师大数学二模题目及答案

师大数学二模题目及答案姓名：_____ 准考证号：_____ 得分：__________

一、选择题(每题2分，总共10题)

1.若集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|x^2-ax+1=0}，且A∪B=A，则实数a的取值范围是

A.{1,2}

B.{1}

C.{2}

D.{1,2,3}

2.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值是

A.1

B.3

C.2

D.0

3.在等差数列{a_n}中，若a_1+a_5+a_9=27，则a_6+a_7+a_8的值是

A.27

B.18

C.24

D.21

4.若复数z满足(z+2i)/(1-3i)是实数，则z的实部可能是

A.1

B.2

C.3

D.4

5.抛掷两个均匀的六面骰子，则两个骰子点数之和为7的概率是

A.1/6

B.1/12

C.5/36

D.1/18

6.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的图像关于y轴对称，且周期为π，则φ的可能值是

A.kπ+π/2(k∈Z)

B.kπ(k∈Z)

C.kπ-π/2(k∈Z)

D.2kπ(k∈Z)

7.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，则角C的大小是

A.75°

B.65°

C.70°

D.60°

8.若向量a=(1,2)，b=(3,-1)，则向量a+b的模长是

A.√10

B.√13

C.√15

D.√17

9.已知直线l:ax+by+c=0与圆O:x^2+y^2=r^2相切，则a^2+b^2与r^2的关系是

A.a^2+b^2=r^2

B.a^2+b^2=2r^2

C.a^2+b^2=r^2/2

D.a^2+b^2=4r^2

10.已知样本数据：5,7,7,9,10,则该样本的方差是

A.4.8

B.5.2

C.9.2

D.10.5

二、填空题(每题2分，总共10题)

1.不等式|3x-1|<5的解集是__________。

2.已知点A(1,2)和B(3,0)，则向量AB的坐标是__________。

3.函数f(x)=ln(x+1)的定义域是__________。

4.在等比数列{b_n}中，若b_2=6，b_4=54，则b_3的值是__________。

5.若sinα=1/2，且α是锐角，则cosα的值是__________。

6.已知圆C的方程为(x-2)^2+(y+1)^2=9，则圆心C的坐标是__________。

7.函数f(x)=e^x的导数f'(x)是__________。

8.在直角坐标系中，点P(a,b)到原点的距离是__________。

9.已知三角形ABC的三边长分别为3,4,5，则该三角形的面积是__________。

10.已知事件A的概率P(A)=0.6，事件B的概率P(B)=0.7，且P(A∪B)=0.8，则P(A∩B)是__________。

三、多选题(每题2分，总共10题)

1.下列函数中，在其定义域内单调递增的有

A.y=x^2

B.y=2^x

C.y=ln(x)

D.y=1/x

2.下列命题中，正确的有

A.若a>b，则a^2>b^2

B.若a>b，则√a>√b

C.若a>b，则1/a<1/b

D.若a>b，则-a<-b

3.下列函数中，以π为周期的有

A.y=sin(2x)

B.y=cos(x/2)

C.y=tan(x)

D.y=sec(x)

4.下列向量中，平面向量a=(1,0)与b=(0,1)共线的有

A.c=(2,0)

B.d=(0,2)

C.e=(-1,0)

D.f=(0,-1)

5.下列方程中，表示圆的有

A.x^2+y^2-2x+4y-4=0

B.x^2+y^2+4x+6y+9=0

C.x^2+y^2-6x+8y+25=0

D.x^2+y^2+2x-2y+5=0

6.下列数列中，是等差数列的有

A.a_n=3n-2

B.a_n=2^n

C.a_n=5-2n

D.a_n=n^2

7.下列不等式成立的有

A.sin(α+β)=sinα+sinβ

B.cos(α+β)=cosα+cosβ

C.sin^2α+cos^2α=1

D.(sinα+cosα)^2=1

8.下列函数中，在其定义域内连续的有

A.y=x^3

B.y=1/x

C.y=√x

D.y=ln(x-1)

9.下列命题中，正确的有

A.若事件A与B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B)

B.若事件A与B独立，则P(A∩B)=P(A)P(B)

C.若事件A与B互斥且独立，则P(A∪B)=P(A)+P(B)=1

D.若事件A与B对立，则P(A∪B)=1

10.下列统计量中，是样本方差的有

A.s^2=(Σ(x_i-x̄)^2)/(n-1)

B.s^2=(Σ(x_i-x̄)^2)/n

C.s=(Σ(x_i-x̄))/n

D.s=(Σ(x_i-x̄)^2)^(1/2)

四、判断题(每题2分，总共10题)

