五年级上册数学《找最小公倍数》教学设计（北师大版）

五年级上册数学《找最小公倍数》教学设计（北师大版）一、教学内容分析《义务教育数学课程标准（2022年版）》在第三学段“数与代数”领域强调，要引导学生探索整数运算中存在的规律，感悟数学思想方法。本课《找最小公倍数》隶属于“倍数与因数”知识模块，是学生对因数、倍数、2、5、3倍数特征及公因数等概念理解的延续与深化。从知识技能图谱看，它是构建整数理论大厦的关键一环，不仅为解决异分母分数加减法等后续核心运算提供必须的通分工具，更是发展学生抽象思维与模型思想的优质载体。其认知要求从“理解”公倍数的概念，上升到能“应用”多种方法（如列举法、筛选法）有效求出最小公倍数，并初步感知其内在规律。在过程方法层面，本节课将引导学生经历“从具体情境抽象出数学问题——建立公倍数模型——探索求解策略——发现内在联系”的完整探究路径，渗透数学建模、归纳推理等学科思想方法。从素养价值渗透角度审视，本课旨在培养学生严谨有序的逻辑思维，在探索规律中感受数学的简洁与和谐之美，同时通过将最小公倍数应用于解决诸如铺地砖、公交发车等现实问题，深化数学应用意识，理解数学作为描述现实世界重要语言的价值。基于“以学定教”原则进行学情研判。学生在学习本课前，已牢固掌握倍数的概念，并能熟练找出一个数的倍数，对“公共”、“最小”等词汇有生活化理解，这为学习新概念奠定了基础。可能的认知障碍在于：一是从“一个数的倍数”到“两个数的公共倍数”的思维跨越；二是在寻找公倍数过程中易产生遗漏或重复；三是难以从列举的多个公倍数中抽象概括出最小公倍数的核心特征。此外，学生思维水平存在差异：一部分学生可能停留在机械列举阶段，而另一部分学生则能主动观察数字特征，寻求更优方法。因此，在教学中需设计阶梯式任务，预设动态评估点，如在新知探究初期，通过观察学生能否从具体情境中正确抽象出数学问题来评估其建模能力；在方法探索阶段，通过巡视学生列出的倍数列表，诊断其思维的序性与完整性。针对不同层次的学生，教学支持策略亦需分层：为思维活跃者提供探究规律的挑战性任务；为需要支持者提供“倍数序列卡”等可视化工具或分步引导的“学习支架”，确保每位学生都能在“最近发展区”获得成功体验。二、教学目标在知识层面，学生将超越对概念的简单识记，能够结合具体情境，用自己的语言清晰地解释公倍数与最小公倍数的意义，并能准确地运用列举法、筛选法以及基于两数关系的观察法，找出两个数的公倍数和最小公倍数，构建起关于倍数关系的结构性认知。在能力层面，本节课重点发展学生的数学建模与有序探究能力。学生能够将“铺正方形”“排队形”等现实问题，抽象为“求两个数的公倍数”的数学模型；在寻找公倍数过程中，能够有条理、不重复、不遗漏地进行列举或筛选，展现出思维的严谨性与序性。情感态度与价值观目标自然融入探究过程。期望学生在小组合作探索规律时，能认真倾听同伴见解，乐于分享自己的发现，体验集体智慧的碰撞；在运用公倍数解决生活问题时，能体会到数学的工具价值，增强学习数学的内在动力和应用意识。本节课聚焦发展的学科思维是模型思想与归纳推理。具体转化为课堂上的核心思考任务是：引导学生从多个具体实例中，观察两个数的倍数、公倍数、最小公倍数各自的特征，并尝试归纳出当两数成倍数关系或互质关系时，它们的最小公倍数的特殊规律，实现从具体操作到抽象概括的思维飞跃。在评价与元认知方面，设计学生依据“方法是否有序、结果是否准确、表达是否清晰”等简易量规，对自我或同伴的求解过程进行评价；并在课堂小结时，引导学生反思“我是用什么方法找到最小公倍数的？哪种方法更便捷？”，从而提升对学习策略的监控与优化能力。