新高一数学衔接讲义讲义系列一

【新高一数学衔接讲义系列一：函数的概念与基本性质初探】引言：承前启后，平稳过渡亲爱的同学们，恭喜你们迈入高中阶段，即将开启一段更为丰富多彩的数学探索之旅。初中数学为我们打下了坚实的基础，而高中数学则是在此基础上的延伸与深化，它将带领我们进入一个更抽象、更严谨、应用更广泛的领域。本系列衔接讲义旨在帮助同学们回顾初中核心知识，并初步接触高中数学的思维方式与核心概念，从而实现从初中到高中的平稳过渡。“函数”无疑是贯穿高中数学的一条主线，它不仅是解决数学问题的有力工具，也是理解现实世界变化规律的重要模型。初中阶段，我们已经对函数有了初步的认识，比如一次函数、二次函数等。高中阶段，我们将对函数的概念进行更精确的界定，研究更复杂的函数性质，并学习运用函数思想解决更广泛的问题。因此，本讲将聚焦于函数的概念与基本性质，既是对初中知识的回顾与升华，也是高中函数学习的起点。一、函数概念的深化与再认识1.1从“变量关系”到“对应关系”初中阶段，我们对函数的定义通常描述为：“在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。”这个定义直观易懂，侧重于“变化过程”和“变量”。进入高中，我们需要从更本质的角度来理解函数。高中教材中，函数被定义为：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x∈A。【核心解读】*两个非空数集A、B：明确了函数的研究对象是“数”，集合A称为函数的定义域（即自变量x的取值范围），集合{f(x)|x∈A}称为函数的值域（即函数值y的取值范围），显然值域是B的子集。*对应关系f：这是函数的核心，它描述了从x到y的转换规则。这个“f”可以是一个解析式，可以是一个图表，也可以是一段文字描述，但关键在于其“确定性”和“唯一性”。*任意一个x，唯一确定的y：“任意”体现了定义域的整体性，“唯一确定”则强调了对应的单值性，这是判断一个对应关系是否为函数的关键。思考与辨析：初中我们学过“圆的面积S是半径r的函数”，如何用高中的函数定义来描述它？（提示：明确A、B及f）1.2函数的三要素由上述定义可知，一个函数由定义域、对应关系和值域三个要素构成。*定义域：自变量x的取值范围，是函数的“源头”。在研究函数时，首先要考虑定义域，离开了定义域谈函数是没有意义的。*对应关系：即“f”，是函数的“灵魂”，决定了输入如何转化为输出。*值域：函数值y的集合，由定义域和对应关系共同确定。重要结论：两个函数相同，当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致。（与表示自变量和因变量的字母无关）例如：函数y=x与函数s=t，虽然字母不同，但它们的定义域（均为实数集R）和对应关系（都是“自变量本身”）完全相同，因此它们是同一个函数。二、函数的表示方法初中我们已经接触过函数的表示方法，主要有解析法、图像法和列表法。高中阶段，我们将继续使用这些方法，并对其有更深刻的理解。2.1解析法（公式法）用数学表达式（解析式）来表示两个变量之间的对应关系，这是最常用的方法。例如：y=2x+1，y=x²-3x+2等。优点：简洁、准确，便于进行理论分析和运算。注意：用解析法表示函数时，通常会隐含定义域，即自变量的取值范围是使解析式有意义的所有实数。如果题目对定义域有特殊限制，则必须明确指出。常见解析式有意义的条件：*分式的分母不为零；*偶次根式的被开方数非负；*零次幂的底数不为零（后续学习）。2.2图像法用平面直角坐标系中的图形来表示函数关系。图像上的每一个点(x,y)都满足函数关系y=f(x)。优点：直观形象，能清晰地反映函数的变化趋势、最值等性质。注意：函数图像既可以是连续的曲线（如一次函数、二次函数的图像），也可以是离散的点，或者是由几段不同的曲线（或直线）组成。思考：如何判断一个图像是否为某个函数的图像？（提示：结合函数定义中的“唯一确定”）2.3列表法通过列出表格来表示两个变量之间的对应关系。例如，数学用表中的平方表、平方根表，以及生活中常见的工资表、成绩表等。优点：具体、直接，不需要计算就能查到函数值。适用场景：自变量取值为有限个或可以按一定顺序列举时。在实际应用中，我们常常需要根据问题的特点选择合适的表示方法，有时也会将多种方法结合起来使用。三、几种重要的基本初等函数（回顾与拓展）初中阶段我们已经学习了一次函数（包括正比例函数）、反比例函数和二次函数。这些是构成更复杂函数的“基本积木”，在高中数学中具有极其重要的地位。我们将对它们进行回顾，并适当拓展。3.1一次函数与正比例函数定义：形如y=kx+b（k,b为常数，且k≠0）的函数称为一次函数。当b=0时，即y=kx（k≠0），称为正比例函数。定义域与值域：均为实数集R。图像：一条直线。其中，k称为斜率，决定直线的倾斜程度；b称为截距，是直线与y轴交点的纵坐标。*当k>0时，直线从左到右上升；当k<0时，直线从左到右下降。*正比例函数y=kx的图像是经过原点(0,0)的直线。性质：*单调性：一次函数是定义域上的单调函数。