河北省沧州市六县一中2026届高三上学期数学试题

高三数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用对数函数单调性求出集合，再求出集合，根据交集的定义运算.【详解】得，则，又，则.故选：B2.若复数满足，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知可得，结合复数的除法运算化简可得结论.【详解】因为，所以，故选：D.3.已知等差数列中，，则（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】D【解析】【分析】根据等差数列的项的性质计算即可.【详解】在等差数列中，由于，故，所以.故选：D.4.若，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用诱导公式将已知条件化简，再结合同角三角函数的基本关系式求解即可.【详解】由，可得，所以，所以，又因为，所以，所以，又因为，所以，所以，所以.故选：B.5.已知均为单位向量.若，则与夹角的大小是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】对两边同时平方，再结合单位向量的性质求出，最后根据向量数量积公式求出夹角.【详解】已知，两边平方可得.则，所以.

因为均为单位向量，所以.根据，，将其代入可得：.

则.

设与的夹角为，，且，，可得，即.因为，所以.

则与夹角的大小是.故选：C.6.已知一正三棱柱的底面边长为6，其内部有一球与其各表面都相切，则该正三棱柱的外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用正三棱柱的性质，结合勾股定理即可求得外接球表面积.【详解】边长为6的正三角形的内切圆半径为：，所以正三棱柱的高为，则外接球半径，所以外接球的表面积为：，故选：D7.已知函数，则（）A.的图象关于直线对称 B.的图象关于点对称C.图象关于点对称 D.的图象关于直线对称【答案】C【解析】【分析】根据对称性定义计算判断各个选项．【详解】对于A选项，若的图象关于直线对称，则，而，，二者不相等，故A错误；对于B选项，若的图象关于点对称，则，而，故B错误”而，所以的图象关于点对称，C选项正确，D选项错误．故选：C．8.在三棱锥中，，，，，且，则二面角的余弦值的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先得的轨迹方程，进一步作二面角的平面角为，结合轨迹的参数方程以及余弦定理、基本不等式即可求解，注意取等条件.【详解】因为，所以，点的轨迹方程为（椭球），又因为，所以点的轨迹方程为，（双曲线的一支）过点作，而面，所以面，设为中点，则二面角为，所以不妨设，所以，所以，令，所以，等号成立当且仅当，所以当且仅当时，.故选：A.【点睛】关键点点睛：关键是用定义法作出二面角的平面角，结合轨迹方程设参即可顺利得解.二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.为了验证牛的毛色（黑色、红色）和角（有角、无角）这两对相对性状是否相关，某学院进行了一次数据统计，并根据形成的2×2列联表，计算得到，根据小概率值为的独立性检验，则（）附：0.1000.0500.0102.7063.8416.635A.若，则认为“毛色”和“角”无关B.若，则认为“毛色”和“角”有关，此推断犯错误的概率不超过10%C.若，则认为“毛色”和“角”无关D.若，则认为“毛色”和“角”有关，此推断犯错误的概率不超过1%【答案】BC【解析】【分析】根据独立性检验的判断原则一一分析即可.【详解】对AB，若，因为，则认为“毛色”和“角”有关，此推断犯错误的概率不超过10%，故A错，B对；对CD，若，因为，则认为“毛色”和“角”无关，故C正确，D错误.故选：BC.10.已知正方体的棱长为1，点满足，其中，则（）A.当时，平面B.当时，异面直线与所成的角为C.当时，D.当时，线段的长度最小值为【答案】ACD【解析】【分析】以正方体一个顶点及三条棱建立空间直角坐标系，得到点的坐标.A选项由空间向量证明线面平行；B选项由空间向量的夹角公式求得线线角；C选项由空间向量的数量积为0证明线线垂直；D选项由基本不等式求得的模长的最小值.【详解】在正方体中，以为坐标原点，分别为如图建立空间直角坐标系.，，∵，∴，A选项：，，∴，即是平面的法向量，又∵，∴平面，A选项正确；B选项：设，则，，设异面直线与所成的角为，则，显然，选项错误；C选项：设，则，即，，则，∴，C选项正确；D选项：，∵，则即，当且仅当时取等号，∴，D选项正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛，本题是立体几何中的动点产生的线线和线面的关系，所以本题建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标关系求得对称结果即可.11.已知双曲线的左､右焦点分别为，过坐标原点的直线与双曲线的左､右两支分别交于两点，为的右支上一点（异于点），的内切圆圆心为.则以下结论正确的是（）A.直线与的斜率之积为4B.若，则C.以为直径的圆与圆相切D.若，则点坐标为【答案】BC【解析】【分析】由题意设点,，,，,，把点，坐标代入双曲线的方程，两式相减得，即可判断A；利用余弦定理，结合；记，则双曲线定义即可判断B，由于，利用勾股定理以及双曲线定义，结合等面积法进而可求内切圆半径，利用切线长的性质即可求解C；画出图形，利用是线段的中点，结合双曲线的性质以及定义，转化推出以为直径的圆与圆的位置关系即可判断D．【详解】设点,，,，,，则且，两式相减得，，，故A错误，由于，，若，由余弦定理可得，解得，由于，故，故B正确，在双曲线右支上，，是线段的中点，，是线段的中点，，，，，即圆心距等于两圆的半径之差，以线段为直径的圆与圆的位置关系是内切，故C正确．