三、教学重点与难点教学重点是理解公倍数和最小公倍数的概念，掌握寻找两个数公倍数和最小公倍数的基本方法。确立此为重点，源于其在课程体系中的枢纽地位：公倍数与最小公倍数的概念是分数通分运算的基石，属于“数的运算”大概念下的关键子概念。从能力立意看，寻找最小公倍数的过程综合了倍数知识、有序思考和规律探索，是培养学生数感和推理能力的重要载体，亦是后续解决复杂数学问题的必备技能。教学难点在于理解公倍数与最小公倍数的关系，并能在具体问题情境中灵活、恰当地应用最小公倍数的知识解决问题。其成因有二：一是概念的抽象性，学生需从“公共的倍数”这一集合视角理解概念，并把握“无限多个”与“其中最小一个”的辩证关系；二是应用情境的复杂性，学生往往能机械计算出最小公倍数，但在面对诸如“何时下一次同时发生”的周期性实际问题时，容易混淆是求公倍数还是最小公倍数，或者忽略答案的现实意义（如人数需为整数）。预设突破方向在于：通过丰富的现实情境与直观的几何模型（如方格纸）辅助理解，并设计对比性强的变式练习，让学生在辨析中深化理解。四、教学准备清单1.教师准备1.1媒体与教具：制作交互式课件，包含情境动画（如铺地砖）、动态演示倍数列举过程、集合圈表示公倍数等。1.2学习材料：设计并打印分层《学习任务单》，准备用于小组探究的“数字特征探究卡”和空白方格纸。2.学生准备2.1知识回顾：复习如何列出一个数的倍数。2.2学具：准备彩笔和直尺。五、教学过程第一、导入环节1.情境创设，引发冲突同学们，想象一下，王叔叔正在用长3分米、宽2分米的长方形墙砖铺一个正方形的墙面。他该怎么铺，才能铺成一个正方形呢？铺成的正方形边长可能是多少分米？给大家一点时间，可以在草稿纸上画一画、想一想。（预设：学生可能尝试画图或计算，能初步感知边长需要既是3的倍数，又是2的倍数。）1.1问题聚焦，揭示课题看来，要铺成正方形，边长必须“既是3的倍数，又是2的倍数”。像这样的数，在数学上我们给它起个名字，叫做3和2的“公倍数”。其中，最小的那个正方形边长，就叫做它们的“最小公倍数”。今天这节课，我们就一起来当数学侦探，“找最小公倍数”！1.2明晰路径，激活旧知我们要解决两个核心问题：第一，什么是公倍数和最小公倍数？第二，怎么又快又准地找到它们？要当好侦探，我们得先唤醒一个老朋友——怎样列出一个数的所有倍数？还记得关键是要“有序”吗？好的，工具备齐，探究开始！第二、新授环节任务一：从现实模型到数学概念教师活动：首先，借助课件动态演示用长3、宽2的长方形铺正方形的过程，验证学生猜想。明确铺出边长为6分米、12分米、18分米……的正方形。板书这些边长数据：6，12，18，24……提问：“这些边长数有什么共同特点？”引导学生说出“既是3的倍数，又是2的倍数”。随即揭示：像6，12，18…这些数，就是2和3公有的倍数，叫做它们的公倍数。接着追问：“公倍数只有这几个吗？还能找到更大的吗？”让学生感受公倍数的个数是无限的。最后指向最小的6，明确这就是2和3的最小公倍数。（亲切解说）“看，生活问题就这样转化成了数学问题。‘公倍数’的‘公’，就是公共、共有的意思。”学生活动：观察动画演示，验证自己的猜想。思考并回答教师提问，尝试用自己的语言描述“公倍数”的特征。在教师引导下，理解公倍数有无数个，但最小公倍数是唯一且确定的。即时评价标准：1.能否从铺砖情境中正确抽象出“既是3的倍数，又是2的倍数”这一数学条件。2.能否在教师引导下，理解“公倍数”集合的无限性。3.语言表述是否清晰，指向是否明确。形成知识、思维、方法清单：★公倍数：两个（或几个）数公有的倍数，叫做它们的公倍数。（教学提示：强调“公有”，可通过集合圈交集的直观图辅助理解。）★最小公倍数：公倍数中最小的一个，叫做最小公倍数。