六年级数学上册第三单元《分数除法》拓展与培优教学方案

六年级数学上册第三单元《分数除法》拓展与培优教学方案一、教学内容分析  本课内容位于《义务教育数学课程标准（2022年版）》“数与代数”领域第三学段，其知识内核是理解分数除法的算理，并能在解决实际问题的过程中灵活运用，建构“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的数学模型。从知识技能图谱看，它是在学生掌握了分数乘法的意义、计算以及“求一个数的几分之几是多少”的模型基础上，对分数运算认知的深化与逆向拓展，是连接分数乘除法、沟通算术解法与方程解法的关键节点，更是后续学习百分数、比和比例以及更复杂分数、百分数应用题的重要基石。其认知要求从理解、应用迈向分析与综合。课标强调的“模型意识”、“推理意识”和“应用意识”在此内容中得到集中体现：通过从具体情境中抽象出数量关系、建立数学模型（如：单位“1”的量×分率=对应量），并运用该模型进行解释与推断，这正是数学核心素养落地的具体路径。知识载体背后蕴含的“逆向思维”培养和“变与不变”的辩证思想，是启迪学生智慧、发展高阶思维的宝贵资源。  学情研判需立体深入。学生的已有基础是熟练掌握分数乘法意义及计算，具备利用线段图分析简单数量关系的初步经验。然而，从“已知整体求部分”的正向思维，切换到“已知部分求整体”的逆向思维，是本课的核心认知障碍。学生容易机械套用“已知单位‘1’用乘法，求单位‘1’用除法”的口诀，却对“量率对应”这一根本原理理解模糊，导致在复杂情境或条件变形时无从下手。课堂中，将通过“前测性提问”、观察学生画线段图的过程、分析其列式理由等形成性评价手段，动态诊断学生是处于机械操作水平还是意义理解水平。基于此，教学调适应提供差异化支持：对于思维暂困的学生，强化用画图、摆学具等直观方式建立表象支撑；对于多数学生，引导其聚焦“寻找已知量对应的分率”这一关键步骤，进行变式训练；对于学优生，则挑战其剥离具体情境，抽象概括模型本质，并尝试用方程思想统摄多种解法，实现思维进阶。二、教学目标  知识目标：学生能深刻理解分数除法应用问题的本质是寻找“量”与“率”的对应关系，能清晰解释“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”为何采用除法或方程解答的算理，并能在生活情境与数学问题中准确辨析单位“1”，构建起此类问题的完整认知结构。  能力目标：学生能够熟练运用线段图等直观手段分析复杂分数应用题中的数量关系，具备从多角度（算术法、方程法）解决问题的能力，并能在新情境中迁移应用模型，其逻辑推理能力和信息转化能力得到显著提升。  情感态度与价值观目标：在探究与讨论中，学生能体会到数学模型的简洁与力量，增强运用数学解决实际问题的信心；在小组协作解决挑战性任务时，养成倾听、质疑、有理有据表达的科学态度。  科学（学科）思维目标：重点发展学生的模型建构思维与逆向推理思维。通过系列探究任务，引导学生经历“具体情境—抽象数量关系—建立数学模型—解释应用”的完整过程，并训练其从结果反推条件的逆向思考路径。  评价与元认知目标：引导学生学会依据“思路清晰、方法合理、计算准确、表述规范”的标准评价自己与他人的解题过程；鼓励学生在课堂小结时反思“我是如何找到突破口的”、“哪种方法对我而言更普适”，从而提升学习策略的自我调控能力。三、教学重点与难点  教学重点：建立并灵活运用“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的数学模型，核心是把握“具体数量”与“对应分率”的对应关系。其确立依据源于课标对此部分内容作为“数与代数”领域核心模型的定位，以及小升初学业水平测试中，该模型是解决分数、百分数复杂应用题的基石，考查频率高且综合性强，直接体现学生的分析建模能力。  教学难点：准确识别复杂情境中“具体量”所对应的“分率”，尤其是在条件间接呈现、单位“1”发生转换或存在多个对应关系时。难点成因在于学生思维需完成两次跨越：一是从正向思维到逆向思维的转换；二是从直接对应到间接寻找的深化。