四川省雅安市2025-2026学年高三上学期第一次诊断性考试数学试卷

雅安市高2023级第一次诊断性考试数学试题（本试卷满分150分，答题时间120分钟）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名，考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确.2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸，试题卷上答题无效.3.考试结束后，将答题卡收回.一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】化简不等式，再利用交集的定义直接求解.【详解】依题意，集合，而，所以.故选：D2.若复数满足，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据复数的除法法则可得，化简求即可.【详解】因为，所以，故选：A.3.若，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据关系结合诱导公式及条件求结论.【详解】因为，所以.故选：A.4.已知平面向量与的夹角为，，则（）A.2 B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先由条件求出，再利用向量数量积的运算律计算即得.【详解】由题意，，，与的夹角为，故，则.故选：C.5.已知函数则方程的实数根的个数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】对函数进行分段讨论即可求解.【详解】当时，则，可得或,由解得符合题意；由得无实数解，舍去.当时，则，解得符合题意，综上，方程有个实数根.故选：6.已知方程表示焦点在x轴上双曲线，则其离心率的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意可求出m的取值范围，再根据离心率的定义求出其表达式，结合不等式性质即可求得答案.【详解】由方程表示焦点在x轴上的双曲线，得，即得，故双曲线的离心率为，由于，故，故.故选：C7.在钝角中，内角的对边分别为，若，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据正弦定理及，对题干式子进行化简得到，即，再利用余弦定理即可求出.【详解】因为，由正弦定理得，又，所以，即，因为为钝角三角形，则，所以，由正弦定理得，又，则，又因为，由余弦定理得.故选：A.8.在正四棱台中，，，，则该正四棱台的外接球的表面积为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】取中点分别为，连接，过作平面的垂线，垂足为，设正四棱台外接球的球心为，半径为，则在直线上，又，利用勾股定理求出即可求出从而得解.【详解】正四棱台中，取中点分别为，连接，由，，，可得，，过作平面的垂线，垂足为，则点在上，且，所以，设正四棱台外接球的球心为，半径为，由对称性可知球心在直线上，若球心在线段上，则，此时无正数解，所以球心在的延长线上，则，即，解得，所以，所以该外接球的表面积为，故选：B二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）在每小题给出的四个选项中，有多个符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.如图，函数的图象过，两点，则（）A.B.C.在区间上的值域为D.将的图象向右平移个单位后得到的函数的图象关于直线对称【答案】BD【解析】【分析】将点，代入函数，求出函数后，对选项进行一一分析即可.【详解】由图可知，在处函数取得最小值，因此可得：.根据图象可得：，又因为：，故函数表达式为：，将点代入函数，即，因为，所以得：，函数表达式为：.故选项A错误，选项B正确.由，得，所以，所以函数在上的值域为，故选项C错误.平移后的函数，对称轴满足：，令，解得，故D正确故选：BD10.已知椭圆的左、右焦点分别为，点为上异于长轴的顶点的一点，则下列说法正确的是（）A.当时，椭圆的离心率为；B.当的面积的最大值为时，椭圆的长轴长的最小值为4；C.已知，当点位于第一象限时，四边形的面积的最大值为；D.已知，则直线与直线的斜率之积为.