南昌中学2025-2026学年高三上学期1月月考数学试题

南昌中学高三月考数学试卷（2026年1月）一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则是（）A. B. C. D.2.若，则“”是复数“”为纯虚数的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.若向量满足，则在上的投影向量是（）A. B. C. D.4.设是等差数列的前项和，若，则（）A.15 B.30 C.45 D.605.函数的一个单调递减区间为（）A. B. C. D.6.如图，圆锥的高，侧面积是底面圆上的两个动点，则面积的最大值为（）A. B.2 C.1 D.7.如图，椭圆与双曲线有共同的右焦点，这两条曲线在第一､三象限的交点分别为，直线与双曲线右支的另一个交点为形成以为斜边的等腰直角三角形，则该椭圆的离心率为（）A. B. C. D.8.设，已知函数在区间内恰有2025个零点，则（）A. B. C. D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设样本空间，且每个样本点是等可能的，已知事件，则下列结论正确的是（）A.事件与为互斥事件B.事件两两独立C.D.10.在棱长为1的正方体中，为线段上的动点，则下列结论正确的有（）A.B.三棱锥的体积为定值C.存在点使得D.直线平面11.已知定义域为的函数满足，且为的导函数，则（）A.为偶函数 B.为周期函数C. D.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.如果随机变量，且，那么的值为__________.13.在的展开式中，常数项为__________.14.若函数在上不单调，则实数的取值范围为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本题满分13分）已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若恒成立，求的取值范围.16.（本题满分15分）记的内角的对边分别为，已知.（1）若，求；（2）求的最小值.17.（本题满分15分）为进一步学习好､宣传好､贯彻好党的二十大精神，某地的民调机构随机选取了该地的100名市民进行调查，将他们的年龄（单位：岁）分成6段：，并绘制了如图所示的频率分布直方图.（1）现从年龄在内的人员中按分层随机抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取3人进行座谈，用表示年龄在内的人数，求的分布列和数学期望；（2）若用样本的频率代替概率，用随机抽样的方法从该地抽取20名市民进行调查，其中名市民的年龄在的概率为.当最大时，求的值.18.（本题满分17分）如图，已知直线，点.为直线上任意一点，过点且与垂直的直线交线段的垂直平分线于点，记动点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）为轴正半轴上的一点，过点的直线与曲线相交于两点，直线分别与曲线相交于异于的两点当直线的斜率都存在时，分别记为.若，求点的坐标.19.（本题满分17分）如图①，圆柱的底面直径和母线的长均为2，过，两点与底面所成角为的平面与圆柱的交线为曲线，若沿母线将其侧面剪开并展平，以母线的中点为坐标原点，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图②所示，曲线在平面直角坐标系中为函数图象的一部分.（1）在图①中，为弧的中点，直线与该圆柱体的内切球（与上､下底面和侧面均相切的球）的球面交于，两点，求线段的长；（2）求的解析式；（3）已知，当时，，求的取值范围.南昌中学2026届高三月考数学试卷参考答案一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】A.2.【答案】C【解析】【分析】根据纯虚数的概念进行判断即可.【详解】若，则为纯虚数；若为纯虚数，，则有，解得.所以，当时，“”是复数“”为纯虚数的充要条件.故选：C3.【答案】D【分析】先设投影向量是，利用解出即可得出答案.【详解】设投影向量是，则，所以，即在上的投影向量是.故选：D.4.【答案】C【分析】根据等差数列的性质求出，再根据等差数列前项和公式即可得解.【详解】由题意得，所以，所以.故选：C.5.答案：C思路：先变形解析式，，再求出单调区间：时，D选项符合要求6.【答案】B【分析】设圆锥母线长为，底面圆半径为，由侧面展开图面积，再作出圆锥的轴截面，由时，面积最大求解.【详解】设圆锥母线长为，底面圆半径为，所以，解得，作出圆锥的轴截面，如图所示：则，因为底面圆周上有两动点，当时，则面积的最大，最大值为.故选：B.7.【详解】设左焦点为，则，在中用勾股定理，化简得，所以，所以，所以.故选：C.8.【答案】D【解析】【分析】根据题意由正弦函数的零点结合图象可得.【详解】令，得，所以，又，所以，所以，所以，由题可得方程有2025个根，即曲线与直线在区间内共有2025个交点.当时，，当时，，当时，，由题意及曲线在区间内的图象可知方程分别有两个不同实根，且各根均不同，所以需，所以.