3.1函数的概念及其表示-2021-2022学年高一数学同步学案（人教A版2019必修第一册）（原卷版）

3.1函数的概念及其表示【学习要求】1)了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．2)在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．3)了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段).【思维导图】【知识梳理】1．函数的概念定义设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数三要素对应关系y＝f(x)，x∈A定义域x的取值集合值域与x的值相对应的y的值的集合{f(x)|x∈A}.【注】(1)对数集的要求：集合A、B为非空数集．(2)任意性和唯一性：集合A中的数具有任意性，集合B中的数具有唯一性．(3)对符号“f”的认识：它表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样．(4)一个区别：f(x)是一个符号，不表示f与x的乘积，而f(a)表示函数f(x)当自变量x取a时的一个函数值．(5)函数三要素：定义域、对应关系和值域是函数的三要素，三者缺一不可．2．区间及有关概念(1)一般区间的表示．设a，b∈R，且a<b，规定如下：定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间[a，b]{x|a＜x＜b}开区间(a，b){x|a≤x＜b}半开半闭区间[a，b){x|a＜x≤b}半开半闭区间(a，b](2)特殊区间的表示.定义R{x|x≥a}{x|x>a}{x|x≤a}{x|x<a}符号(－∞，＋∞)[a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，a](－∞，a)【注】(1)关注实心点、空心圈：用数轴表示区间时，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心圈表示不包括在区间内的端点．(2)区分开和闭：在用区间表示集合时，开和闭不能混淆．(3)正确理解“∞”：“∞”是一个趋向符号，不是一个数，它表示数的变化趋势．以“－∞”和“＋∞”为区间的一端时，这一端点必须用小括号．3.函数的表示法表示法定义解析法用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，这种表示方法叫做解析法，这个数学表达式叫做函数的解析式图象法以自变量x的取值为横坐标，对应的函数值y为纵坐标，在平面直角坐标系中描出各个点，这些点构成了函数y＝f(x)的图象，这种用图象表示两个变量之间对应关系的方法叫做图象法列表法列一个两行多列的表格，第一行是自变量的取值，第二行是对应的函数值，这种列出表格来表示两个变量之间对应关系的方法叫做列表法【注】三种表示法的优缺点如下表：表示法优点缺点解析法简明、全面地概括了变量之间的关系，且利用解析式可求任一自变量对应的函数值不够形象直观，而且并不是所有函数都有解析式图象法能形象直观地表示变量的变化情况只能近似地求出自变量所对应的函数值列表法不需计算可以直接看出与自变量对应的函数值只能表示有限个数的自变量所对应的函数值4.分段函数所谓分段函数，是指在定义域的不同部分，有不同的对应关系的函数．【注】分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数．分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．【高频考点】高频考点1.对函数概念的理解【方法点拨】对于给定的对应关系，判断是否满足函数的概念，即可判断对应关系是否是函数.【例1】（2021·上海高一专题练习）设集合，，那么下面的4个图形中，能表示集合到集合的函数关系的有（）A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．②【变式1-1】（2021·全国高一课时练习）下列对应是从集合到集合的函数的是（）A．，，对应关系:对集合中的元素取绝对值与中元素对应B．，，对应关系:，，C．，，对应关系:，，D．A={x|x三角形}，，对应关系:对中元素求面积与中元素对应【变式1-2】（2021·广东高一单元测试）设集合，，那么下面的4个图形中，能表示集合到集合的函数关系的有（）A．B．C．D．【变式1-3】（2021·太原市第五十六中学校高二月考）设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的序号有______．