预设依据来自对学生常见错误的分析，如将“还剩几分之几”误认为就是已知量对应的分率，或面对“一个量比另一个量多几分之几”时找不准标准量。突破方向在于强化线段图的工具性使用，将抽象关系可视化，并通过关键设问引导深度辨析。四、教学准备清单1.教师准备1.1媒体与教具：交互式多媒体课件（内含动态线段图生成、分层任务展示、典型错例）、实物投影仪。1.2学习资料：分层设计的学习任务单（含基础闯关、探究园地、挑战高地三个板块）、课堂小结思维导图模板。2.学生准备2.1知识准备：复习分数乘法的意义及“求一个数的几分之几是多少”的应用题。2.2学具准备：直尺、铅笔。3.环境准备3.1座位安排：小组合作式座位，便于46人讨论。3.2板书规划：左侧主区域用于呈现核心模型推导过程，右侧副区域用于展示学生不同解法及关键结论。五、教学过程第一、导入环节  1.情境创设，制造冲突：同学们，我们都玩过“猜糖豆”游戏吧？现在老师手里有一个不透明的瓶子，我告诉你，我吃掉了其中的2/5，刚好是8颗。诶，有同学立刻在算了。但先别急，请问：根据这两个信息，你能求出瓶子里原来有多少颗糖豆吗？（稍作停顿）有的同学点头，有的在犹豫。这和以前我们学的“求一个数的几分之几是多少”好像有点不一样？以前是知道总数求部分，现在反过来了，知道部分求总数。  1.1问题提出与路径明晰：没错，这就是我们今天要攻关的核心问题：当总量未知时，如何通过“部分量”和它所占的“分率”来反推出总量呢？这就像拿到一把锁和一部分钥匙齿，要推断出整把钥匙的形状。本节课，我们将化身“数学侦探”，通过“情境侦查—线索分析（画图）—模型破译—实战演练”四个步骤，共同找到这类问题的“万能解题密码”。先请大家想想，解决这个糖豆问题，你的第一感觉应该用什么运算？为什么？第二、新授环节  本环节将通过搭建渐进式“脚手架”，引导学生主动建构核心模型。任务一：情境初探——从“部分”寻“整体”教师活动：首先，聚焦“糖豆问题”。教师板书关键信息：“吃了总数的2/5”，“吃了8颗”。不急于列式，而是引导：“总数是未知的，我们用一个长方形或一条线段来代表它，可以吗？”教师示范画一条线段，表示单位“1”（即糖豆总数）。接着提问：“吃了总数的2/5，在线段图上如何表示？”请一位学生上台标出。继续追问核心：“这8颗糖豆，在图上是哪一段？”引导学生将“8颗”这个具体数量标注在对应的2/5线段段下方。然后，指着图问：“现在，看着这个图，谁能说出‘8颗’、‘2/5’和‘总颗数’三者之间最本质的关系？”鼓励学生用语言描述：“总颗数的2/5就是8颗”。教师顺势板书这个关系式。学生活动：学生跟随教师引导，在任务单上同步绘制线段图，将文字信息转化为直观图形。观察教师的图示，理解单位“1”与分率的表示方法。思考并回答教师的连环提问，尝试用完整的句子表述图中的数量关系：“糖豆总数×2/5=8颗”。在图形辅助下，初步感知已知部分与分率求整体的结构。即时评价标准：1.能否正确绘制线段图，并准确标注单位“1”、已知分率和对应数量。2.能否用数学语言清晰表述“具体量”是“单位‘1’的量”的“几分之几”这一关系。3.在小组交流中，能否倾听同伴并补充或修正自己的图示与表述。形成知识、思维、方法清单：★核心关系感知：分数除法应用问题的基本结构——“单位‘1’的量×分率=对应的具体量”。▲工具价值初显：线段图是使抽象数量关系可视化的强大工具，应作为分析问题的首要步骤。★关键问题锚定：解决问题的突破口在于找到“具体量”和它所对应的“分率”。任务二：模型构建——“量”与“率”的对应法则教师活动：基于关系式“总颗数×2/5=8颗”，教师设问：“这是一个乘法关系式，但我们现在不知道的是乘数‘总颗数’。根据乘除法的互逆关系，可以怎样求总颗数？”学生容易得出：总颗数=8÷2/5。教师肯定其正确，并追问算理：“为什么用8除以2/5？谁能结合线段图解释一下？”引导学生理解：将总数平均分成5份，其中的2份是8颗，那么一份就是8÷2=4颗，总数（5份）就是4×5=20颗，而8÷2/5的计算过程恰好蕴含了这一逻辑。教师总结：“看，除法运算的背后，是‘求一份量，再求整体量’的思考过程。”同时，引入方程解法：“如果我们设总颗数为x颗，那么这个关系式可以直接写成什么？”