记，则，，，解得或（舍去），，的面积为，设三角的内切圆半径为，则，所以，设圆与三边相切于，则设则故，解得，所以,故或,D错误，故选：BC．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知直线经过点，且与直线垂直，则直线的方程是__________．【答案】【解析】【分析】根据直线垂直求直线的斜率，再利用点斜式求直线方程.【详解】因为直线的斜率为，直线与直线垂直，所以直线的斜率为，所以直线的方程为，整理得.故答案为：13.在四棱锥中，，，，，，且平面，过点A的平面与侧棱PB，PC，PD分别交于点E，F，G，若四边形为菱形，则______．【答案】【解析】【分析】过作AP的平行线为轴，BC,BA分别为x,y轴，建立空间直角坐标系，求出，，利用求解即可.【详解】过作AP的平行线为轴，BC,BA分别为x,y轴，如图建系令，则，，，，，E,F,G分别在PB,PC,PD上，令，，，，，，，，，，，，即.故答案为：14.已知函数，设曲线在点处切线的斜率为，若均不相等，且，则的最小值为______．【答案】18【解析】【分析】求出函数的导数，可得的表达式，由此化简推出，结合说明，继而利用基本不等式，即可求得答案.【详解】由于，故，故，，则，由，得，由，即，知位于之间，不妨设，则，故，当且仅当，即时等号成立，故则的最小值为18，故答案为：18【点睛】关键点睛：本题考查了导数的几何意义以及不等式求最值的应用，解答的关键是利用导数的表达式推出，并说明，然后利用基本不等式求最值即可.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知不等式ax2+3ax+1>0，(1)若不等式的解集是{x|-4<x<1}，求的值；(2)若不等式的解集是R,求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)由题意结合不等式的解集和韦达定理即可求得实数a的值；(2)由题意分类讨论a=0和a≠0两种情况即可确定实数a的取值范围.【详解】(1)由题意可得：且是一元二次方程的两个实数根，结合韦达定理有：，据此可得：；(2)当时，不等式为，其解集为R，满足题意，当时，应满足：，即：，此时，综上可得，的取值范围是.【点睛】本题主要考查二次不等式的解法，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16.如图，三棱柱中，D，E，F分别为棱，，中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由已知利用三角形的中位线的性质可证，进而利用线面平行的判定定理即可证明平面.（2）由已知可证是平行四边形，进而证明，利用线面平行的判定证明平面，根据面面平行的判定证明平面平面，根据面面平行的性质即可可证平面.【详解】（1）在中，D，E分别为棱，中点.所以，因为平面，平面，所以平面.（2）在三棱柱中，，因为E，F分别为，中点，所以，所以是平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面，又因为平面，，所以平面平面，所以平面.【点睛】本题考查线面平行的证明，考查利用面面平行证明面面平行，属于基础题.17.向量，，函数，相邻对称轴之间的距离为．（1）求函数解析式和对称中心；（2）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位得的图象，若关于x的方程在上只有一个解，求实数m的取值范围．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）结合数量积的坐标运算，利用二倍角公式和辅助角公式得，然后利用周期求得，然后利用正弦函数的对称性求解对称中心；（2）先根据三角函数变换法则求得，令，则，将问题转化为在上只有一个解，画出与的图象，数形结合即可求解.【小问1详解】因为，，所以，因为相邻的对称轴之间的距离为，所以的最小正周期为，所以，得，所以，令得，，所以函数的对称中心为；【小问2详解】由（1）知，将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数，再向左平移个单位得，令，则，所以，因为在上只有一个解，由的图象可得，或，所以的取值范围是.18.在平面直角坐标系中，为坐标原点，F，T分别是椭圆：的左焦点，右顶点，过F的直线交椭圆C于A，B两点，当轴时，的面积为.（1）求；（2）若斜率为的直线交椭圆C于G，H两点，N为以线段为直径的圆上一点，求的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）在椭圆方程中，令，解得，得，再根据结合，求出答案；（2）设直线：与椭圆方程联立，由韦达定理求得的中点为，利用弦长公式求得，进而得到以为直径的圆的半径，由，三角换元利用三角函数性质求出最大值.【小问1详解】依题意有，当轴时，在椭圆方程中，令，解得，则，，又．解得，．【小问2详解】设直线：，设，，联立，得，所以，所以.，所以的中点为，所以.又的轨迹是以为圆心，半径的圆，所以.令，，记，又，所以，时，.19.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，若不等式恒成立，求的值；（3）若有两个不同的零点，（），且恒成立，求实数k的最小值.附：当时，.【答案】（1）答案见解析（2）-4（3）0.【解析】【分析】（1）对函数求导，分两种情况分别讨论函数的单调性.（2）先确定当时的单调区间和零点，即，，然后使得的两根恰为m，n，结合韦达定理对进行化简求出结果即可.（3）先确定的两个零点之间的关系式，令，代入进行化简，构造新函数令，然后求导判断单调性，即可求得的最小值.【小问1详解】由题可知的定义域为，，当时，，此时单调递减，当时，令，可得，当时，，此时单调递增，当时，，此时单调递减.综上，当时，在上单调递