10.1 随机事件与概率 2025-2026高中数学必修二高一下同步复习课件

高中数学同步复习10.1随机事件与概率01知识剖析知识点1有限样本空间与事件1有限样本空间(1)随机试验我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示.我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验：①试验可以在相同条件下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果.(2)有限样本空间我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E的样本空间.一般地，我们用Ω表示样本空间，用ω表示样本点.如果一个随机试验有n个可能结果，则称样本空间Ω={}为有限样本空间.01知识点1有限样本空间与事件2事件(1)随机事件一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示.为了叙述方便，我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件.随机事件一般用大写字母A，B，C，···表示.在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生.(2)必然事件A作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件.(3)不可能事件

空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称∅为不可能事件.01知识点1有限样本空间与事件3事件的关系和运算(1)两个事件的关系和运算01知识点1有限样本空间与事件3事件的关系和运算(2)多个事件的和事件、积事件类似地，我们可以定义多个事件的和事件以及积事件.对于多个事件A，B，C，···，A∪B∪C∪···(或A+B+C+···)发生当且仅当A，B，C，···中至少一个发生，A∩B∩C∩···(或ABC···)发生当且仅当A，B，C，···同时发生.01知识点1有限样本空间与事件4样本空间中样本点的求法(1)列举法列举法也称枚举法.对于一些情境比较简单，样本点个数不是很多的概率问题，计算时只需一一列举，即可得出随机事件所包含的样本点.注意列举时必须按一定顺序，做到不重不漏.(2)列表法对于样本点个数不是太多的情况，可以采用列表法.通常把对问题的思考分析归结为“有序实数对”，以便更直接地得到样本点个数.列表法的优点是准确、全面、不易遗漏，其中最常用的方法是坐标系法.(3)树状图法树状图法适用于按顺序排列的较复杂问题中样本点个数的求解，是一种常用的方法.01知识点1有限样本空间与事件5用集合观点看事件间的关系01知识点2古典概型与概率的基本性质1古典概型(1)事件的概率对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示.(2)古典概型的定义我们将具有以下两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.①有限性：样本空间的样本点只有有限个；②等可能性：每个样本点发生的可能性相等.(3)古典概型的判断标准一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点：有限性和等可能性.并不是所有的试验都是古典概型.下列三类试验都不是古典概型：①样本点(基本事件)个数有限，但非等可能;②样本点(基本事件)个数无限，但等可能；③样本点(基本事件)个数无限，也不等可能.01知识点2古典概型与概率的基本性质2古典概型的概率计算公式一般地，设试验E是古典概型，样本空间A包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)==，其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数.01知识点2古典概型与概率的基本性质3求样本空间中样本点个数的方法(1)枚举法：适合于给定的样本点个数较少且易一一列举出的问题.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题，注意在确定样本点时(x,y)可看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同，有时也可看成是无序的，如(1,2)与(2,1)相同.01知识点2古典概型与概率的基本性质4概率的基本性质0102综合训练已知某同学预定的闹钟每20分钟响一次，且该闹钟早上6点钟第一次响铃开始到早上8点10分期间不关闭，则该闹钟在此期间一共（）A．5次 B．6次 C．7次 D．8次一．样本点与样本空间01【答案】C【解答】解：闹钟每20分钟响一次，且该闹钟早上6点钟第一次响铃开始到早上8点10分期间不关闭，则该闹钟在此期间有6：00，6：20，6：40，7：00，7：20，7：40，8：00共7次．故选：C．一．样本点与样本空间01抛掷一枚质地均匀的骰子，设事件M＝“点数不大于2”，事件N＝“点数大于1”，则下列结论中正确的是（）A．M是不可能事件 B．N是必然事件

C．M∩N是不可能事件 D．M∪N是必然事件二．随机事件、基本事件及必然事件、不可能事件01【答案】D【解答】解：抛掷一枚质地均匀的骰子，设事件M＝“点数不大于2”，事件N＝“点数大于1”，事件M是点数为1或2，事件N是点数是2，3，4，5或6，它们都是随机事件，M∩N是点为2，是随机事件，是可能发生的，M∪N是点数为1，2，3，4，5或6，一定会发生，是必然事件．故选：D．二．随机事件、基本事件及必然事件、不可能事件01将一枚质地均匀的骰子抛掷两次，记事件A＝“第一次出现奇数点”，事件B＝“两次点数之积为偶数”，事件C＝“两次点数之和为5”，则（）A．事件A∪B是必然事件

B．事件A与事件B是互斥事件

C．事件B包含事件C D．事件A与事件C是相互独立事件三．事件的并事件（和事件）01【答案】ACD【解答】解：事件A的基本事件有：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），事件B的基本事件有：（1，2），（1，4），（1，6），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，2），（3，4），（3，6）（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（5，2），（5，4），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），事件C的基本事件有：（1，4），（4，1），（2，3），（3，2），事件AC的基本事件有：（1，4），（3，2），A：事件A∪B是必然事件，故正确；B：因为A∩B≠∅，所以事件A与事件B不是互斥事件，故错误；C．因为C⊆B，所以事件B包含事件C，故正确；D．因为P(A)=186×6=12，P(C)=46×6=19，P(AC)=26×6=118，所以P（A）•P（C）＝P（AC），所以事件A与事件C是相互独立事件，故正确；故选：ACD．三．事件的并事件（和事件）01在试验E“从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和”中，事件A表示“这2个数的和大于4”，事件B表示“这2个数的和为偶数”，则A∪B和A∩B中包含的样本点数分别为（）A．1，6 B．4，2 C．5，1 D．6，1四．事件的交事件（积事件）01【答案】C【解答】解：试验E的样本空间为Ω＝{（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）}，其中事件A中所含的样本点为（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共4个，事件B中所含的样本点为（1，3），（2，4），共2个，所以事件A∪B中所含的样本点为（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共5个，事件A∩B中所含的样本点为（2，4），共1个．故选：C．四．事件的交事件（积事件）01投掷一枚均匀的骰子，事件A：点数大于2；事件B：点数小于4；事件C：点数为偶数．则下列关于事件描述正确的是（）A．A与B是互斥事件 B．A与B是对立事件

