贵州省2025年12月普通高中学业水平考试数学试卷

贵州省2025年12月普通高中学业水平考试数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共X页。满分150分。考试用时120分钟。考生注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.作答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。作答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|x²-4x+3<0}，集合B={x|2<x<4}，则A∩B等于（）A.(1,3)B.(2,3)C.(3,4)D.(1,4)2.函数f(x)=√(x-1)+1/(x-3)的定义域是（）A.[1,+∞)B.(1,+∞)C.[1,3)∪(3,+∞)D.(1,3)∪(3,+∞)3.下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（）A.f(x)=x³B.f(x)=sinxC.f(x)=x²D.f(x)=lnx4.已知角α的终边经过点P(3,4)，则cosα的值是（）A.3/5B.4/5C.3/4D.4/35.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）A.6cm³B.8cm³C.12cm³D.24cm³（此处应有三视图，实际排版时需插入）6.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a=3，b=4，cosC=1/5，则c等于（）A.√15B.√17C.4D.57.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=2，d=3，则S5等于（）A.20B.35C.40D.458.已知向量a=(1,2)，b=(m,1)，若a⊥b，则m的值是（）A.-2B.-1C.1D.29.若直线l1:x+ay+6=0与直线l2:(a-2)x+3y+2a=0平行，则a的值是（）A.-1或3B.-1C.3D.1或-310.从分别写有数字1，2，3，4，5的五张卡片中，随机抽取一张，那么抽到的数字是偶数的概率是（）A.1/5B.2/5C.3/5D.4/511.函数f(x)=2sin(2x+π/3)的最小正周期和最大值分别是（）A.π，2B.2π，2C.π，1D.2π，112.已知函数f(x)=x³-3x²+2，则函数f(x)的单调递减区间是（）A.(-∞,0)B.(0,2)C.(2,+∞)D.(-∞,0)∪(2,+∞)第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡的相应位置。13.计算：log₂8+2⁰=_____________。14.已知抛物线y²=4x的焦点为F，准线为l，点P在抛物线上，若|PF|=3，则点P到准线l的距离为_____________。15.某学校高一年级有学生500人，高二年级有学生400人，高三年级有学生300人。为了了解学生的视力情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，若从高一年级抽取了10人，则n=_____________。16.若不等式x²-ax+1≥0对一切x∈(0,+∞)恒成立，则实数a的取值范围是_____________。三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（本小题满分10分）已知tanα=2，求(sinα+cosα)/(sinα-cosα)的值。18.（本小题满分12分）如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为棱DD₁的中点。（Ⅰ）求证：BD₁∥平面ACE；（Ⅱ）若正方体的棱长为2，求三棱锥E-ABC的体积。（此处应有正方体图形，实际排版时需插入）19.（本小题满分12分）已知等比数列{an}的各项均为正数，且a₂=4，a₃+a₄=24。（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=log₂an，求数列{bn}的前n项和Sn。20.（本小题满分12分）某中学为了解学生参加体育锻炼的情况，随机抽取了部分学生进行调查，得到他们一周内平均每天参加体育锻炼的时间（单位：分钟），并将数据整理后绘制成如下的频率分布直方图和频数分布表。（此处应有频率分布直方图，实际排版时需插入）频数分布表分组（分钟）频数频率--------------------------[0,10)20.04[10,20)60.12[20,30)a0.24[30,40)15b[40,50)c0.16[50,60]50.10（Ⅰ）求样本容量n以及表中a，b，c的值；（Ⅱ）若该校共有学生2000人，试估计该校一周内平均每天参加体育锻炼时间在[30,60]分钟的学生人数。