1.若函数f(x)是奇函数，则其图像一定关于原点对称。

2.在等比数列中，任意两项的比是常数。

3.若A⊆B，则P(A)≤P(B)。

4.直线y=kx+b与圆x^2+y^2=r^2相切，则k^2+b^2=r^2。

5.若复数z=a+bi(a,b∈R)的模为1，则z/z=1。

6.函数f(x)=sin(x)在[0,π]上是增函数。

7.在△ABC中，若角A=角B=角C，则该三角形是等边三角形。

8.向量a=(1,2)与向量b=(3,6)共线。

9.若事件A与B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B)。

10.样本均值一定小于样本中任意一个数据。

五、问答题(每题2分，总共10题)

1.求函数f(x)=|x-1|+|x+2|的值域。

2.已知等差数列{a_n}中，a_1=2，d=3，求a_10的值。

3.求函数f(x)=sin(2x)的周期。

4.已知圆C的方程为(x-1)^2+(y-2)^2=4，求圆心C到直线l:3x-4y+5=0的距离。

5.已知复数z=1+i，求z^2的值。

6.求抛掷两个六面骰子，点数之和为5的概率。

7.求不等式|2x-1|<3的解集。

8.已知向量a=(2,3)，b=(1,-1)，求向量a+b的坐标及模长。

9.求样本数据：5,7,9,10的样本均值和样本方差。

10.证明：在△ABC中，若角A=角B，则a^2=b^2。

试卷答案

一、选择题答案及解析

1.D解析：集合A={1,2}，若A∪B=A，则B⊆A，所以a的可能值为1,2,3。

2.B解析：f(x)=|x-1|+|x+2|表示数轴上x点到1和-2点的距离之和，最小值为3。

3.D解析：由等差数列性质，a_5+a_9=2a_7，所以a_1+a_5+a_9=3a_6，a_6+a_7+a_8=3a_7，故a_6+a_7+a_8=21。

4.A解析：设z=x+yi，则(z+2i)/(1-3i)=(x+2i+yi)/(1-3i)=(x-3y+(y+2)i)/(1+9)，为实数则y+2=0，y=-2，z=x-2i，实部为x，x=1时满足。

5.A解析：两个骰子点数之和为7的组合有(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)，共6种，概率为6/36=1/6。

6.A解析：函数图像关于y轴对称，则sin(ωx+φ)=sin(-ωx-φ)，得ωx+φ=-ωx-φ+2kπ，φ=kπ+π/2。

7.A解析：三角形内角和为180°，角C=180°-60°-45°=75°。

8.√13解析：|a+b|=\sqrt{(1+3)^2+(2-1)^2}=\sqrt{16+1}=\sqrt{17}。

9.A解析：直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，即|c|/\sqrt{a^2+b^2}=r，所以a^2+b^2=r^2。

10.A解析：样本均值x̄=(5+7+7+9+10)/5=7.8，方差s^2=[(5-7.8)^2+(7-7.8)^2+(7-7.8)^2+(9-7.8)^2+(10-7.8)^2]/4=4.8。

二、填空题答案及解析

1.(-2,2)解析：|3x-1|<5⇒-5<3x-1<5⇒-4<3x<6⇒-4/3<x<2。

2.(2,-2)解析：向量AB=(3-1,0-2)=(2,-2)。

3.(-1,+∞)解析：x+1>0⇒x>-1。

4.18解析：由等比数列性质，b_4=b_2q^2⇒54=6q^2⇒q^2=9⇒q=3，b_3=b_2q=6*3=18。

5.√3/2解析：sin^2α+cos^2α=1⇒cos^2α=1-sin^2α=1-(1/2)^2=3/4⇒cosα=√3/2（α为锐角）。

6.(2,-1)解析：圆心坐标即为方程中x和y的常数项相反数，即(2,-1)。

7.e^x解析：f'(x)=d/dx(e^x)=e^x。

8.√(a^2+b^2)解析：点P到原点距离为|OP|=\sqrt{(a-0)^2+(b-0)^2}=\sqrt{a^2+b^2}。

9.6解析：由勾股定理知△ABC为直角三角形，斜边为5，另两边为3,4，面积S=1/2*3*4=6。

10.0.2解析：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)⇒0.8=0.6+0.7-P(A∩B)⇒P(A∩B)=0.5-0.8=0.2。

三、多选题答案及解析

1.B,C解析：y=2^x为指数函数，在其定义域R上单调递增；y=ln(x)为对数函数，在其定义域(0,+∞)上单调递增。y=x^2在(-∞,0]上单调递减，[0,+∞)上单调递增；y=1/x在其定义域(-∞,0)∪(0,+∞)上单调递减。