【答案】ABC【解析】【分析】由，根据椭圆的定义，求得，可判定A正确；求得的面积的最大值为，得到，结合，可判定B正确；设，得到，结合三角函数的性质，可判定C正确；设，得到，结合斜率公式，可判定D错误.【详解】对于A，由椭圆的定义，可得，且，因为，可得，即，所以，所以A正确；对于B，因为点是椭圆上异于长轴的顶点的一点，则的面积为，即的面积的最大值为，所以，又由，当且仅当时，等号成立，所以，即，所以，所以椭圆的长轴长的最小值为，所以B正确；对于C，由，且点是椭圆位于第一象限的一点，可设，其中则四边形的面积为，因为，可得，当时，即，取得最大值，所以，所以四边形的面积的最大值为，所以C正确；对于D，设，可得，所以，又由点，可得，则，所以D错误.故选：ABC.11.如图，已知正方体的棱长为，分别是的中点，是正方形内（含边界）一动点，则下列说法正确的是（）A.当四点共面时，点的轨迹的长度为B.平面截正方体所得的截面的形状可能是五边形C.一定是锐角三角形D.当正方形内（含边界）一点满足平面平面时，的最小值为【答案】ABD【解析】【分析】结合图形可得点的轨迹为线段，由此判断A选项；取特殊点，当点与重合时，作出截面即可判断B选项；取特殊点，当点与重合时，结合余弦定理计算的值，即可判断C选项；结合图形作的中点，可得平面平面，即平面平面，进而判断点在上由此即可判断D选项.【详解】对于A，当四点共面时，点的轨迹为线段，长度为，故A正确；对于B，如图，当点与重合时，为棱上靠近的四等分点，为棱上靠近的四等分点，此时平面截正方体所得的截面为五边形，故B正确；对于C，如图，当点与重合时，，因为，所以；因为，所以；在中，由余弦定理得，所以为钝角，故C错误；对于D，如图，分别作的中点，连接，则，所以点共面，点共面；所以平面就是平面在正方体中的截面；由平面，平面，得；又，所以平面；又平面，所以平面平面，即平面平面，所以点在上；显然当点与重合时，取得最小值，且最小值为.故D正确.故选：ABD.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）将答案填在答题卡相应的横线上12.计算：___________【答案】【解析】【分析】利用根式运算、对数运算性质计算得解.【详解】.故答案为：13.甲、乙两人分别从A，B，C，D，E五个景点中随机选择一个景点游玩，若这两人中至少有一人选择景点A，则他们选择的景点不相同的概率为____.【答案】【解析】【分析】记事件为“甲乙两人中至少有一人选择景点A”，事件为“甲乙两人选择的景点不相同”，根据古典概型概率公式求出，再由条件概率公式求解即可.【详解】记事件为“甲乙两人中至少有一人选择景点A”，事件为“甲乙两人选择景点不相同”，甲乙两人从5个景点中随机选择1个景点游玩，每人都有5种不同的选法，共有种不同的选法，甲乙两人都不选择景点A的方法有种，因此甲乙两人中至少有一人选择景点A的方法共有种，甲乙两人中至少有一人选择景点A的概率，表示甲乙两人中至少有一人选择景点A，且甲乙两人选择景点不同，即一人选择景点A，另一人选择其它景点，共有种选法，则，所以.故答案为：14.在数学史上，平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，如图所示的曲线为卡西尼卵形线且过坐标原点，其中两定点为，，曲线上点在第一象限内且满足的面积为，则_______【答案】【解析】【分析】由题意求出曲线的方程为，根据的面积求出点的纵坐标，代入曲线方程求出横坐标，利用两点间距离公式即可求出答案.【详解】设曲线上的任意一点，由题意得，为常数，即，因为曲线过坐标原点，所以，解得，所以曲线的方程为，设点，由题意得，因为的面积为，则，所以，代入解得，即，所以.故答案为：.四、解答题（本大题共5小题，共77分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知等差数列的前n项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）数列满足，为的前n项和，证明：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为d，由题意列出方程组，即可求得答案；（2）结合（1）的结果可得的表达式，说明为等比数列，即可求出的表达式，结合不等式性质，即可证明结论.【小问1详解】设等差数列的公差为d，由，得，解得，故；【小问2详解】，则，故是以为首项，以为公比的等比数列，故，由于随着n的增大而增大，，故是关于n的增函数，故，又，故,综上可知.16.