（x×2/5=8）“看，方程的思路是‘顺向思考’，直接根据关系列出等式，然后再解方程。这两种方法，本质相通吗？”学生活动：学生根据乘除法关系推导出算术解法。尝试结合线段图解释算理，说明每一步除法和乘法的实际意义。学习用字母表示未知数，列出方程，体会方程思想“化逆为顺”的优越性。对比两种方法，发现其均源于同一个基本数量关系。即时评价标准：1.能否从乘除互逆的角度自然推导出除法算式。2.能否结合图形清晰解释算式的每一步含义，而非机械记忆算法。3.能否独立设未知数，列出正确的方程。形成知识、思维、方法清单：★核心算法确立：已知一个数的几分之几a/b是c，求这个数，可用算术法：c÷a/b；也可用方程法：设这个数为x，则x×a/b=c。★算理本质揭示：算术法（除法）蕴含“归一”思想；方程法体现“等量关系”建模。▲方法择优意识：理解两种方法的联系与区别，能根据问题特点和个人思维习惯灵活选择。任务三：关系深化——当“分率”戴上面纱教师活动：变换情境：“一瓶饮料，小明第一次喝了1/4，第二次喝了1/3，还剩5升。请问这瓶饮料原有多少升？”教师引导：“单位‘1’还是总升数。但已知的5升，直接对应哪个分率？（1/4?1/3?）都不直接对应。”组织小组讨论：“我们还能画出线段图吗？请尝试画图，并找出5升对应的究竟是总升数的‘几分之几’。”巡视中，关注学生如何表示两次喝掉的部分，以及如何确定剩余部分的分率。请小组代表分享，重点展示如何计算剩余分率：11/41/3=5/12。教师强调：“看，关键一步从未改变——找到已知量（5升）的‘对应分率’（5/12）。现在，模型可以建立了。”学生活动：小组合作，面对新情境挑战。动手画线段图，将总升数平均分，标出第一次和第二次喝掉的部分。共同探究剩下的5升占全瓶的几分之几，需要通过计算“11/41/3”来求得。在图中明确标注5升与5/12的对应关系。随后独立列式解答。即时评价标准：1.小组绘制的线段图是否清晰、准确，能否体现整体与各部分的关系。2.能否通过合作，正确计算出已知量所对应的隐藏分率。3.解决问题的思路是否清晰，能否完整表述“先求对应分率，再应用模型”的步骤。形成知识、思维、方法清单：★难点突破策略：当已知量不直接对应明确分率时，需先通过运算（加减法）求出其对应的分率。▲核心步骤固化：解决此类问题的通用流程为：找单位“1”→画线段图→找（或求）已知量的对应分率→根据模型列式解答。★模型适用扩展：核心模型不仅适用于“a/b是c”的直接形式，也适用于经过一步转化后能找到量率对应的间接形式。任务四：思维拓展——从算术到方程的贯通教师活动：呈现对比题组：①果园有苹果树60棵，是梨树棵数的2/3，梨树有多少棵？②果园有苹果树60棵，梨树棵数是苹果树的2/3，梨树有多少棵？先让学生快速口答，辨析不同。聚焦第①题，引导：“‘是梨树棵数的2/3’，这里把谁看作单位‘1’？（梨树）已知的60棵苹果树，对应什么分率？（2/3）”随后，鼓励学生分别用算术法和方程法解答，并板书两种解法。组织讨论：“对比这两种解法，你更倾向于哪一种？为什么？”教师点评：“方程解法直接根据‘是’、‘占’、‘相当于’这些关键词顺向列出等量关系，思维过程更直接，尤其当关系复杂时，优势更明显。它能帮助我们绕开寻找对应分率时可能出现的陷阱。”学生活动：快速辨析两题单位“1”的不同，巩固审题关键。针对第①题，先用算术法（60÷2/3）求解，再尝试设梨树为x棵，列出方程（x×2/3=60）并求解。对比两种方法的思维路径，体会方程法在思维上的“直通车”优势，特别是在单位“1”未知时。即时评价标准：1.能否准确判断句子中的单位“1”。2.能否用两种方法正确解答，并说明列式依据。3.在讨论中，能否理性分析不同方法的优劣及适用场景。形成知识、思维、方法清单：★审题关键点：准确判定单位“1”是解题第一步，关键看“的”字前、“是/占/相当于”后面的量。▲思想方法进阶：方程思想是解决逆向思维问题的有力武器，它将逆向问题转化为顺向的等式建立问题，降低了思维难度。★策略多元化：掌握多种解题策略（算术法、方程法），并能根据问题特点和自身思维特点进行选择和优化，是能力高的表现。