初中数学圆中与最值有关的压轴题

初中数学圆中与最值有关的压轴题在初中数学的知识体系中，圆因其独特的对称性和丰富的性质，常常成为中考压轴题的命题热点。而当圆与最值问题相结合时，题目便具备了更强的综合性和挑战性，既考查学生对圆的基本概念、定理的掌握程度，也检验其动态思维、转化思想及综合运用知识解决问题的能力。本文将从不同类型的圆中最值问题入手，通过典型例题的剖析，提炼解题策略，助力同学们突破这一难点。一、基于“点与圆的位置关系”的距离最值——“一箭穿心”模型的应用点与圆的位置关系是解决圆中距离最值问题的基石。我们知道，平面上一定点到圆上各点的距离中，最大值为该点到圆心的距离与半径之和，最小值为该点到圆心的距离与半径之差（当点在圆内时，最小值为半径与该点到圆心距离之差）。这一原理，形象地可称为“一箭穿心”，即最值点在定点与圆心的连线上。核心依据：*设圆O的半径为r，平面内一定点为P，则：*当点P在圆外时，P到圆上点的最大距离为PO+r，最小距离为PO-r。*当点P在圆内时，P到圆上点的最大距离为PO+r，最小距离为r-PO。*当点P在圆上时，最大距离与最小距离相等，均为2r（直径）。例题解析：例1：已知⊙O的半径为5，点P在⊙O外，且OP=8，点A是⊙O上一动点，则PA的最大值为_______，最小值为_______。分析与解答：因为点P在⊙O外，根据上述“一箭穿心”原理，PA的最大值为PO+OA=8+5=13，最小值为PO-OA=8-5=3。故答案为13，3。例2：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，以点C为圆心，r为半径作圆。(1)当r为何值时，⊙C与AB相切？(2)在(1)的条件下，⊙C上一动点P到顶点A的距离的最小值是多少？分析与解答：(1)要求⊙C与AB相切时的半径r，即求点C到直线AB的距离。在Rt△ABC中，AB=√(AC²+BC²)=√(6²+8²)=10。设斜边上的高为h，则有(AC×BC)/2=(AB×h)/2，即(6×8)/2=(10×h)/2，解得h=4.8。所以当r=4.8时，⊙C与AB相切。(2)由(1)知⊙C半径r=4.8。点A在⊙C外（因为AC=6>r=4.8）。根据“一箭穿心”模型，点P到点A的距离最小值为AC-r=6-4.8=1.2。解题策略提炼：解决此类问题，首先要明确定点与圆的位置关系（圆内、圆上、圆外），然后准确找到定点与圆心的连线，该连线与圆的两个交点即为距离取得最值的点。关键在于计算定点到圆心的距离以及圆的半径。二、与圆相关的线段长度最值——动态思维与几何性质的结合除了定点到圆上点的距离最值，圆中还常出现与弦长、切线长等相关的线段长度最值问题。这类问题往往需要结合圆的垂径定理、切线的性质、勾股定理以及二次函数等知识进行综合分析。典型类型1：动弦的长度最值在同圆或等圆中，弦心距越大，弦长越短；弦心距越小，弦长越长。当弦心距为零时，弦长最大，即为直径。例题：已知⊙O的半径为5，点P是⊙O内一定点，且OP=3，过点P的弦AB长度的最大值为_______，最小值为_______。分析与解答：过点P的弦AB，当AB经过圆心O时，此时弦心距为0（最小），弦长AB最大，最大值为直径，即10。当AB垂直于OP时，此时弦心距最大（等于OP=3），弦长AB最小。根据垂径定理和勾股定理，AB=2√(OA²-OP²)=2√(5²-3²)=2√16=8。故答案为10，8。典型类型2：切线长的最值从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。切线长的计算公式为l=√(d²-r²)，其中d为圆心到圆外一点的距离，r为圆的半径。因此，切线长l随d的变化而变化，d越大，l越大；d越小，l越小。