某高校为制定针对性的阅读推广方案，从全校随机抽取400名大学生开展“纸质书阅读偏好”专项调查，收集到的性别与专业交叉数据如下表（单位：人）：专业类型阅读偏好合计喜欢阅读纸质书不喜欢阅读纸质书文科150120270理工科5080130合计200200400（1）依据的独立性检验，能否认为该校大学生“是否喜欢阅读纸质书”与“专业类型”有关？（2）从样本中“喜欢阅读纸质书”的大学生里，按专业类型用分层抽样抽取8人组建“纸质书推广志愿队”，再从这8人中随机抽取3人负责校园书展策划，记最后抽取的3人中，选中的文科学生人数为，求的分布列与数学期望.参考公式：，其中.参考数据：0.050.010.0050.0013.8416.6357.87910.828【答案】（1）有的把握认为该校大学生“是否喜欢阅读纸质书”与“专业类型”有关.（2）分布列见解析；期望为【解析】【分析】（1）由列联表中的数据，求得，结合附表，即可得到结论；（2）根据题意，求得抽取的8人中，文科人数为人，理科人数为人，得到变量的可能取值为，结合超几何分布的概率计算公式，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解.【小问1详解】解：假设认为该校大学生“是否喜欢阅读纸质书”与“专业类型”无关，由列联表中的数据，可得：，因为，所以拒绝假设，所以有的把握认为该校大学生“是否喜欢阅读纸质书”与“专业类型”有关.【小问2详解】解：由列联表中的数据，喜欢纸质书的共有200人，其中文科150人，理科50人，按比例抽取8人，则文科人数为人，理科人数为人，从这8人中抽取3人，为文科人数，则随机变量的可能取值为，可得，，，所以随机变量的分布列为123所以期望为.17.如图所示，在中，，，分别是边上的动点，且，将沿折起，将点折至点的位置，使得二面角为直二面角.（1）证明：平面；（2）证明：平面；（3）若，为的中点，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用线面平行判定推理即得；（2）根据给定条件，利用面面垂直定理判定推理即得；（3）先建立空间直角坐标系，求和平面的法向量，根据线面角的向量公式求线面角的正弦值.【小问1详解】因为，且平面，平面，平面；【小问2详解】折叠前，，且，所以，即，折叠后，变为，故；又因为二面角为直二面角，且平面平面，平面，，所以平面；【小问3详解】如图，以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，由，得，因，故，由，得，故，，，，，为中点，故，则，，设平面的法向量为，由且，得方程组：，化简得，令，则，故法向量，直线的方向向量，设直线与平面所成角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为.18.已知函数.（1）若，证明：；（2）令，若函数在区间上恰有一个零点，求k的取值范围；（3）若，证明：.【答案】（1）证明见解析（2）或（3）证明见解析【解析】【分析】（1）对函数求导后，可得，将定义域分成和两段，利用导数判断函数单调性证明成立，经等价变形即可证得；（2）根据题意，将问题转化为函数与在上恰有一个交点，通过求导判断的单调性，求出极值和端点函数值，利用函数与方程的思想即可求得答案；（3）利用（1）可得时，在上单调递减，推理可得，再利用（1）的结论，当且仅当时取等，即可证得结论.【小问1详解】当时，，函数定义域为，则，易得，下证当时.要证，需证，即证，设，则，当时，，则在上单调递增，故，即，故有；当时，，则在上单调递减，故，即，故有.综上可得，当时，恒成立；【小问2详解】，由可得，即，，设，则问题转化为函数与在上恰有一个交点.则，由可得，因，则，当时，，则函数在上单调递增；当时，，则函数在上单调递减.又，则当时，两函数无交点；当或时，两函数有1个交点；当两函数有2个交点.故当函数在区间上恰有一个零点时，k的取值范围为或；【小问3详解】由（1）知，当时，，即在上单调递减，因，则，即，也即，由可得，在（1）中已证，当且仅当时取等，故有，所以得证.19.已知曲线上的动点满足，其中，，抛物线的焦点为，点在抛物线的准线上，线段与抛物线交于点，，.（1）求曲线的方程和抛物线的方程；（2）点是抛物线上的动点，过点作曲线的两条切线分别与交于两点，求的面积的最小值及此时点的坐标.【答案】（1），（2）；或【解析】【分析】（1）设，利用向量数量积的坐标表示求出曲线，利用抛物线的定义和性质求出抛物线；（2）设切线方程为，切线斜率为，