（易错点：最小公倍数是“一个数”，而公倍数是“一组数”。）▲从具体到抽象：将“铺成正方形”的实际问题，抽象为寻找“共同倍数”的数学问题，这是建立数学模型的第一步。任务二：探索寻找公倍数的基本方法教师活动：提出新问题：“不画图，怎么找出4和6的公倍数和最小公倍数？”组织学生先独立尝试，再小组交流。巡视指导，关注不同层次学生的策略：有的可能分别列出4和6的倍数再找公共的；有的可能先列出较大数6的倍数，再从中筛选4的倍数。请采用不同方法的小组上台展示。（课堂设问）“大家比较一下，这两种方法思路有什么不同？你更喜欢哪一种？为什么？”引导学生体会“列举法”清晰明了，“筛选法”有时更快捷。学生活动：独立思考并尝试解决问题。在小组内交流各自的方法，可能产生争论或互补。聆听其他小组的汇报，对比不同方法的优劣。即时评价标准：1.列举倍数是否有序、完整（至少列出必要个数）。2.能否正确识别出公共的倍数。3.小组交流时，是否能清晰地陈述自己的方法并倾听他人。形成知识、思维、方法清单：★列举法：先分别写出两个数的倍数（通常写到比两数积稍大即可），再找出相同的倍数。（方法要点：有序列举是基础，避免遗漏。）★筛选法：先写出较大数的倍数，再从这些倍数中筛选出也是较小数倍数的那些。（认知说明：此法是优化思维的起点，尤其适用于两数相差较大时。）▲有序思考：无论是列举还是筛选，有条理的顺序是准确性和效率的保证。任务三：观察特例，发现规律（一）教师活动：出示两组数：①3和6②5和15。让学生快速找出每组数的最小公倍数。学生很容易得出答案后，追问：“仔细观察每一组中的两个数，它们本身有什么关系？这个关系和它们的最小公倍数之间，有没有什么联系？”（引导发现）“当两个数成倍数关系时，它们的最小公倍数有什么特点？”鼓励学生大胆猜想，并再用几组例子（如4和12）验证。最后引导学生归纳：当两个数成倍数关系时，较大的数就是它们的最小公倍数。学生活动：快速计算并汇报结果。观察数字特征，发现3和6、5和15都是倍数关系。思考并讨论规律，进行验证，最后尝试用语言概括规律。即时评价标准：1.能否快速、准确地找出特例中的最小公倍数。2.观察是否敏锐，能否发现两数间的倍数关系。3.归纳出的结论是否清晰、准确。形成知识、思维、方法清单：★规律一（倍数关系）：如果两个数成倍数关系，那么较大的那个数就是它们的最小公倍数。（举例：如10和20的最小公倍数是20。）任务四：观察特例，发现规律（二）与集合图表示教师活动：再出示一组数：4和5。让学生找最小公倍数。学生列出倍数后发现，公倍数只有20，40…最小是20。提问：“4和5这两个数，除了1，还有别的公因数吗？”引出“互质关系”。引导学生发现：当两个数互质时，它们的最小公倍数就是这两个数的乘积。随后，引入韦恩图（集合圈）来直观表示两个数的倍数、公倍数的关系。用一个圈表示4的倍数，一个圈表示6的倍数，相交部分就是公倍数。（亲切解说）“看，集合圈让‘公有’的部分一目了然，最小公倍数就在这里头。”学生活动：寻找4和5的公倍数，感知其特殊性。在教师引导下认识“互质”概念（公因数只有1）。总结规律。观察集合圈模型，理解其如何直观表示倍数与公倍数的集合关系。即时评价标准：1.能否理解“互质”的含义（不一定都是质数，如8和9）。2.能否正确归纳出互质关系下的最小公倍数规律。3.能否看懂集合圈所表示的数学关系。形成知识、思维、方法清单：★规律二（互质关系）：如果两个数只有公因数1（互质），那么它们的最小公倍数就是这两个数的乘积。（举例：如7和8的最小公倍数是56。）★韦恩图（集合圈）模型：用两个相交的圈分别表示两个数的倍数集合，其交集部分表示它们的公倍数集合。