C．A与C是独立事件 D．B与C是独立事件五．事件的互斥（互不相容）及互斥事件01【答案】C【解答】解：投掷一枚均匀的骰子，事件A：点数大于2；事件B：点数小于4；事件C：点数为偶数，A和B有公共事件：点数为3，∴A和不是互斥事件，也不是对立事件，故AB错误；事件AC表示点数为4或6，P(A)=23，P(C)=12，P(AC)=13，∴P（AC）＝P（A）P（C），∴A与C是独立事件，故C正确；事件BC表示点数为2，则P(B)=12，P(C)=12，P(BC)=16，∴P（BC）≠P（B）P（C），∴B与C不是独立事件，故D错误．故选：C．五．事件的互斥（互不相容）及互斥事件01从一堆产品（其中正品与次品均多于两件）中任取两件，观察所抽取的正品件数与次品件数，则下列每对事件中，是对立事件的是（）A．恰好有一件次品与全是次品

B．至少有一件次品与全是次品

C．至少有一件次品与全是正品

D．至少有一件正品与至少有一件次品六．事件的互为对立及对立事件01【答案】C【解答】解：根据题意，从一堆产品（其中正品与次品均多于两件）中任取两件，其可能结果为：全是正品、全是次品、一件正品一件次品；依次分析选项：对于A，恰好有一件次品即为一件正品一件次品，所以恰好有一件次品与全是次品是互斥但不对立事件，不符合题意；对于B，至少有一件次品包含：全是次品、一件正品一件次品，所以至少有一件次品与全是次品不是对立事件，不符合题意；对于C，至少有一件次品包含：全是次品、一件正品一件次品，所以至少有一件次品与全是正品是对立事件，符合题意；对于D，至少有一件正品包含：全是正品、一件正品一件次品，至少有一件次品包含：全是次品、一件正品一件次品，所以至少有一件正品与至少有一件次品有交集，不是对立事件，不符合题意．故选：C．六．事件的互为对立及对立事件01设A、B是两个概率大于0的随机事件，则下列论述正确的是（）A．事件A⊆B，则P（A）＜P（B）

B．若A和B互斥，则A和B一定相互独立

C．若A和B相互独立，则A和B一定不互斥

D．P（A）+P（B）≤1七．概率及有包含关系的事件的概率01【答案】C【解答】解：若事件B包含事件A，则P（A）≤P（B），故A错误；若事件A、B互斥，则P（AB）＝0，若事件A、B相互独立，则P（AB）＝P（A）P（B）＞0，故B错误，C正确；若事件A，B相互独立，且P（A）＞12，P（B）＞12，则P（A）+P（B）＞1，故D错误．故选：C．七．概率及有包含关系的事件的概率01已知事件A，B互斥，且P（A）＝0.2，P（B）＝0.3，则P（A∪B）＝（）A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.9八．互斥事件的概率加法公式01【答案】B【解答】解：根据题意，事件A，B互斥，则P（A∪B）＝P（A）+P（B）＝0.2+0.3＝0.5．故选：B．八．互斥事件的概率加法公式01对于随机事件，下列说法错误的是（）A．如果事件A与事件B互为对立事件，那么P（A）＝1﹣P（B）

B．如果事件A与事件B满足A⊆B，那么P（A）≤P（B）

C．如果A，B是一个随机试验中的两个事件，那么P（A∪B）＝P（A）+P（B）D．对任意两个事件A与B，如果P（AB）＝P（A）P（B），那么事件A与事件B相互独立九．对立事件的概率关系及计算01【答案】C【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，由对立事件的性质，有P（A）＝1﹣P（B），A正确；对于B，若A⊆B，必有P（A）≤P（B），B正确；对于C，当事件A，B不互斥时，P（AB）＞0，此时P（A∪B）＝P（A）+P（B）﹣P（AB）＜P（A）+P（B），C错误；对于D，对任意两个事件A与B，如果P（AB）＝P（A）P（B），由对立事件的定义，事件A与事件B相互独立，D正确．故选：C．九．对立事件的概率关系及计算01假设P（A）＝0.3，P（B）＝0.4，且A与B相互独立，则P（A∪B）＝（）A．0.12 B．0.58 C．0.7 D．0.88十．并事件积事件的概率关系及计算01【答案】B【解答】解：P（A）＝0.3，P（B）＝0.4，且A与B相互独立，则P（AB）＝P（A）P（B）＝0.12，故P（A∪B）＝P（A）+P（B）﹣P（AB）＝0.3+0.4﹣0.12＝0.58．故选：B．十．并事件积事件的概率关系及计算01袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则89是下列哪个是事件的概率（）A．颜色全相同 B．颜色不全同

C．颜色全不同 D．无红球十一．等可能事件和等可能事件的概率01【答案】B【解答】解：根据题意，易得有放回地取3次，共3×3×3＝27种情况；由古典概型依次计算四个选项的事件的概率可得：A、颜色全同共三次全部是黄、红、白三种情况，其概率为327=19；B、颜色不全同，与A为对立事件，故其概率为1−19=89；C、颜色全不同，即黄、红、白各有一次，则其概率为3×2×127=29；D、无红球，即三次都是黄、白球，则其概率为2×2×227=827；综合可得