2.B,D解析：若a>b>0，则a^2>b^2；若a>b>0，则√a>√b；若a>b>0，则1/a<1/b；若a>b，则-a<-b。

3.A,C,D解析：y=sin(2x)的周期为2π/|ω|=π；y=tan(x)的周期为π；y=sec(x)=1/cos(x)的周期为2π/|ω|=2π。y=cos(x/2)的周期为2π/(x/2)=4π。

4.A,C解析：向量c=(2,0)与a共线，向量e=(-1,0)与a共线。

5.A,C解析：A:(x-1)^2+(y+2)^2=5，表示圆心(1,-2)，半径√5的圆。C:(x-3)^2+(y+4)^2=1，表示圆心(3,-4)，半径1的圆。B:x^2+y^2+4x+6y+9=0⇒(x+2)^2+(y+3)^2=4，表示圆心(-2,-3)，半径2的圆。D:x^2+y^2+2x-2y+5=0⇒(x+1)^2+(y-1)^2=1，表示圆心(-1,1)，半径1的圆。但B和D的右边不是正数，不表示圆。

6.A,C解析：A:a_{n+1}-a_n=3(n+1)-2-(3n-2)=3为常数。C:a_{n+1}-a_n=5-2(n+1)-(5-2n)=-2为常数。B:a_{n+1}/a_n=(2^(n+1))/(2^n)=2不为常数。D:a_{n+1}/a_n=((n+1)^2)/n^2=(n+1)^2/n^2不为常数。

7.C,D解析：C:sin^2α+cos^2α=1是三角恒等式。D:(sinα+cosα)^2=sin^2α+2sinαcosα+cos^2α=1+2sinαcosα=1+sin(2α)不一定等于1（例如α=π/4时，sin(π/2)=1）。

8.A,C解析：y=x^3和y=√x在其定义域上分别为R和[0,+∞)，均为连续函数。y=1/x在其定义域R\{0}上连续。y=ln(x-1)在其定义域(1,+∞)上连续。

9.A,B,D解析：A:事件A与B互斥，则A∩B=∅，P(A∩B)=0，P(A∪B)=P(A)+P(B)。B:事件A与B独立，则P(A∩B)=P(A)P(B)。D:事件A与B对立，则A∪B=Ω，P(A∪B)=1。C:事件A与B互斥不一定对立，且互斥不一定独立（除非至少一个事件概率为0），故P(A∪B)=P(A)+P(B)不一定等于1。

10.A解析：样本方差是样本数据与样本均值差的平方的平均值（除以n-1），s^2=(Σ(x_i-x̄)^2)/(n-1)是样本方差的定义。B是样本标准差的平方。C是样本均值。D是样本标准差。

四、判断题答案及解析

1.对解析：奇函数定义f(-x)=-f(x)，其图像关于原点对称。

2.对解析：等比数列定义a_{n+1}/a_n=q（常数），即任意两项a_n/a_{n-1}=q。

3.对解析：若A⊆B，则A中的所有样本点也在B中，B的成功次数至少与A一样多，概率P(A)≤P(B)。

4.对解析：圆心(1,0)到直线y=kx+b的距离d=|k*1-0+b|/√(k^2+1)=r⇒|k+b|=r√(k^2+1)⇒k^2+b^2=r^2。

5.对解析：|z|=1⇒|z|^2=1⇒z/z=1。

6.错解析：f'(x)=cos(x)，cos(x)在[0,π]上先增后减，f(x)在[0,π/2]上增，在[π/2,π]上减。

7.对解析：三角形内角和为180°，若三个角相等，均为60°，故为等边三角形。

8.对解析：向量a=(1,2)与向量b=(3,6)的比例关系为3/1=6/2，故共线。

9.对解析：事件A与B互斥，则A∩B=∅，P(A∩B)=0，P(A∪B)=P(A)+P(B)。

10.错解析：样本均值是样本数据的平均值，可能等于某个数据，也可能介于最小值和最大值之间。例如数据5,5,5，样本均值为5。

五、问答题答案及解析

1.[3,+∞)解析：f(x)=|x-1|+|x+2|分段为：x<-2时，f(x)=-(x-1)-(x+2)=-2x-1；-2≤x≤1时，f(x)=-(x-1)+(x+2)=3；x>1时，f(x)=(x-1)+(x+2)=2x+1。最小值为3，值域为[3,+∞)。

2.35解析：a_n=a_1+(n-1)d⇒a_{10}=2+(10-1)*3=2+27=35。

3.π解析：f(x)=sin(2x)的周期T=2π/|ω|=2π/2=π。

4.√5/5解析：圆心(1,2)到直线3x-4y+5=0的距离d=|3*1-4*2+5|/√(3^2+(-4)^2)=|3-8+5|/5=0/5=0。

5.-2解析：z^2=(1+i)^