任务五：模型凝练与升华教师活动：引导学生回顾前四个任务的探索历程，提出终极问题：“抛开‘糖豆’、‘饮料’这些具体外壳，我们反复在解决的一类问题的‘数学内核’是什么？谁能用一个最简洁的‘公式’或‘关系图’来概括？”让学生先独立思考，再小组内形成共识。请小组分享他们的“模型凝练成果”。教师最终整合，并板书核心模型框图：核心数量关系：单位“1”的量×分率=对应量。已知其中任意两个量，可求第三个量。并强调：“已知‘对应量’和‘分率’，求‘单位’1’的量’，就用除法或方程。万变不离其宗，核心就是锁定‘量’与‘率’必须对应！”学生活动：参与课堂总结性讨论，从具体例子中抽丝剥茧，尝试抽象概括出普适性的数学模型。在小组内交流碰撞，用自己语言或图示表达核心思想。聆听教师总结，完善自己的认知体系，形成结构化知识网络。即时评价标准：1.能否从具体实例中抽象出共通的数学模型。2.概括的模型是否准确、简洁，能否涵盖所学问题的本质。3.在小组贡献中是否积极思考，表达是否具有逻辑性。形成知识、思维、方法清单：★大概念形成：分数除法应用题的本质是乘除法的逆运算关系在分数领域的体现，核心是“量率对应”。▲结构化认知：将看似分散的问题归纳入统一的模型框架下，实现知识的系统化与结构化。★元认知提示：解题后要养成反思习惯：我找到的单位“1”对吗？已知的量与使用的分率是对应的吗？我用的方法是最清晰的吗？第三、当堂巩固训练  基础层（全员通关）：1.一本书，看了3/8，正好看了45页。这本书总共多少页？（直接应用模型）2.一种电视机，现价比原价降低了1/10，现价是2700元。原价是多少元？（注意“降低”对应分率）  综合层（灵活应用）：3.修一条水渠，第一周修了全长的1/5，第二周修了全长的1/4，还剩220米没修。这条水渠全长多少米？（需先求剩余分率）4.水果店运来一批水果，其中苹果有120千克，橘子的重量是苹果的5/6，又是梨的4/5。运来的梨有多少千克？（涉及两个单位“1”的转换，可用方程顺向思考）  挑战层（思维拓展）：5.（选做）弟弟集邮枚数是哥哥的3/4，如果哥哥给弟弟9枚邮票，那么弟弟的邮票数就是哥哥的5/4。哥哥原来有多少枚邮票？（涉及变化中的不变量，作为课堂延伸思考）  反馈机制：基础层题目采用全班齐答或个别提问，快速核对。综合层题目请不同层次的学生板书并讲解思路，教师针对典型错误（如对应分率找错）进行即时剖析。挑战层题目可作为小组研讨议题，请有思路的小组分享，教师点拨关键——邮票总数不变。利用实物投影展示优秀线段图作品和清晰解題步骤，树立榜样。第四、课堂小结  知识整合：同学们，今天我们进行了一场深入的“数学侦探”之旅。现在，请大家闭上眼睛回顾一下，我们的“破案工具”（线段图）、“关键线索”（量率对应）和“最终定式”（核心模型）分别是什么？可以在任务单的思维导图模板上，用关键词和箭头把它们联系起来。（留白2分钟学生自主整理）  方法提炼：我们不仅收获了一个模型，更体验了两种重要的数学思想：一是“数形结合”，让抽象的關系看得见；二是“方程思想”，让逆向的思考变得顺向。在遇到难题时，不妨多问自己：我能画图吗？我能用方程来想吗？  作业布置：必做作业：完成学习任务单“基础闯关”和“探究园地”全部题目。选做作业（二选一）：①挑战任务单上的“挑战高地”题目；②寻找一个生活中“已知部分求整体”的例子，编成一道分数除法应用题，并解答。预告：下节课我们将利用这个模型，去解决“工程问题”这一新的挑战。六、作业设计  基础性作业（必做）：  1.巩固练习：完成课本上对应的基础练习题，重点巩固“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的基本题型。  2.错题分析：从当天课堂练习中，选一道自己做错或曾感到困惑的题目，用红笔在旁边分析错误原因（如：单位“1”找错、对应分率算错、计算错误），并写出正确解答过程。  拓展性作业（建议大多数学生完成）：  3.情境应用题：自编或查阅资料，找到一道涉及“量率间接对应”（如喝了1/3又喝1/4，还剩多少）的实际问题，并用线段图和两种方法（算术和方程）解答，比较异同。  4.小老师讲题：选择一道拓展题，将自己的解题思路（特别是如何寻找对应关系）录制成一段不超过2分钟的讲解视频或语音。  