k>0时，在R上单调递增；k<0时，在R上单调递减。*奇偶性：正比例函数y=kx是奇函数（关于原点对称）；当b≠0时，一次函数既不是奇函数也不是偶函数。应用示例：已知一次函数的图像经过点A(1,3)和点B(-2,-3)，求此函数的解析式。（解法提示：设y=kx+b，代入两点坐标，解方程组）3.2二次函数定义：形如y=ax²+bx+c（a,b,c为常数，且a≠0）的函数称为二次函数。定义域：实数集R。图像：一条抛物线。*开口方向：由a的符号决定。a>0时，开口向上；a<0时，开口向下。*对称轴：直线x=-b/(2a)。*顶点坐标：(-b/(2a),(4ac-b²)/(4a))。解析式的三种形式：*一般式：y=ax²+bx+c(a≠0)，适用于已知图像上三点坐标的情况。*顶点式：y=a(x-h)²+k(a≠0)，其中(h,k)为抛物线的顶点坐标。适用于已知顶点或对称轴的情况。*交点式（两根式）：y=a(x-x₁)(x-x₂)(a≠0)，其中x₁,x₂是抛物线与x轴交点的横坐标（即方程ax²+bx+c=0的两个实根）。适用于已知图像与x轴交点的情况。性质（以a>0为例）：*单调性：在区间(-∞,-b/(2a)]上单调递减，在区间[-b/(2a),+∞)上单调递增。*最值：当x=-b/(2a)时，函数取得最小值y=(4ac-b²)/(4a)。（若a<0，则取得最大值）*奇偶性：当b=0时，二次函数y=ax²+c是偶函数（关于y轴对称）；当b≠0时，既不是奇函数也不是偶函数。拓展思考：二次函数的值域如何确定？（提示：结合开口方向和顶点纵坐标）例题：求二次函数y=x²-4x+3的对称轴、顶点坐标，并指出其单调区间及最值。（解法提示：可通过配方化为顶点式y=(x-2)²-1，或直接利用公式）四、函数的基本性质初探除了上述具体函数的性质外，我们还将从更一般的角度研究函数的某些共同特性。在本讲中，我们先初步认识单调性和奇偶性。4.1函数的单调性（增减性）描述性定义：对于给定区间上的函数y=f(x)：*如果对于这个区间内的任意两个自变量的值x₁,x₂，当x₁<x₂时，都有f(x₁)<f(x₂)，那么就说函数y=f(x)在这个区间上是单调递增函数，简称增函数。*如果对于这个区间内的任意两个自变量的值x₁,x₂，当x₁<x₂时，都有f(x₁)>f(x₂)，那么就说函数y=f(x)在这个区间上是单调递减函数，简称减函数。*如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这个区间上具有（严格的）单调性，这个区间叫做函数y=f(x)的单调区间。理解要点：*单调性是函数在某个区间上的性质，离开了具体区间，谈论单调性是没有意义的。*“任意”二字非常关键，不能用特殊值代替。*单调性反映了函数值随自变量变化的趋势。判断方法：*图像法：观察函数图像在给定区间上是上升还是下降。*定义法：严格按照定义进行证明（后续将详细学习）。例如：一次函数y=2x+1在R上是增函数；二次函数y=x²在(-∞,0]上是减函数，在[0,+∞)上是增函数。4.2函数的奇偶性定义：*如果对于函数y=f(x)定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数y=f(x)就叫做奇函数。*如果对于函数y=f(x)定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数y=f(x)就叫做偶函数。理解要点：*奇偶性是函数在整个定义域上的性质，其定义域必须关于原点对称，这是函数具有奇偶性的前提条件。*“任意”二字依然是核心。*奇函数的图像关于原点对称；偶函数的图像关于y轴对称。判断步骤：1.检查函数定义域是否关于原点对称。若不对称，则函数既不是奇函数也不是偶函数。2.计算f(-x)，并与f(x)、-f(x)进行比较。例如：正比例函数y=kx（k≠0）是奇函数；二次函数y=ax²（a≠0）是偶函数；一次函数y=kx+b（b≠0）既不是奇函数也不是偶函数。例题：判断函数f(x)=x³的奇偶性。（解：函数定义域为R，关于原点对称。f(-x)=(-x)³=-x³=-f(x)，所以f(x)=x³是奇函数。）五、总结与展望本讲我们对函数的概念进行了深化，从初中的“变量说”过渡到高中的“对应说”，明确了函数的三要素和表示方法，并回顾与拓展了初中学习过的一次函数（正比例函数）和二次函数，初步探讨了函数的单调性和奇偶性。这些内容是高中函数学习的基石，务必扎实掌握。函数的世界广阔而深邃，后续我们还将学习更多类型的函数，如指数函数、对数函数、幂函数，以及更复杂的函数性质和应用。在学习过程中，要注意：*数形结合：函数的图像是理解函数性质的直观工具，要养成画图、识图、用图的习惯。*概念辨析：准确理解数学概念是学好数学的前提，对于易混淆的概念要仔细甄别。*勤于思考：多问“为什么”，理解知识的来龙去脉，而不是死记硬背。*适量练习：通过练习巩固知识，提升解题技能，但要注意避免题海战术，注重解题后的反思与总结。希望同学们能以本讲为起点，带着好奇心和求知欲，积极探索函数的奥秘，为高中数学的学习开一个