河北省邯郸市2025-2026学年高二上学期期末数学试题（试卷+解析）

2025~2026学年高二年级2月期末总结考数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知直线的方程为，则的倾斜角为（）A. B. C. D.2.在等比数列中，，，则（）A. B.3 C. D.3.已知平面的一个法向量，点为上一点，则点到平面的距离为（）A.4 B.3 C.2 D.4.已知数列满足，，则的前2026项和（）A.2023 B.2025 C.2026 D.21375.直线：被圆：所截得的弦长为（）A.2 B.3 C.4 D.56.已知抛物线：的焦点为，准线为，点为上一点，为上一点，，若，则点的横坐标为（）A. B. C. D.17.已知数列满足，记的前项和为，则（

）A. B. C. D.8.已知，分别为双曲线的左、右焦点，过原点的直线交于，两点，若，为锐角三角形，则的离心率的取值范围为（）A B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知直线：，：，则下列说法中正确的有（）A. B.存在，使得C.直线过定点 D.直线过定点10.记为等差数列的前项和，若，，则（）A. B.C.与的公差相等 D.取得最小值时11.如图，在棱长为的正方体中，动点满足，其中，则（）A.若，则B.若，则三棱锥体积为定值C.若，则最小值为D.若，则直线一定不与平面垂直三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若圆的半径为1，则______.13.已知双曲线：的左焦点为，为上在第一象限内的一点，则直线的斜率的取值范围为______.14.已知数列满足，，则数列的通项公式为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知圆的圆心在直线上，并且过和两点.（1）求圆的标准方程；（2）过直线上一点作圆的切线，，切点为，，求四边形面积最小值.16.已知等差数列的前项和为，，.（1）求的通项公式；（2）若等比数列的公比为3，且，求的前项和.17.如图，在直三棱柱中，，，，，分别为棱，的中点，为棱上一点，.（1）证明：平面；（2）求平面与平面的夹角的余弦值.18.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，，分别为的上、下顶点，四边形的面积为2，的离心率为.（1）求的方程；（2）已知过的直线与交于，两点，且不过的任何一个顶点.（ⅰ）若的倾斜角为，求的面积；（ⅱ）若点在轴上方，直线，的斜率分别为，，且，求直线的方程.19.定义：已知数列前n项和为，若对任意正整数n，存在，使得，则称数列为“和完全平方数列”．（1）若数列满足判断是否为“和完全平方数列”．（2）若数列的前n项和（，且），那么是否存在λ，使得数列为“和完全平方数列”？若存在，求出所有的的值；若不存在，请说明理由．（3）若等差数列是“和完全平方数列”，求数列的通项公式．2025~2026学年高二年级2月期末总结考数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知直线的方程为，则的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据直线的方程得出斜率，根据斜率和倾斜角的关系可得答案.【详解】因为直线方程为，故直线的斜率为，设的倾斜角为，则，又，即.故选：A.2.在等比数列中，，，则（）A. B.3 C. D.【答案】B【解析】【分析】根据等比数列的通项公式可求答案.【详解】设的公比为，所以，因为公比为实数，所以，所以，所以.故选：B.3.已知平面的一个法向量，点为上一点，则点到平面的距离为（）A.4 B.3 C.2 D.【答案】C【解析】【分析】利用点面距的向量公式求解即可.【详解】由题意得，所以点到平面的距离.故选：C.4.已知数列满足，，则的前2026项和（）A.2023 B.2025 C.2026 D.2137【答案】D【解析】【分析】应用数列的周期性计算求和.【详解】由，得，，，，所以，所以是以3为周期的周期数列，又，所以.故选：D.5.直线：被圆：所截得的弦长为（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】【分析】应用平行线间距离公式结合几何法求出弦长.【详解】由题意得圆心在直线：上，直线，二者之间的距离，所以圆心到直线的距离为，所以直线被圆所截得的弦长.故选:C.6.已知抛物线：的焦点为，准线为，点为上一点，为上一点，，若，则点的横坐标为（）A. B. C. D.1【答案】A【解析】【分析】根据条件求出直线的倾斜角，进而求出直线的方程，再逐次求出的坐标.【详解】不妨设在轴上方，由抛物线定义得，所以，所以直线倾斜角为，所以直线的斜率为，又，所以直线的方程为，令，得，则，令，则变为，得，即点的横坐标为.故选：A.7.已知数列满足，记的前项和为，则（