【变式1-4】（2021·全国高一专题练习）有对应法则f：（1）A＝{0，2}，B＝{0，1}，x→；（2）A＝{－2，0，2}，B＝{4}，x→x2；（3）A＝R，B＝{y|y＞0}，x→；（4）A＝R，B＝R，x→2x＋1；（5）A＝{(x，y)|x，y∈R}，B＝R，(x，y)→x＋y.其中能构成从集合A到集合B的函数的有________(填序号)．高频考点2.函数的定义域问题【方法点拨】①根据解析式有意义的条件，列出关于自变量的不等式（组），即可求解，把不等式（组）的解集表示成集合或区间的形式.②已知函数的定义域求参数，结合解析式有意义的条件，列出关于参数的关系式，即可得解.【例2】（2021·浙江师范大学附属东阳花园外国语学校高二月考）函数的定义域是（）A． B． C． D．【变式2-1】（2021·怀化市辰溪博雅实验学校高二月考）函数的定义域为（）A． B． C． D．【变式2-2】（2021·沙坪坝·重庆八中高二月考）若函数的定义域是，则函数的定义域是（）A． B． C． D．【变式2-3】（2022·全国高三专题练习）已知函数的定义域为，若有定义，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【变式2-4】（2022·全国高三专题练习）若函数的定义域为R，则实数a的取值范围为________.高频考点3.求函数的解析式【方法点拨】1）已知解析式类型，用待定系数法求解析式；2）未知解析式类型，用构造法求解析式；【例3】（2021·全国）（1）若二次函数满足，，求.（2）若对任意实数，均有，求.（3）已知，求的解析式；（4）已知，求的解析式.【变式3-1】（2021·云南省楚雄天人中学高一月考）求下列函数的解析式（1）已知是一次函数，且满足，求；（2）若函数，求．【变式3-2】（2022·全国高三专题练习）已知，则满足的关系有（）A．B．C．D．【变式3-3】（2021·全国高一专题练习）已知二次函数满足，，则函数的最小值为__________．【变式3-4】（2021·新疆五家渠市兵团二中金科实验中学高一开学考试）已知是一次函数，，则（）A． B． C． D．高频考点4.同一函数的判断【方法点拨】对于给定的两个函数，分析两函数的定义域、对应关系是否相同，即可判断两函数是否是同一函数．【例4】（2021·静宁县第一中学高三月考）下列各组函数是同一函数的是（）A．与 B．与C．与 D．与【变式4-1】（2021·藁城新冀明中学高三月考）下列四组函数中表示同一个函数的是（）A． B．C． D．【变式4-2】（2021·云南）下列各组函数中为同一函数的是（）A．，B．，C．，D．，【变式4-3】（2021·福建三明一中高一期中）下列四组函数，表示同一函数的是（）A．， B．，C．， D．，【变式4-4】（2021·黔西南州同源中学高一期中）下列各组中的两个函数是否为相同的函数？（）①②③A．① B．② C．③ D．以上都不是高频考点5.函数的值域问题【方法点拨】①已知函数解析式求值域，观察所给解析式，先得出函数的定义域，在由函数解析式求解；②已知函数值域求参数问题时，将给出的值域转化为方程的解或不等式的解集问题，然后来确定参数的值或取值范围.【例5】（2021·全国高一课时练习）求下列函数的值域（1）；（2）；（3）；（4）；【变式5-1】（2021·天津南开中学高三月考）已知定义在区间上的函数，其值域为（）A．B．C．D．【变式5-2】（2021·浙江高一期末）函数的定义域是_________，函数的值域为__________．【变式5-3】（2021·金华市云富高级中学高一月考）函数的值域是（）.A．（﹣∞，2] B．（0，+∞） C．[2，+∞） D．[0，2]【变式5-4】（2021·全国高一专题练习）已知函数，则的值域是（）A． B． C． D．高频考点6.求函数值【方法点拨】①已知函数解析式求函数值，将自变量代入解析式，求解即可．②由函数解析式，求对应函数值的自变量的值（或解析式中的参数值），只需将函数值代入解析式，建立关于自变量（或参数）的方程即可求解.【例6】（2021·上海普陀区·曹杨二中高一期末）已知函数，则的值为______．【变式6-1】（2021·静宁县第一中学高三月考（理））已知函数则等于（）A．4 B． C． D．2【变式6-2】（2021·天津南开中学高三月考）已知，则的值为__________，的值为__________．【变式6-3】（2021·汕头市潮南区陈店实验学校）设函数，则的值为_____【变式6-4】（2021·广东高一单元测试）若函数，那么______．高频考点7.函数的表示法【方法点拨】根据函数的三种表示方法的特点，具体问题具体分析，用适合的表示法表示出函数关系.【例7】（2021·河南商丘·高二月考）图中的文物叫做“垂鳞纹圆壶”，是甘肃礼县出土的先秦时期的青铜器皿，其身流线自若、纹理分明，展现了古代中国精湛的制造技术.