例题：如图，已知⊙O的半径为2，点A是⊙O外一点，OA=4。点P是⊙O上一动点，过点A作⊙O的切线AQ，Q为切点。求切线长AQ的最小值。分析与解答：由切线长公式AQ=√(OA²-OQ²)=√(OA²-r²)=√(OA²-4)。因为点A是⊙O外一定点，OA=4是固定值，所以切线长AQ=√(4²-2²)=√12=2√3。咦？这里OA是固定的，那AQ不就是固定的吗？哦，题目中说“点P是⊙O上一动点”，但切线是AQ，Q是切点。如果题目是“过点A作⊙O的切线”，那么切线长是固定的。或许题目想表达的是“点P是直线OA上的动点（在⊙O外）”？如果是这样，设OP=x(x>2)，则OA=|x-4|或x+4（取决于P的位置），但原题描述可能存在笔误。按原题“点A是⊙O外一点，OA=4”，则切线长AQ是固定的√(OA²-r²)=√(16-4)=√12=2√3。若将题目改为“点P是直线l上一动点，过点P作⊙O的切线PQ，Q为切点，求切线长PQ的最小值”，则此时PQ=√(OP²-r²)，当OP最小时，PQ最小，即OP为点O到直线l的距离时，PQ最小。这才是动态切线长最值的常见考法。解题策略提炼：对于动弦长最值，抓住“弦心距”这个关键量，利用垂径定理和勾股定理建立关系。对于切线长最值，若点是动点，则转化为求该动点到圆心距离的最值，再利用切线长公式求解。三、与圆相关的三角形面积或周长最值——转化与函数思想的渗透在圆的背景下，求某个动态三角形的面积或周长的最值，通常需要将其表示为某个变量的函数，然后利用函数的性质（如二次函数的顶点坐标）或几何图形的性质求出最值。例题：如图，已知⊙O的半径为2，点A、B在⊙O上，∠AOB=90°，点C是弧AB上一动点（不与A、B重合）。(1)求△ABC面积的最大值；(2)求△ABC周长的最大值。分析与解答：(1)因为OA=OB=2，∠AOB=90°，所以AB=√(OA²+OB²)=√(2²+2²)=2√2，且△AOB是等腰直角三角形。△ABC的面积=(1/2)×AB×h，其中h是点C到直线AB的距离。要使△ABC面积最大，只需h最大。因为点C在⊙O上运动，所以点C到AB距离的最大值为弦心距加上半径（当点C在AB的优弧中点，且与圆心O在AB同侧时）。先求AB的弦心距OD（D为AB中点）。在等腰直角△AOB中，OD=(1/2)AB=√2（或OD=OA×sin45°=2×√2/2=√2）。所以点C到AB的最大距离h_max=OD+r=√2+2。因此，△ABC面积的最大值为(1/2)×2√2×(√2+2)=√2(√2+2)=2+2√2。(2)求△ABC周长的最大值，即AC+BC+AB的最大值。因为AB是定值2√2，所以只需求AC+BC的最大值。设∠AOC=α，∠BOC=β，因为∠AOB=90°，点C在弧AB上，所以α+β=90°（若C在优弧AB上，则α+β=270°，但此时AC+BC可能不是最大，需要验证）。由余弦定理，AC=√(OA²+OC²-2×OA×OC×cosα)=√(4+4-8cosα)=√(8(1-cosα))=4sin(α/2)。同理，BC=4sin(β/2)。所以AC+BC=4[sin(α/2)+sin(β/2)]。因为α+β=90°，设α/2=θ，则β/2=45°-θ。AC+BC=4[sinθ+sin(45°-θ)]=4[sinθ+sin45°cosθ-cos45°sinθ]=4[(1-√2/2)sinθ+(√2/2)cosθ]。这是一个关于θ的正弦型函数，其最大值为4×√[(1-√2/2)²+(√2/2)²]=4×√[1-√2+(1/2)+(1/2)]=4×√(2-√2)。这个计算似乎复杂了。换个思路，在圆中，对于定弦AB，优弧上的点C到A、B两点的距离之和，是否在C为优弧中点时最大？当C为优弧AB中点时，AC=BC。