高二综合性考试试卷及答案

高二综合性考试试卷及答案

一、单项选择题（每题2分，共20分）1.下列函数中，在区间$(0,+\infty)$上单调递增的是（）A.$y=\frac{1}{x}$B.$y=x^2-x$C.$y=2^x$D.$y=\log_{\frac{1}{2}}x$2.已知向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec{b}=(m,-4)$，若$\vec{a}\parallel\vec{b}$，则实数$m$的值为（）A.-2B.2C.-8D.83.抛物线$y=4x^2$的焦点坐标是（）A.$(0,1)$B.$(1,0)$C.$(0,\frac{1}{16})$D.$(\frac{1}{16},0)$4.在等差数列$\{a_n\}$中，若$a_3+a_5+a_7=15$，则$a_5$的值为（）A.3B.5C.7D.95.函数$f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x}}+\lg(x+1)$的定义域是（）A.$(-1,1]$B.$(-1,1)$C.$[-1,1)$D.$[-1,1]$6.已知$\sin\alpha=\frac{3}{5}$，且$\alpha$是第二象限角，则$\cos\alpha$的值为（）A.$\frac{4}{5}$B.$-\frac{4}{5}$C.$\frac{3}{4}$D.$-\frac{3}{4}$7.直线$x-\sqrt{3}y+1=0$的倾斜角为（）A.$30^{\circ}$B.$60^{\circ}$C.$120^{\circ}$D.$150^{\circ}$8.若$x\gt0$，$y\gt0$，且$x+y=1$，则$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$的最小值是（）A.2B.3C.4D.59.已知函数$f(x)$是定义在$R$上的奇函数，当$x\gt0$时，$f(x)=x^2-x$，则$f(-2)$的值为（）A.2B.-2C.6D.-610.已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a\gt0$，$b\gt0$）的一条渐近线方程为$y=\frac{3}{4}x$，则双曲线的离心率为（）A.$\frac{5}{4}$B.$\frac{5}{3}$C.$\frac{4}{3}$D.$\frac{3}{2}$二、多项选择题（每题2分，共20分）1.下列说法正确的是（）A.若直线$l_1\parallell_2$，则它们的斜率相等B.若直线$l_1\perpl_2$，则它们的斜率之积为-1C.直线的倾斜角的范围是$[0,\pi)$D.过点$P(x_0,y_0)$且斜率为$k$的直线方程为$y-y_0=k(x-x_0)$2.下列函数中，是偶函数的有（）A.$y=x^2+1$B.$y=\cosx$C.$y=\frac{1}{x^2}$D.$y=\log_2|x|$3.关于椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a\gtb\gt0$），下列说法正确的是（）A.长轴长为$2a$B.短轴长为$2b$C.焦距为$2c$（$c^2=a^2-b^2$）D.离心率$e=\frac{c}{a}$4.已知数列$\{a_n\}$是等比数列，公比为$q$，则下列说法正确的是（）A.若$a_1\gt0$，$q\gt1$，则数列$\{a_n\}$是递增数列B.若$a_1\lt0$，$0\ltq\lt1$，则数列$\{a_n\}$是递增数列C.若$q\lt0$，则数列$\{a_n\}$是摆动数列D.若$q=1$，则数列$\{a_n\}$是常数列5.下列不等式中，正确的是（）A.$x^2+1\geq2x$B.$a+b\geq2\sqrt{ab}$（$a\gt0$，$b\gt0$）C.$\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}$（$a\gt0$，$b\gt0$）D.$x^2+y^2\geq\frac{(x+y)^2}{2}$6.已知向量$\vec{a}=(x_1,y_1)$，$\vec{b}=(x_2,y_2)$，则下列运算正确的是（）A.$\vec{a}+\vec{b}=(x_1+x_2,y_1+y_2)$B.$\vec{a}-\vec{b}=(x_1-x_2,y_1-y_2)$C.$\lambda\vec{a}=(\lambdax_1,\lambday_1)$（$\lambda\inR$）D.$\vec{a}\cdot\vec{b}=x_1x_2+y_1y_2$7.函数$y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})$的性质正确的是（）A.最小正周期为$\pi$B.图象关于点$(-\frac{\pi}{6},0)$对称C.在区间$[-\frac{5\pi}{12},\frac{\pi}{12}]$上单调递增D.图象关于直线$x=\frac{\pi}{12}$对称8.已知函数$f(x)$在区间$[a,b]$上有定义，下列说法正确的是（）A.若$f(x)$在$[a,b]$上是增函数，则$f(a)\ltf(b)$B.