21.（本小题满分12分）已知椭圆C:x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的离心率为√3/2，且过点(1,√3/2)。（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设直线l:y=kx+m与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，若OA⊥OB，求证：点O到直线l的距离为定值。22.（本小题满分12分）已知函数f(x)=xlnx-ax²+(2a-1)x，a∈R。（Ⅰ）当a=0时，求函数f(x)的单调区间；（Ⅱ）若函数f(x)在x=1处取得极大值，求实数a的取值范围。---参考答案与评分标准（简版）一、选择题1.B2.C3.A4.A5.A6.D7.B8.A9.B10.B11.A12.B二、填空题13.414.315.2416.(-∞,2]三、解答题17.解：原式分子分母同除以cosα，得(tanα+1)/(tanα-1)=(2+1)/(2-1)=3。……10分18.（Ⅰ）证明：连接BD交AC于O，连接OE。在△BDD₁中，O，E分别为BD，DD₁中点，故OE∥BD₁。又OE⊂平面ACE，BD₁⊄平面ACE，所以BD₁∥平面ACE。……6分（Ⅱ）解：VE-ABC=(1/3)S△ABC×ED=(1/3)×(1/2×2×2)×1=2/3。……12分19.（Ⅰ）解：设公比为q，由a₂=4，a₃+a₄=24得4q+4q²=24，解得q=2（q=-3舍）。故an=a₂qⁿ⁻²=4×2ⁿ⁻²=2ⁿ。……6分（Ⅱ）解：bn=log₂2ⁿ=n。故Sn=1+2+…+n=n(n+1)/2。……12分20.（Ⅰ）解：n=2/0.04=50。a=50×0.24=12，b=15/50=0.30，c=50×0.16=8。……6分（Ⅱ）解：锻炼时间在[30,60]分钟的频率为0.30+0.16+0.10=0.56。估计人数为2000×0.56=1120人。……12分21.（Ⅰ）解：由离心率e=c/a=√3/2，设a=2k，c=√3k，则b=k。将点(1,√3/2)代入椭圆方程得1/(4k²)+(3/4)/k²=1，解得k²=1。故椭圆方程为x²/4+y²=1。……5分（Ⅱ）证明：联立直线与椭圆方程，消去y得(1+4k²)x²+8kmx+4m²-4=0。设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)，则x₁+x₂=-8km/(1+4k²)，x₁x₂=(4m²-4)/(1+4k²)。由OA⊥OB得x₁x₂+y₁y₂=0。将y₁=kx₁+m，y₂=kx₂+m代入并整理得(1+k²)x₁x₂+km(x₁+x₂)+m²=0。代入根与系数关系，化简得5m²=4(1+k²)。点O到直线l的距离d=|m|/√(1+k²)=√(m²/(1+k²))=√(4/5)=2√5/5（定值）。……12分22.（Ⅰ）解：当a=0时，f(x)=xlnx-x。f'(x)=lnx+1-1=lnx。令f'(x)>0得x>1；令f'(x)<0得0<x<1。故f(x)在(0,1)单调递减，在(1,+∞)单调递增。……5分（Ⅱ）解：f'(x)=lnx+1-2ax+2a-1=lnx-2a(x-1)。f'(1)=0。令g(x)=f'(x)=lnx-2a(x-1)，则g'(x)=1/x-2a。若a≤0，g'(x)=1/x-2a>0在(0,+∞)恒成立，g(x)在(0,+∞)单调递增。当x∈(0,1)时，g(x)<g(1)=0，即f'(x)<0；当x∈(1,+∞)时，g(x)>g(1)=0，即f'(x)>0。故f(x)在x=1处取得极小值，不合题意。若0<a<1/2，当x∈(0,1/(2a))时，g'(x)>0，g(x)单调递增。因为1/(2a)>1，所以当x∈(0,1)时，g(x)<g(1)=0；x∈(1,1/(2a))时，g(x)>g(1)=0。故f(x)在x=1处取得极小值，不合题意。若a=1/2，g'(x)=1/x-1。当x∈(0,1)时，g'(x)>0；x∈(1,+∞)时，g'(x)<0。故g(x)在x=1处取得极大值g(1)=0。所以g(x)≤0在(0,+∞)恒成立，即f'(x)≤0，f(x)在(0,+∞)单调递减，无极值，不合题意。若a>1/2，当x∈(1/(2a),+∞)时，g'(x)<0，g(x)单调递减。因为1/(2a)<1，所以当x∈(1/(2a),1)时，g(x)>g(1)=0；x∈(1,+∞)时，g(x)<g(1)=0。故当x∈(1/(2a),1)时，f'(x)>0；x∈(1,+∞)时，f'(x)<0。所以f(x)在x=1处取得极大值，符合题意。综上，a的取值范围是(1/2,+∞)。……12分---命题