此时∠AOC=∠BOC=(360°-90°)/2=135°。AC=√(OA²+OC²-2×OA×OC×cos135°)=√(4+4-8×(-√2/2))=√(8+4√2)=√[(√2+2)²]=√2+2。所以AC+BC=2(√2+2)=2√2+4。此时△ABC周长为AB+AC+BC=2√2+2√2+4=4√2+4。若C在劣弧AB上，AC+BC显然小于此值。故周长最大值为4√2+4。解题策略提炼：对于与圆相关的三角形面积最值，常转化为求三角形的高或底的最值。对于周长最值，若有定边，则转化为求另两边和或差的最值，可利用圆的性质、余弦定理或构造辅助圆（如阿波罗尼斯圆，但初中阶段不常见）来解决。有时，特殊位置（如中点）是取得最值的关键点。四、圆中最值问题的综合应用——“将军饮马”模型的融入“将军饮马”问题是几何最值中的经典模型，其核心思想是利用轴对称转化线段，进而利用“两点之间线段最短”或“三角形三边关系”求最值。当这类模型与圆结合时，题目会更具灵活性。例题：如图，⊙O的半径为1，点A、B在⊙O上，且∠AOB=120°。点P是⊙O上一动点，点M是OA的中点，点N是OB的中点。求PM+PN的最小值。分析与解答：点M、N是定点，点P是⊙O上的动点，求PM+PN的最小值，这符合“将军饮马”模型的特征。常规“将军饮马”是在直线上找动点，这里动点P在圆上。我们可以尝试作定点关于动点所在轨迹（即圆）的对称点吗？或者，在圆上寻找一点P，使得PM+PN最小。连接AB，在△AOB中，OA=OB=1，∠AOB=120°，AB=√(1²+1²-2×1×1×cos120°)=√(1+1+1)=√3。M、N分别是OA、OB的中点，所以OM=ON=0.5，MN是△AOB的中位线，MN=AB/2=√3/2。在△PMN中，PM+PN≥MN=√3/2，但等号成立的条件是P、M、N三点共线，且P在M、N之间。但此时点P是否在⊙O上呢？MN=√3/2≈0.866，OM=ON=0.5，∠MON=120°，可以计算圆心O到MN的距离。若P在MN上，OP的长度是否等于半径1？取MN中点Q，则OQ平分∠MON，∠MOQ=60°。MQ=MN/2=√3/4。在Rt△OMQ中，OQ=OM×cos60°=0.5×0.5=0.25，MQ=OM×sin60°=0.5×√3/2=√3/4，与上述一致。MN到O的距离为0.25，MN的长度为√3/2≈0.866。则以O为圆心，半径1的圆与直线MN一定相交，交点到M、N的距离之和即为MN的长度√3/2。但此时P点在MN线段上，OP的长度可计算：OQ=0.25，QP=√(OP²-OQ²)=√(1-0.0625)=√0.9375≈0.968>MQ≈0.433，所以点P不在M、N之间，故PM+PN=|PM-PN|或PM+PN>MN。因此，之前的思路有误。正确的做法：作点M关于⊙O的对称点M'？或者，在圆上取点P，利用三角形两边之和大于第三边。另一种思路：因为点P在⊙O上，所以PM可以看作是点P到定点M的距离。我们可以连接OM、ON、OP。PM=√(OP²+OM²-2×OP×OM×cos∠POM)=√(1+0.25-2×1×0.5×cos∠POM)=√(1.25-cos∠POM)。同理，PN=√(1.25-cos∠PON)。设∠POM=α，则∠PON=∠AOB-∠POM=120°-α（假设P在∠AOB内部的弧上）。所以PM+PN=√(1.25-cosα)+√(1.25-cos(120°-α))。要求这个表达式的最小值，对于初中生来说，直接求导不现实。我们可以尝试特殊位置。当点P与点A重合时，PM=AM=OA-OM=1-0.5=0.5，PN=AN。在△AON中，OA=1，ON=0.5，∠AON=120°，AN=√(1+0.25-2×1×0.