若$f(x)$在$[a,b]$上是减函数，则$f(a)\gtf(b)$C.若$f(x)$在$[a,b]$上有最大值$M$和最小值$m$，则$m\leqf(x)\leqM$D.若$f(x)$在$[a,b]$上是单调函数，则$f(x)$在$[a,b]$上有最值9.对于直线$Ax+By+C=0$（$A$，$B$不同时为0），下列说法正确的是（）A.当$A=0$，$B\neq0$时，直线平行于$x$轴B.当$B=0$，$A\neq0$时，直线平行于$y$轴C.直线的斜率为$-\frac{A}{B}$（$B\neq0$）D.直线在$x$轴上的截距为$-\frac{C}{A}$（$A\neq0$）10.已知数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，且满足$S_n=2a_n-1$，则下列说法正确的是（）A.$a_1=1$B.$a_2=2$C.数列$\{a_n\}$是等比数列D.$a_n=2^{n-1}$三、判断题（每题2分，共20分）1.若函数$f(x)$在$x=x_0$处的导数为0，则$f(x)$在$x=x_0$处取得极值。（）2.直线$x=1$的斜率不存在。（）3.若$\sin\alpha=\sin\beta$，则$\alpha=\beta+2k\pi$，$k\inZ$。（）4.数列$1,2,3,4,5$与数列$5,4,3,2,1$是同一个数列。（）5.函数$y=\log_2x$与函数$y=2^x$的图象关于直线$y=x$对称。（）6.若向量$\vec{a}$与向量$\vec{b}$的夹角为$90^{\circ}$，则$\vec{a}\cdot\vec{b}=0$。（）7.椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$的焦点在$x$轴上。（）8.不等式$x^2-2x+1\gt0$的解集是$R$。（）9.若函数$f(x)$是奇函数，则$f(0)=0$。（）10.等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和公式为$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$。（）四、简答题（每题5分，共20分）1.求函数$f(x)=x^2-2x+3$在区间$[0,3]$上的最值。答案：对$f(x)$配方得$f(x)=(x-1)^2+2$。对称轴为$x=1$，在区间$[0,3]$内。$f(1)=2$为最小值，$f(3)=6$为最大值。2.已知$\tan\alpha=2$，求$\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}$的值。答案：分子分母同时除以$\cos\alpha$，则原式变为$\frac{\tan\alpha+1}{\tan\alpha-1}$，把$\tan\alpha=2$代入得$\frac{2+1}{2-1}=3$。3.求过点$P(2,-1)$且与直线$2x-3y+1=0$平行的直线方程。答案：与直线$2x-3y+1=0$平行的直线设为$2x-3y+c=0$，将点$P(2,-1)$代入得$4+3+c=0$，解得$c=-7$，直线方程为$2x-3y-7=0$。4.已知数列$\{a_n\}$的前$n$项和$S_n=n^2$，求$a_n$。答案：当$n=1$时，$a_1=S_1=1$；当$n\geq2$时，$a_n=S_n-S_{n-1}=n^2-(n-1)^2=2n-1$，$n=1$时也满足，所以$a_n=2n-1$。五、讨论题（每题5分，共20分）1.讨论函数$f(x)=x^3-3x$的单调性与极值。答案：求导得$f^\prime(x)=3x^2-3=3(x+1)(x-1)$。令$f^\prime(x)\gt0$，得$x\lt-1$或$x\gt1$，函数递增；令$f^\prime(x)\lt0$，得$-1\ltx\lt1$，函数递减。$x=-1$取极大值$f(-1)=2$，$x=1$取极小值$f(1)=-2$。2.在椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a\gtb\gt0$）中，如何根据$a$，$b$的值确定焦点位置以及离心率？答案：若$a^2\gtb^2$，焦点在$x$轴；若$a^2\ltb^2$，焦点在$y$轴。离心率$e=\frac{c}{a}$，其中$c^2=a^2-b^2$，$c\gt0$。通过$a$，$b$求出$c$进而确定离心率。3.讨论等差数列与等比数列在通项公式、性质等方面的异同。答案：相同点：都是数列。不同点：通项公式上，等差数列$a_n=a_1+(n-1)d$，等比数列$a_n=a_1q^{n-1}$。性质上，等差数列有等差中项，等比数列有等比中项，运算规律也不同，如等差数列是加减法规律，等比数列是乘除法规律。4.已知直线与圆的位置关系有相交、相切、相离，如何通过几何方法和代数方法判断它们的位置关系？答案：几何方法：比较圆心到直线的距离$d$与圆半径$r$的大小，$d\ltr$相交，$d=r$相切，$d\gtr$相离。代数方法：联立直线与圆的方程，消元得一元二次方程，根据判别式$\Delta$判断，$\Delta\gt0$相交，$\Delta