甘肃省白银市普通高中改革与发展共同体2026届高三上学期1月期末联考 数学试卷

甘肃省白银市普通高中改革与发展共同体2025-2026学年高三上学期期末联考数学试题一、单选题1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．2．若，则的虚部是（

）A． B． C． D．3．设向量，若，则（

）A．2 B．1 C． D．04．“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．有12位同学在毕业前夕要留影，每位同学的身高均不同，要求排成前5位、后7位的两排，且组长站在前排正中间，两位女生甲、乙站前排，则所有的排法有（

）种．A． B． C． D．6．若函数的单调递减区间为，则的值为（

）A．6 B．3 C．-3 D．-67．记等比数列的前项和为，若，则（

）A．10 B．18 C．26 D．628．定义在上的奇函数满足，当时，，则（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知一组样本数据，则（

）A．该样本数据的平均数为2 B．该样本数据的众数与中位数相同C．该样本数据的方差大于极差 D．该样本数据的标准差小于众数10．对于函数，则（

）A．函数的图象关于直线对称B．函数在区间上单调递减C．函数在区间上的值域为D．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象11．在棱长为2的正方体中，点E，F，G分别为棱，，的中点，则下列说法正确的是（

）A．平面B．直线与所成角的余弦值为C．点E到平面的距离为D．三棱锥的外接球的表面积为三、填空题12．若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是.13．若，，则.14．已知实轴长为的双曲线的渐近线为，、分别为的上、下焦点，过点的直线与的上、下两支分别交于点、，且，则直线的斜率为.四、解答题15．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．(1)求角A的大小；(2)若的面积为，求的值；16．设抛物线的焦点为，过的直线与交于A，B两点.(1)求的准线方程；(2)设为准线上一点，且，求.17．如图，直三棱柱中，，，，是的中点，，分别是棱，上的点，.(1)证明：平面；(2)求平面和平面所成的二面角的正弦值.18．设函数.(1)若曲线在点处的切线经过点，求实数的值；(2)讨论的单调性；(3)若存在正实数，使得对，都有，求的取值范围.19．小芳、小明两人各拿两颗质地均匀的骰子（点数为1，2，3，4，5，6）玩游戏，游戏规则如下：每次由1人投掷手中的两颗骰子，在一次投掷后，若掷出的点数之和为4的倍数，则由原来投掷人继续投掷；若掷出的点数之和不是4的倍数，则由对方接着投掷．(1)求小明在一次投掷后，掷出的点数之和是4的倍数的概率；(2)规定第一次从小明开始，（ⅰ）求前4次投掷中，小明恰好投掷2次的概率；（ⅱ）在游戏的前4次投掷中，设小芳投掷的次数为随机变量，求的分布列和均值；(3)若第一次从小芳开始，求第次由小芳投掷的概率．

参考答案1．A【详解】因为，，由交集定义可得，.故选：A.2．C【详解】由，得，则，所以的虚部为.故选：C.3．C【详解】因为向量，由，可得，解得.故选：C.4．D【详解】由可得或，由可得，故或，解得或，因此由推不出，由也推不出，故“”是“”的既不充分也不必要条件，故选：D5．D【详解】第一步，从除组长、甲、乙外的9人中选出2人，有种；第二步，甲、乙和选出的2人排在前排，共种；第三步，后排7人全排列，有种，由分步乘法计数原理可得共有种.故选：D6．B【详解】由题意得，因为函数的单调递减区间为，所以的解集为，即方程的两根为，所以，解得，故选:B.7．C【详解】由可得公比，，因此，故选：C8．D【详解】因为是定义在上的奇函数，则，可得，可知4是的一个周期，又因为当时，，则，，对，令，可得，令，可得；令，可得；则，，，可得，所以.故选：D.9．BD【详解】因为平均数，所以方差，标准差，众数为2，将这组数由小到大排列，即，2在中间，中位数为2，最大数为3，最小数为，极差为，所以BD正确，AC错误.故选：BD.10．AC【详解】，对于A：，故A正确；对于B：，此时有增有减，故B错误；对于C：，此时，故C正确；对于D：函数的图象向右平移个单位得，故D错误，故选：AC．11．ABC【详解】在棱长为2的正方体中，点F，G分别为棱，的中点，则，又平面，平面，所以平面，故A正确；连接，，易得，所以为直线与所成的角或补角，又易得，，，由余弦定理得，所以直线与所成角的余弦值为，故B正确；在中，，，所以，设点E到平面的距离为h，又，所以，解得，即点E到平面的距离为，故C正确；为直角三角形，设的中点为，底面，设外接球半径为，球心为，则在直线上，而，故为钝角，故在的延长线上，由，，解得，所以外接球的表面积为，故D错误.故选：ABC.12．【详解】因为焦点在x轴上，则，解得.则实数a的取值范围是.故答案为：.13．/【详解】因为，所以，所以，，又，解得，所以.故答案为：.14．【详解】因为实轴长为的双曲线的渐近线为，则，解得，所以，双曲线的方程为，，如下图所示：设，由双曲线的定义可得，则，，所以，，所以，，由余弦定理可得，所以，，解得，所以，，所以，，当直线的倾斜角为锐角时，则，所以，，此时，直线的斜率为；当直线的倾斜角为钝角时，由对称性可知，直线的斜率为.综上所述，直线的斜率为.故答案为：.15．(1)(2)【详解】（1）由可得，故，由于,故，（2）由，故，又得，故，故，16．(1)(2)【详解】（1）因为抛物线的方程为，所以抛物线的准线方程为（2）因为在的准线上，所以，即，易得的坐标为，此时，因为，所以，解得，所以的方程为，设，，联立消去并整理得，由韦达定理得，所以17．(1)证明见解析(2)【详解】（1）取中点，连接，，由是中点得，，三棱柱中，由，，由题意，分别是棱，上的点，，得，所以，，所以四边形是平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面.（2）在直三棱柱中，平面，，所以，，两两垂直，以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示，由，，，知，，，，，设平面的一个法向量为，则即取，则，，即；易知平面的一个法向量为，

设平面和平面所成二面角为，则，所以，即平面和平面所成的二面角的正弦值为.18．(1)(2)答案见解析(3).【详解】（1）因为，所以，，所以曲线在点处的切线为，又切线过点，所以，所以.（2）的定义域为，，当时，，在上单调递增；当时，由，得；由，得；由，得，所以在上单调递减，在上单调递增.（3）当时，在上单调递增，由知时，，当时，由（2）知当，即时，对成立，所以时，存在正实数，使得对，从而化为，当，即时，由（2）知在上单调递减，，化为，即，①时，令，则，当时，在单调递增，存在正实数，使得对，当时，由得，由得，由得，所以的单调递增区间为，单调递减区间为，要存在正实数，使得对，则，所以；②当时，令，要存在正实数，使得对，则存在正实数，使得在上单调递减，即对成立，当时，，此时单调递增，不符合题意，当时，由得，从而，所以.综合①②知，的取值范围为.19．(1)(2)（ⅰ）；（ⅱ）分布列见解析，(3)【详解】（1）设事件为“小明投掷一次骰子后，点数之和为4的倍数”，则基本事件总数为36，事件包含的基本事件有，，，，，，，，，共9个基本事件，则．（2）由（1）知小芳投掷一次后，出现点数之和是4的倍数的概率也为．（ⅰ）因为第1次从小明开始，所以前4次投掷中小明恰好投掷2次的概率为：；（ⅱ）设游戏的前4次投掷中，小芳投掷的次数