产调度等领域，帮助企业降低成本、提高效率。对于同学们而言，学好这部分内容，建议从以下几个方面入手：*深刻理解基本概念与定理：对偶理论的核心思想、对偶问题的转换规则、影子价格的含义；运输问题的模型结构、表上作业法的原理等，都需要吃透。*多做练习，熟能生巧：无论是对偶问题的构建与求解，还是表上作业法的步骤演练，都需要通过大量的习题来巩固。在练习中体会不同方法的特点和适用场景。*注重方法的内在逻辑：不仅仅是记住步骤，更要理解每一步背后的道理。例如，为什么用伏格尔法能得到更好的初始解？位势法计算检验数的原理是什么？闭回路调整的依据是什么？*联系实际，活学活用：思考这些理论和方法如何应用于解决身边的实际问题，培养运用运筹学思想分析和解决问题的能力。总结大工20秋《运筹学》在线作业2所涉及的对偶理论与运输问题，是线性规划理论体系中的重要组成部分。对偶理论以其深刻