故选：D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.【答案】BD.【详解】对于选项A，因为，所以事件A与不互斥，故A错误；对于选项B，，故B正确；对于选项C，交集为，则，故C错误；对于选项D，，故D正确.故选：BD.10.【答案】ABD【分析】证明直线与平面垂直，可得直线与直线垂直判定A；利用等体积法证明三棱锥的体积为定值判断B；由平面内以为直径的圆与无交点判断C；证明平面与平面平行，可得直线与平面平行判断D.【详解】对于A，在正方体中，平面，又，平面，则，由正方形得，又因为平面，所以平面，又平面，所以，故A正确；对于B，在正方体中，因为，所以四边形为平行四边形，所以平面平面，所以平面，则到平面的距离为定值，所以为定值，故B正确；对于C，因为，两平行线与间的距离为1，则平面内以为直径的圆与无交点，故为锐角，故C错误；对于D，因为，所以四边形为平行四边形，可得，同理可证，因为平面平面，所以平面，因为平面平面，所以平面，而平面，所以平面平面，而平面，所以直线，故正确.故选：.11.【答案】ABD【解析】令，则，所以.令，则，所以，所以为偶函数.，所以，即，所以，所以.因为，所以，同理，.因为，两边求导得，所以，所以，所以.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.【分析】根据正态分布的对称性计算可得.【详解】因为且，所以.故答案为：0.313.【答案】1120【解析】【分析】将式子变形为，即可求解的通项，并求解其含的项，即可得解.【详解】，则展开式的通项为，令，解得，所以常数项为.故答案为：112014.【答案】【分析】根据题意可知导函数在上有正有负，通过讨论的取值范围结合二阶求导分析计算可得结果.【详解】.设，则.当时，在上单调递增，，此时在上单调递增，不合题意.当时，由得，由得，在上单调递减，在上单调递增，，当时，，当时，，∵函数在上不单调，，即，，解得，即实数的取值范围为.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本题满分13分）（1），（2）【分析】（1）依据题意求出切点，利用导数的几何意义求出斜率，进而得到切线方程即可.（2）利用导数求出的最小值，再建立不等式并结合给定条件求出参数范围即可.【详解】（1）当时，，而，则切点坐标为，易得，得到切线斜率为，故曲线在点处的切线方程为，即.（2）由题意得的定义域为，且，而，令，令，即的单调递减区间为，单调递增区间为，则当时，有最小值，得到，解得，，即的取值范围为.16.（本题满分15分）【答案】（1）；（2）.【分析】（1）方法一：直接根据待求表达式变形处理，方法二：先二倍角公式处理等式右边，在变形，方法三：根据诱导公式可将题干同构处理，结合导数判断单调性，推知即可求解，方法四：根据半角公式和两角差的正切公式化简后求解.（2）由（1）知，，再利用正弦定理以及二倍角公式将化成，然后利用基本不等式即可解出.【详解】（1）方法一：直接法可得，则，即，注意到，于是，展开可得，则，又.方法二：二倍角公式处理+直接法因为，即，而，所以；方法四：恒等变换化简，结合正切函数的单调性，，则，结合，解得.（2）由（1）知，，所以，而，所以，即有，所以所以.当且仅当时取等号，所以的最小值为.17.（本题满分15分）【解析】（1）按照分层抽样的方法抽取的8人中，年龄在内的人数分别为1，2，5.随机变量的可能取值为.，所以随机变量的分布列为：012，（2）用样本的频率代替概率，抽取的100名市民的年龄在的频率为，所以随机抽取20名市民，年龄在的概率为0.35.设20名市民中，年龄在的人数为，则.所以.设当时，，此时.当时，此时.当时，最大.18.（本题满分17分）【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据抛物线的定义即可；（2）先设直线与抛物线联立，结合三点共线得和，再计算出就可以得解.【详解】（1）根据线段垂直平分线的性质，知.∴动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线.故曲线的方程为.（2）设点，直线.由，消去，得.又，由三点共线，知，即化简，得.显然，即.同理可得..又，由，有.故点的坐标为19.（本题满分17分）【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）设，分别为圆柱上､下底面的圆心，连接，，，由题意得的中点为，连接，，，，在三角形中计算即可；（2）设为曲线上任意一点，由题意得，，得，即，在截面圆中，即可求得；（3）由，得，令，得，利用导数研究单调性即可求解.【小问1详解】如图，设，分别为圆柱上､下底面的圆心，连接，，，由题意得的中点为，因为为弧的中点，所以，在中，，，所以与圆柱的底面所成角的正切值为，连接，，，，由，得，取的中点为，连接，则，因为，，所以，由及，得G也是的中点，所以.【小问2详解】由题意在图①中与圆柱底面平行的截面圆对应图②中的轴，为的中点，如图，设与该截面圆的交线为，过与平行的直线与的交点为，由，且，得，由题知平面与截面圆所成角为，所以为二面角的平面角，所以，.设为曲线上任意一点，过作截面圆的垂线，交该截面于点，过向引垂线，交于点，连接，，，由题意得，，由上可知，所以，在截