山东聊城市东昌府区2025-2026学年九年级上学期2月期末数学试题（含答案）

2025——2026学年第一学期期末考试九年级数学试题时间：120分钟分值：120分一、选择题（本大题共10个小题共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意）1.斗拱是中国古典建筑上的重要部件。如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（

）2.点P1(−1,y1)，P2(3,y2)，P3A.y3>yC.y1>y3.如图，在平面直角坐标系中，∆ABC与∆A'B'C'是位似图形，位似中心为点O。若OA4.若关于x的一元二次方程x2+2x−kA.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限5.如图，在⊙O中，弦AB∥CD，连接BC交半径OD于点E。若∠BOD=80°A.40° B.38°C.45° D.80°6.如图，E是矩形ABCD的边CB上一点，连结DE，作AF⊥DE于点F，AB=3，AD=2，CE=1A.3105  B.C.432  7.在同一坐标系内，一次函数y=ax+b与二次函数8.如图①是卧室门锁的局部图，图②是其示意图，其中点O到门框l的距离为2cm，且OA⊥l，当开门时，提起门把手绕点O顺时针旋转60°点A到达点B的位置，此时点B到门框l的距离为8cm，则门把手OA划过的区域面积为（A.12π  B.24C.36π  D.9.如图，小区物业规划在一个长60m，宽22m的矩形场地ABCD上，修建一个小型停车场，阴影部分为停车位所在区域，两侧是宽xm的道路，中间是宽2xm的道路。如果阴影部分的总面积是600m2A.x2−41x+180=0C.x2−41x+30=010.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象经过点(0,2)，其对称轴为直线x=−1。下列结论：①3a+c>0；②若点(−4,y1)A.①②④  B.②③  C.②④  D.②③④二.填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分，只要求填写最后的结果）11.反比例函数y=(2m−1)xm2−212.已知m，n是关于x的一元二次方程x2−2025x13.如图，在△ABC中，AB=AC=210，BC=4，⊙14.如图，在平面直角坐标系中，已知四边形ABCD为菱形，边AD在y轴上，点C在反比例函数y=20x的图象上，点B坐标为(−415.如图，在矩形ABCD中，AD=2，CD=4，P是AB边上一个动点，连接DP，E是DP上的一个动点，连接AE，CE，且三.解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤）16（本题8分，每小题4分）.（1）解方程：(x+2)(x17.(8分)如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上且AE（1）求证：∆ADE（2）若点E为AB中点，AD:AE=6:518.（8分）近年来，文创产品已成为城市的新名片.某文创店内以“雪豹”为主题的文创产品琳琅满目.数学兴趣小组的同学想要调查全校学生对其中四类文创产品的喜爱情况，设计了调查问卷.调查问卷年月在下面四类文创产品中，你最喜爱的是（