探究性/创造性作业（选做）：  5.模型探索报告：研究“已知比一个数多（少）几分之几的数是多少，求这个数”这类问题（如：一件衣服降价1/8后售价是280元，求原价）。它与今天学的模型有什么联系和区别？尝试总结出解决这类问题的通用方法和注意事项，形成一份简短的探究小报告。  6.数学与艺术：用分数除法的模型构思一个简单的数学故事或漫画，体现“部分”与“整体”的关系。七、本节知识清单及拓展  1.★单位“1”（标准量）：分数应用题中作为比较、衡量基准的量，通常出现在“的”字前面或“是/占/相当于”后面。理解并准确找出单位“1”是解题的绝对第一步。  2.★量率对应：核心中的核心。指具体数量（如8颗糖豆、5升饮料）必须与一个表示和单位“1”关系的分数（分率，如2/5,5/12）严格匹配。解题的本质就是建立或发现这种对应。  3.★核心数量关系式：单位“1”的量×分率=对应量。这是一个三位一体的关系，知二求一。  4.★算术解法（除法）：已知对应量(c)及其分率(a/b)，求单位“1”：c÷a/b。算理是基于乘除互逆和“归一思想”（先求一份，再求整体）。  5.★方程解法：设单位“1”的量为x，根据核心关系式直接列出方程：x×(分率)=对应量，然后解方程。优势在于思维顺向，规避寻找对应分率的复杂性。  6.▲线段图（数形结合）：解决问题的首选策略性工具。将抽象的文字叙述转化为直观图形，便于看清整体与部分、明确量率对应关系，尤其对复杂关系有奇效。  7.分率的直接与间接：已知量可能直接对应一个明确分率（如2/5），也可能对应一个需要运算得到的分率（如11/41/3）。后者是难点，需通过线段图辅助分析。  8.易错点：分率与具体量不对应：常见错误是误将题目中出现的某个分率直接与已知量配对，而不验证其是否真正对应。例如，将“还剩1/3”的分率误认为是“已用掉量”的分率。  9.易错点：单位“1”判断错误：尤其在含有“比…多（少）几分之几”或连续判断的句子中容易混淆。关键训练抓“的”字前和“比”字后的量。  10.▲解题一般步骤（流程化）：一找（单位“1”），二画（线段图），三定（对应关系：找或求已知量的对应分率），四列（根据模型列式），五解算，六检验。  11.模型的应用范围：不仅限于“a/b是c”的句式，只要最终能建立起“已知量”与“单位1的某个分率”的对应关系，均可适用，包括“求比一个数多/少几分之几的数是多少”的逆问题。  12.▲算术法与方程法的选择：鼓励掌握双法。对于关系直接、对应明显的题，算术法快捷；对于关系复杂、单位“1”转换多的题，方程法思路更清晰稳定。应引导学生根据题目和个人思维习惯灵活选用。  13.思想方法：逆向思维与转化思想：分数除法本身是乘法逆运算，解决问题时需要逆向思考。而方程思想则将逆向问题转化为顺向的等式问题，是重要的转化策略。  14.与前期知识的联系：本课模型是分数乘法应用题模型（求一个数的几分之几）的逆运算。两者共用同一个核心关系式，构成一个完整的认知闭环。  15.▲拓展：工程问题雏形：将工作总量看作单位“1”，工作效率看作分率，那么“工作时间=工作总量÷工作效率”与本课模型在结构上高度一致，为下一阶段学习埋下伏笔。八、教学反思  （一）目标达成度分析：本节课的核心目标是建立并应用“量率对应”模型。从当堂巩固训练反馈看，约85%的学生能独立、正确地解决基础层和综合层的前两题，表明对模型的基本理解与直接应用目标基本达成。学生在绘制线段图和分析“剩余分率”任务中表现积极，数形结合能力与信息转化能力得到有效锻炼。情感目标在小组合作探究挑战题时有所体现，部分学生表现出强烈的探究欲和分享意愿。  （二）环节有效性评估：导入环节的“猜糖豆”情境快速激发了认知冲突，成功将学生注意力导向核心问题。新授环节的五个任务构成了清晰的认知阶梯：任务一、二侧重模型建构，任务三侧重关系深化，任务四侧重方法贯通，任务五侧重模型凝练，逻辑连贯。其中，任务三（求隐藏分率）是重要的能力增长点，也是课堂用时最多、讨论最深入的部分，设计有效。巩固环节的分层设计满足了不同需求，但挑战题的研讨时间稍显仓促，部分小组未能形成完整思路。  （三）学