（思维价值：这是集合思想的初步渗透，让抽象关系可视化。）任务五：方法优化与模型建立教师活动：组织小型讨论：“现在我们有这么多‘武器’了：列举法、筛选法，还有发现的两个规律。如果让你找12和18的最小公倍数，你打算怎么入手？第一步先看什么？”引导学生形成策略：先观察两数关系，判断是否属于倍数或互质关系，若是则直接应用规律；若不是，再选用列举或筛选法。（挑战性提问）“用筛选法找12和18的公倍数时，从谁的倍数开始筛选更聪明？为什么？”引导学生选择从较大数18的倍数开始筛选。最后，和学生一起梳理寻找最小公倍数的通用流程图：观察关系→特例直接得→一般情况用方法。学生活动：参与讨论，分享自己的策略选择。理解“先观察，后选择”的优化思想。尝试用优化后的方法解决新的问题，如求12和18的最小公倍数。即时评价标准：1.能否有意识地先观察数字特征再选择方法。2.方法选择是否合理，计算过程是否准确。3.能否理解优化策略背后的数学道理（效率）。形成知识、思维、方法清单：▲策略优先原则：求最小公倍数时，养成先观察两数关系的习惯。（认知策略：这体现了“化归”思想，将新问题转化为已知的特例问题。）▲筛选法的优化：一般从较大数的倍数开始筛选，可以减少列举量。（方法优化：是算法思维的启蒙。）第三、当堂巩固训练现在，让我们用练武场来检验一下各位“数学侦探”的身手。任务分三级，请大家量力而行，挑战自我！基础层（全员通行证）：1.找出下列每组数的最小公倍数。(1)6和10(2)9和3(3)5和8。（设计意图：直接应用概念与基本方法，巩固双基。）综合层（智慧加油站）：2.解决问题：一盒糖果，平均分给4个或6个小朋友，都正好分完，这盒糖果至少有多少块？（设计意图：在新情境中识别最小公倍数模型，理解“至少”对应求最小公倍数。）3.判断：两个数的最小公倍数一定比这两个数都大。（设计意图：制造认知冲突，通过反例（如倍数关系）深化概念理解。）挑战层（巅峰对决）：4.探索发现：用你喜欢的方法找出12和16的最小公倍数。观察计算过程，你还能发现它们的公倍数和最小公倍数之间有什么倍数关系吗？（设计意图：引导学生发现“任何两个数的公倍数都是它们最小公倍数的倍数”，为后续学习埋下伏笔。）反馈机制：基础题采用同桌互查，重点核对过程和结果。综合题请学生讲解思路，教师追问“为什么是求最小公倍数？”挑战题请有发现的学生分享，教师予以提炼和表扬。针对练习中暴露的普遍性错误（如第3题），进行集中点评和辨析。第四、课堂小结旅程接近尾声，一起来盘点我们的收获。（引导总结）“哪位侦探能为我们画一张简单的‘寻宝地图’，说说我们今天是怎么一步步找到‘最小公倍数’这个宝藏的？”鼓励学生用思维导图或关键词串联的方式回顾从概念到方法再到规律的探索历程。（方法提炼）“回顾一下，在寻找过程中，我们用到了哪些重要的数学思想？”（模型思想、有序思考、归纳推理）。（作业布置）今天的作业是：必做（巩固基础）：1.完成课本相关练习题。2.整理本课知识要点。选做（拓展思维）：生活小调查：找一找生活中哪些地方用到了最小公倍数的知识，记录下来并与同学分享。（衔接与延伸）学会了找两个数的最小公倍数，大家不妨猜猜，如果是三个数，又该怎么找呢？留给大家课后先思考。六、作业设计1.基础性作业（必做）：(1)求下列每组数的最小公倍数：①8和12②15和30③7和9。(2)填空：a.16和20的公倍数有（），最小公倍数是（）。b.如果a是b的倍数，那么a和b的最小公倍数是（）。2.拓展性作业（建议完成）：李阿姨家的月季每4天浇一次水，君子兰每6天浇一次水。今天李阿姨同时给这两种花浇了水，至少再过多少天，李阿姨才会再次同时给这两种花浇水？（请画出简单的示意图或列出算式说明你的思路）3.