科研人员为了测量其容积，以恒定的流速向其内注水，恰好用时秒注满，设注水过程中，壶中水面高度为，注水时间为，则下面选项中最符合关于的函数图象的是（）A． B．C． D．【变式7-1】（2021·吴江汾湖高级中学）已知函数分别由下表给出，则满足的为（）A．0 B．1 C．2 D．3【变式7-2】（2021·全国高一专题练习）如图所示是一个无水游泳池，是一个四棱柱，游泳池是由一个长方体切掉一个三棱柱得到的．现在向泳池注水，如果进水速度是均匀的（单位时间内注入的水量不变），水面与的交点为，则的高度随时间变化的图象可能是（）A． B． C． D．【变式7-3】（2021·全国高一专题练习）德国数学家狄利克雷在1837年提出：“如果对于的每一个值，总有一个完全确定的值与之对应，则是的函数，”这个定义较清楚地说明了函数的内涵.只要有一个法则，使得取值范围中的每一个值，有一个确定的和它对应就行了，不管这个对应的法则是公式、图像、表格还是其它形式.已知函数由下表给出，则的值为（）12345A．2 B．3 C．4 D．5【变式7-4】（2021·全国高一专题练习）已知函数，.（1）在平面直角坐标系里作出、的图象.（2），用表示、中的较小者，记作，请用图象法和解析法表示；（3）求满足的的取值范围.高频考点8.分段函数【方法点拨】根据分段函数，分情况解决问题即可。【例8】（2021·福建南平市·）已知函数，关于函数的结论正确的是（）A．的定义域为R B．的值域为C．若，则x的值是 D．的解集为【变式8-1】（2021·山西）已知函数，关于函数f(x)的结论正确的是（）A．f(x)的定义域是R B．f(x)的值域是C．若f(x)=3，则x的值为 D．f(x)图象与y=2有两个交点【变式8-2】（2021·宜城市第三高级中学高一期中）已知函数，关于函数的结论正确的是（）A．的定义域是 B．的值域是C．为单调递增函数 D．若，则【变式8-3】（2021·湖北黄冈·高二期末）设，若是的最小值，则的取值范围是（）A． B． C． D．【变式8-4】（2021·广东高一单元测试）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数，称为狄利克雷函数，则关于，下列说法正确的是（）A．的值域为B．的定义域为C．D．任意一个非零有理数，对任意恒成立【课后训练】全卷共22题满分：150分时间：120分钟一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2021·沙坪坝·重庆八中高三开学考试）已知函数定义域为，则函数定义域为（）．A．B．C．D．2．（2021·四川省蒲江县蒲江中学高一月考）在下列四组函数中，表示同一函数的是（）A．，，，B．，C．，D．，3．（2021·抚顺市雷锋高级中学高一期中）已知函数，则（）A．B．C．D．4．（2021·佛山市南海区里水高级中学高一月考）函数的图象如图所示，则的解析式是（）A．B．C．D．5．（2021·全国高一专题练习）德国数学家迪利克雷在1837年时提出：“如果对于的每一个值，总有一个完全确定的值与之对应，则是的函数”.这个定义较清楚地说明了函数的内涵：只要有一个法则，使得取值范围中的每一个值，都有一个确定的与之对应，不管这个数对应法则是公式、图象、表格还是其他形式.已知函数由下表给出，则的值为（）A． B． C． D．6．（2022·全国高三专题练习）定义域是一个函数的三要素之一，已知函数定义域为，则函数的定义域为（）A．B．C．D．7．（2020·石家庄市第十七中学高一月考）我们规定：与函数的解析式相同，值域相同但定义域不同的函数叫的“孪生函数”，那么解析式为，值域为，定义域为的函数的“孪生函数”有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8．（2021·陕西延安市·）狄利克雷函数是数学中非常有名且很重要的一个函数.它的定义如下：，则关于狄利克雷函数的说法错误的一项是（）A．定义域为RB．值域为C．是偶函数D．对定义域内任意都有二､选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．（2021·全国高一课时练习）集合，下列表示从到的函数的是（）A．B．C．D．10．（2021·全国高一课时练习）以下各组函数不是同一个函数的是（）A．，B．，C．，D．，11．（2020·河北正定中学高一月考）若函数的值域是，则实数的可能取值是（）A．6 B．7 C．8 D．912．（2021·全国高一专题练习）已知函数，关于函数的结论正确的是（）A．的定义域为B．的值域为C．D．若，则x的值是E.的解集为三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（2021·河北正定中学高一月考）若函数，