）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据累乘法求通项，根据裂项相消法求.【详解】由，得，当时，，以上各式相乘，得，又，所以，因为满足上式，所以，因为，所以.故选:A.8.已知，分别为双曲线的左、右焦点，过原点的直线交于，两点，若，为锐角三角形，则的离心率的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】应用双曲线定义结合已知条件得出，，再结合余弦定理得出边长间关系得出，即可得出离心率范围.【详解】由题意知，，关于原点对称，不妨设点为第一象限内一点，则，，又，，所以，，记，因为为锐角三角形，所以，，，即，，，解得，所以.故选:D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知直线：，：，则下列说法中正确的有（）A. B.存在，使得C.直线过定点 D.直线过定点【答案】AC【解析】【分析】根据垂直及平行系数关系分，计算判断A，B，求解定点判断C，D.【详解】若，：，：，显然成立，若，的斜率为，的斜率为，，所以，所以无论为何值，，故A正确，B错误；的方程可化为，即，所以过定点，故C正确，，所以过定点，故D错误.故选：AC.10.记为等差数列的前项和，若，，则（）A. B.C.与的公差相等 D.取得最小值时【答案】AD【解析】【分析】应用等差数列通项公式及下标和性质计算判断A，应用等差数列求和公式结合下标和性质判断B，应用等差数列求和公式计算判断C，结合数列的正负判断D.【详解】因为，，所以，，故公差，所以，故A正确；又，所以，故B错误；，则，所以也是等差数列，公差为，又，故二者的公差不相等，故C错误；因为，所以，则取得最小值时，故D正确.故选：AD.11.如图，在棱长为的正方体中，动点满足，其中，则（）A.若，则B.若，则三棱锥的体积为定值C.若，则的最小值为D.若，则直线一定不与平面垂直【答案】ABC【解析】【分析】首先通过向量参数方程确定动点的轨迹，进而结合几何性质进行分析：A选项通过代入特定参数确定点位置并计算空间距离；B选项利用线面平行转化得到点到平面距离为定值，从而证明体积不变；C选项将向量条件转化为三点共线，通过几何特征求垂线段最短得到最小值；D选项通过构造特殊位置的反例判断命题不成立.【详解】若，则点为的中点，易求，故A正确；若，则点在线段上，易证，因为平面，平面，所以平面，又，故点到平面的距离不变，又的面积为定值，故三棱锥的体积为定值，故B正确；若，则，，三点共线，连接，，，易知，所以当为的中点时，，最小，此时，故C正确；若，则点为棱上的点，当点与点重合，即时，平面，故D错误.故选：ABC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若圆的半径为1，则______.【答案】##【解析】【分析】将一般式方程化为标准方程，再根据半径求解即可.【详解】原方程可化为标准方程得：，所以，解得.故答案为：13.已知双曲线：的左焦点为，为上在第一象限内的一点，则直线的斜率的取值范围为______.【答案】【解析】【分析】借助双曲线渐近线定义结合斜率定义即可得.【详解】由渐近线的定义知，当的横坐标时，点无限接近于渐近线，的斜率趋近于，当趋近于右顶点时，的斜率趋近于0，所以的斜率的取值范围为.故答案为：.14.已知数列满足，，则数列的通项公式为______.【答案】【解析】【分析】利用已知求的方法，分别讨论时，与时，的通项，再进行验证；【详解】由，当时，，当时，，两式相减，得，即，所以，所以，所以，由于时，不满足上式，所以.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知圆的圆心在直线上，并且过和两点.（1）求圆的标准方程；（2）过直线上一点作圆的切线，，切点为，，求四边形面积最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意，设，列出方程求得，求得圆；（2）根据题意求得，当时，得到，取得最小值，进而得出面积最小值.【小问1详解】由题意，圆心在直线上，可设，因为圆过点，且过点，可得，整理得，所以，即，且半径所以圆的方程为.【小问2详解】由（1）知，圆，圆心，半径，则四边形的面积，设，因为，所以当时，，此时四边形的面积最小，最小值为；16.已知等差数列的前项和为，，.（1）求的通项公式；（2）若等比数列的公比为3，且，求的前项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设的公差为，根据求和公式求出，即可求出通项；（2）求出，即可求出，从而求出的通项公式，即可得到，再由错位相减法计算可得.【小问1详解】设等差数列的公差为，由题意得，，解得，所以.【小问2详解】由（1）知，由题意得，所以，所以，所以，则.所以，两边同乘以3，得，两式相减，得，所以.17.如图，在直三棱柱中，，，，，分别为棱，的中点，为棱上一点，.（1）证明：平面；（2）求平面与平面的夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）.【解析】【分析】（1）先证明垂直关系，建立坐标系，求出平面的法向量，利用向量法证明线面垂直；（2）求出两个平面的法向量，利用向量夹角求解平面的夹角.【小问1详解】证明：分别取，的中点，，连接，，易证，，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，所以，，两两垂直，以为坐标原点，直线，，分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，所以，，设平面的一个法向量，则即令，得，，所以，所以，因为平面，所以平面.【小问2详解】由（1）知，平面的一个法向量，，，设平面的一个法向量，则即令，得，，所以，设平面与平面的夹角为，则，即平面与平面的夹角的余弦值为.18.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，，分别为的上、下顶点，四边形的面积为2，的离心率为.（1）求的方程；（2）已知过的直线与交于，两点，且不过的任何一个顶点.（ⅰ）若的倾斜角为，求的面积；（ⅱ）若点在轴的上方，直线，的斜率分别为，，且，求直线的方程.【答案】（1）（2）（ⅰ）；（ⅱ）.【解析】【分析】（1）根据面积列式结合离心率及计算求解；（2）（ⅰ）设直线联立直线和椭圆得出韦达定理得出面积求解；（ⅱ）设直线联立方程组得出韦达定理，再计算斜率积求解参数得出直线方程.【小问1详解】记，由题意知，解得，，所以的方程为.【小问2详解】（ⅰ）由（1）得，，，因为直线的倾斜角等于，所以的斜率为，所以的方程为，由得，设，，则，，所以，，所以的面积.（ⅱ）由题意知的斜率不为0且不过，点，故设的方程为，，，由得，则，且，，因为，所以，，所以，所以，所以的方程为，即.19.定义：已知数列的前n项和为，若对任意正整数n，存在，使得，则称数列为“和完全平方数列”．（1）若数列满足判断是否为“和完全平方数列”．（2）若数列的前n项和（，且），那么是否存在λ，使得数列为“和完全平方数列”？若存在，求出所有的的值