）（单选）A.玩偶B.冰箱贴C.创意摆件D.手机挂件【数据的收集与整理】数学兴趣小组的同学从收集到的调查问卷中随机抽取了部分问卷进行整理，绘最喜爱的文创产品的人数条形图最喜爱的文创产品的人数扇形图（1）本次抽样调查的样本容量是_________；（2）扇形图中“玩偶”对应扇形的圆心角的度数是_________；【做出合理估计】（3）若全校共有1800名学生，请你估计全校最喜爱手机挂件的学生人数是多少？【解决概率问题】（4）文创店负责人为了宣传以“雪豹”为主题的文创产品，端午节期间设置了抽奖活动：在一个不透明的盒子中装有四个完全相同的小球，它们分别写有A，B，C，D（A玩偶、B冰箱贴、C创意摆件、D手机挂件），摸出哪个小球就获得相应的文创产品．甲随机摸出一个小球后，放回并摇匀，乙再随机摸出一个．请用画树状图或列表的方法求出甲，乙两人恰好获得同一类文创产品的概率．19．（8分）如图，已知∆ABC内接于⊙O，AD⊥BC于点D，且线段AD、（1）求线段CD的长；（2）若线段AB的长为10，求⊙O20．（7分）在有毒、缺氧或浓烟等危险环境开展侦查、搜救是消防救援的核心工作之一，救援人员常面临人身安全威胁，关键时刻需要可靠伙伴一一消防机器狗，它能深入室内高危区，打通室内室外壁垒进行搜救，搭载的远距通讯模块，可实现远程操控与实时传图，为救援决策提供可视化信息．图1是被困人员所处的楼梯横断面示意图．楼梯斜坡用AB表示，转角平台用BC表示，地面用AD表示．已知BC∥AD，CD⊥AD，垂足为D，AB=6（1）求斜坡AB的坡比；（2）如图2，当机器狗爬到斜坡AB上点M处时，探测仪P测得被困人员头顶G的仰角为15°，继续前行到点N处，恰好能搜集到被困人员全身的影像，此时探测仪在线段CB的延长线上，记作点Q。图2示意图中所有点均处于同一平面，PM=QN，PM⊥AB、QN⊥AB，垂足分别为M、N，GC=0.52（参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，21.（12分）如图，一次函数y=−12x+2的图象与反比例函数y=k（1）求a、k的值；（2）直线AB过点P，与反比例函数图象交于点A，与x轴交于点B(−6,0)，连接AQ①求∆APQ②点M在反比例函数的图象上，点N在x轴上，若以点M、N、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点M坐标。22.（12分）综合与实践问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线。我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合。实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面60cm，起跳点与落地点的距离为160数学建模：如图1，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线l，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为M。以O为原点，OM所在直线为x轴，过点O与OM所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系。（1）请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式；问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变．（2）如图1，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q，点P的坐标为(0,75)，点Q在x轴的正半轴上．求起跳点P与落地点Q的水平距离OQ的长；（3）实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于3cm，才能安全通过．如图2，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形ABCD，其中∠ABC=∠BCD=90°，AB=57cm，BC23．（12分）问题提出（1）如图①，∆ABC中，点D在边AB上，且AD:DB=1:2，过D作DE∥BC，交AC于点问题解决（2）如图②，矩形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上，且AE:CF=1:2，过E作EG∥BC，交CD于点G，连接AF，交EF于点M．若AB问题探究（3）如图，正方形ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、AD上，且EG∥BC，EG、FH相交于点M，ME:MF=4:5，已知正方形ABCD的边长为16，FH长为20答案一．选择题（共10小题）题号12345678答案CDBCAACB二．填空题（共5小题）11．-1．12．2027．13．103．14．4．15．2三．解答题（共11小题）16．（8分）（1）x1=−3，x217．（8分）（1）证明：∵AE·∴AEAD又∵∠DAE∴∆ADE（2）解：∵点E为AB中点，∴AE=∵AD:∴AD=12∵∆ADE∴ADAB∴1220∴AC=∴CD=18．（8分）解：（1）120；（2）；96°；（3）1800×40答：估计全校最喜爱手机挂件的学生有600人（6分）（4）根据题意，可以画出如下树状图：由树状图可以看出，所有可能出现的结果共有16种，即AA，AB，AC，AD，BA，BB，BC，BD，CA，CB，CC，CD，DA，DB，DC，DD，这些结果出现的可能性相等，其中甲，乙两人恰好获得同一类文创产品的结果共有4种，即AA，BB，CC，DD.所以，P（甲，乙两人恰好获得同一类文创产品）=419.（8分）解：（1）已知∆ABC内接于⊙O，AD⊥BC于点D，且线段AD、∴∠ADC=∠ADB解(xx1=4，∴AD=4，在直角三角形ACD中，由勾股定理得：CD=（2）连接AO并延长AO交⊙O于点E，则AE是⊙O的直径，连接∴∠ABE∴∠ADC∵∠AEB∴∆ADC∴AD∴4解得AE=∴⊙O的半径为2520.（7分）解：（1）如图1，作BE⊥AD，垂足为∵BC∥AD∴DE∵AE=AD−DE∴AE在Rt∆ABE中，BE=∴i答：斜坡AB的坡比为1:3（2）如图2，作PF⊥CD于F，PH⊥根据题意可知：∠GPF=15°，∠HQP∵在Rt∆GPF中，∴GF∴HP∵i∴∠A∴∠HQP∵在Rt∆QHP中，∴MN答：MN的长为1.56米．21．（12分）解：（1）把P(a,4)4=−1解得a=−4∴点P的坐标为(−4,4)，把P(−4,4)代入y=k解得k=−16∴a=−4，（2）设直线AB函数解析式为y=把P(−4,4)，B(−6,0)代入得，解得{b∴直线AB函数解析式为y=2由{y=−16xy=2x∴点A的坐标为(−2,8)，∵一次函数y=−12x+2∴点Q的坐标为(0,2)，如图，过点P作PD⊥x轴于点D，过点Q作QG⊥PD于点G，过点A作AE⊥y轴于点E，∴S∆②设点Mm,16∵P(−4,4)，Q(0,2)，点M、N、P、当MN和PQ为对角线时，有MQ∥Q点可看作是将点N先向右平移|n|个单位，再向上平移故点M也是相应关系，即点M是点P向右平移|n|个单位，再向上平移∴点M的纵坐标为6，即6=16m，∴点M的坐标为−8当MQ和PN为对角线时，有MN∥N点可看作是将点Q先向下平移2个单位，再向左平移|n故点M也是相应关系，即点M是点P向下平移2个单位，再向左平移|n∴点M的纵坐标为2，即2=16∴m=−8∴点M的坐标为(−8,2)。综上，点M的坐标为−83,622.（12分）解：（1）由题意得，抛物线的对称轴为直线x=80，顶点纵坐标为60∴顶点坐标为(80,60)，设抛物线的函数解析式为：y=a(∵图象过原点，∴a(0−80解得a=−∴y=−（2）∵抛物线的形状不变，点（0，75），故第二次的函数图象可以看作由（1）的抛物线向上平移75个单位长度得到的，∴新的抛物线的解析式为：y=−当y=0时，−解得：x1=200，故起跳点P与落地点Q的水平距离OQ的长为200cm；（3）设该平台的高度为kcm，由题意，设新的函数解析式为：y=−∵AB=57cm，BC=40cm，CD=48由题意，仿青蛙机器人经过CD正上方3cm处，即抛物线经过点（80+40，48+3），即：（120，51），∴把（120，51）代入y=