探究性/创造性作业（选做）：利用网络或书籍，了解中国古代数学著作《九章算术》中关于“约分”的论述，思考其中是否蕴含了最小公倍数的思想？将你的发现用几句话记录下来。七、本节知识清单及拓展★公倍数：两个数公有的倍数，叫做这两个数的公倍数。公倍数的个数是无限的。★最小公倍数：两个数的公倍数中最小的一个，叫做它们的最小公倍数。最小公倍数是唯一的。★列举法：找两个数最小公倍数的基本方法。先分别有序地写出两个数的倍数，再找出相同的倍数，其中最小的就是最小公倍数。★筛选法：一种优化方法。先写出较大数的倍数，再从中筛选出也是较小数倍数的数，第一个满足条件的数就是最小公倍数。★规律一（倍数关系）：如果两个数成倍数关系，那么较大的数就是它们的最小公倍数。（例如：6和18的最小公倍数是18。）★规律二（互质关系）：如果两个数只有公因数1（互质），那么它们的最小公倍数就是这两个数的乘积。（例如：4和9的最小公倍数是36。）▲韦恩图表示：可以用两个相交的圆（集合圈）分别表示两个数的倍数集合，重叠部分表示它们的公倍数集合。这是一种直观的数学模型。▲“至少”问题：在生活中遇到“至少再过多少时间同时发生”、“至少有多少个物品能满足不同分法”等问题，往往是在求最小公倍数。▲策略选择：求最小公倍数时，应先观察两数关系。若满足倍数或互质关系，则直接应用规律；若不满足，再选用列举法或筛选法。▲公倍数与最小公倍数的关系：两个数的任何一个公倍数，都是它们最小公倍数的倍数。（拓展认知：这是公倍数集合的一个重要性质。）八、教学反思假设本次教学实践已完成，我将从以下维度进行系统性复盘：（一）教学目标达成度分析从课堂反馈与巩固练习情况看，知识目标基本达成。绝大多数学生能准确说出公倍数与最小公倍数的含义，并能运用至少一种方法找出两个数的最小公倍数。能力目标方面，学生在“铺地砖”情境中的建模表现良好，但在独立面对“分糖果”等文字应用题时，仍有约20%的学生需经提示才能建立正确模型，这表明将实际问题抽象为数学问题的能力仍需在后续教学中持续培养。情感目标在小组探究环节体现充分，课堂氛围积极。学科思维目标中，归纳“倍数关系”规律的学生参与度高，而对“互质关系”规律的发现则更多依赖于教师的引导，学生自主观察概括此规律的能力稍弱，这与“互质”概念本身稍显抽象有关。元认知目标通过课堂小结时的反思性问题有所触及，但深度有待加强。（二）核心教学环节有效性评估1.导入环节：“铺地砖”情境成功创设了认知冲突，激发了探究欲望。（内心独白：“这个生活实例选得不错，几乎立刻把孩子们的思维拉进了‘公共倍数’的轨道上。”）2.任务二（方法探索）：放手让学生尝试并对比不同方法，生成了宝贵的教学资源。但巡视中发现，部分基础薄弱学生在独立列举时出现无序或遗漏，下次可考虑为这部分学生提供印有数字序列的辅助表格，降低操作难度。3.任务三与四（规律发现）：从特例入手的教学设计符合认知规律。但在归纳“互质关系”规律时，部分学生将“互质”与“都是质数”混淆。课后需设计专项辨析练习。4.巩固训练分层设计：三层练习满足了不同需求，挑战题有学生发现了“公倍数是最小公倍数的倍数”，出乎意料地精彩，应放大这一生成性资源。（三）学生表现的差异化剖析课堂上，约30%的“领先者”思维活跃，能主动尝试筛选法并迅速发现规律，他们更享受挑战题和规律概括的环节。约60%的“跟进者”在脚手架（任务单引导、小组讨论）支持下能稳步达成学习目标，他们是课堂的主体，其学习成效是评估教学设计的核心指标。另有约10%的“需关注者”在抽象概念理解和多步骤操作上存在明显困难，他们更依赖于直观演示和同伴帮助，在独立练习时速度较慢。针对他们，除了课上的个别指导，课后需通过