六年级数学下册追及问题建模与拓展教学设计

六年级数学下册追及问题建模与拓展教学设计一、教学内容分析追及问题是小学阶段“数与代数”领域“常见的量”与“解决问题”综合运用的典型模型，隶属于“行程问题”知识模块。从《义务教育数学课程标准（2022年版）》看，本课处于第二学段，其教学坐标定位于：在已掌握“速度、时间、路程”三者基本关系及简单相遇问题的基础上，引导学生经历从具体情境中抽象出数量关系，并运用符号建立数学模型、解释与应用的过程。这直接呼应了核心素养中“模型意识”与“应用意识”的培养要求。知识技能图谱上，本节课的核心概念是“速度差”与“路程差”，关键技能为在动态情境中识别、表征和分析这两个关键量，并构建“速度差×追及时间=初始路程差”的数学模型。它上承速度、时间、路程的静态计算，下启工程问题、流水行船等更复杂的动态问题，是培养学生动态分析思维的关键节点。过程方法上，本节课将以“数学建模”为统领思想，通过“情境感知—抽象数量—建立模型—解释应用”的路径，将生活问题数学化。其育人价值在于，通过严谨的逻辑推理和模型构建，培养学生的科学理性精神与解决问题的系统性思维，实现“润物无声”的素养渗透。教学重难点预判为：如何引导学生主动发现并理解“速度差”是决定追及过程的本质量，以及如何从“同时不同地”或“同地不同时”的复杂叙述中准确抽象出“初始路程差”。基于“以学定教”原则，学情研判如下：学生已牢固掌握速度、时间、路程的基本公式，并具备解决单向行程和简单相遇问题的经验。其生活经验中不乏“追赶”的直观体验，这是重要的兴趣点和认知起点。然而，潜在的认知障碍在于：第一，从“速度和”的相遇问题思维惯性转向“速度差”的追及问题思维，存在认知冲突；第二，对“追及时间”的理解可能局限于“追上那一刻”，而非一个持续的动态过程；第三，面对多角色、多运动的复杂情境时，提取有效信息并建立联系的能力不足。为此，教学中将通过“前测题”动态诊断学生对基础关系的理解水平，并通过设计由直观（线段图演示）到抽象（符号表达式）的阶梯任务，搭建认知脚手架。针对不同层次学生，支持策略包括：为学习基础较弱的学生提供“分析线索卡”（引导性提问清单）和标准线段图模板；为学有余力的学生设置“变量挑战”（如引入速度变化、环形跑道等），鼓励其探索模型边界，实现差异化发展。二、教学目标知识目标方面，学生将系统建构追及问题的认知结构。他们不仅能准确陈述“速度差×时间=路程差”这一核心关系式，更能理解其与基本公式“速度×时间=路程”的内在统一性，并能够辨析“同时追及”、“提前出发”等多种变式情境中的“初始路程差”与“速度差”，达到深度理解与灵活应用的水平。能力目标聚焦于数学建模与推理能力。学生将能够从现实或文字描述的具体追及情境中，主动识别关键数学信息，用线段图直观表征运动过程，并运用符号（如用△v表示速度差，△s表示路程差）建立一般化数学模型，最终进行合理解答与检验，完成从具体到抽象再到具体的完整思维循环。情感态度与价值观目标，期望学生在合作探究“如何追上”的策略过程中，体会数学逻辑的力量与简洁之美，形成勇于探究、严谨求实的科学态度。在小组讨论与方案分享中，学会倾听、表达与协作，感受集体智慧在解决复杂问题中的价值。学科思维目标，本节课重点发展学生的模型建构思维与数形结合思维。具体转化为课堂可执行的任务链：引导学生经历“感知现象—画图模拟—量化关系—概括公式—验证应用”的完整建模过程，并始终强调线段图作为将动态过程静态化、复杂关系可视化的核心工具价值。评价与元认知目标，设计引导学生依据“模型建立的合理性、解题步骤的清晰性、结果的实际意义”三个维度，对自身或同伴的解题过程进行评价。鼓励学生在课后反思：“我是如何找到突破口的？画图对我有帮助吗？这个模型还可以用在什么地方？”从而提升对学习策略的监控与调整能力。三、教学重点与难点教学重点确定为：理解“速度差”是决定追及过程的核心量，并建立“速度差×追及时间=初始路程差”的数学模型。其确立依据源于对课程标准的深度解读：本节课所涉及的“模型意识”是数学核心素养中的“大概念”，而该公式正是追及问题最核心、最一般的数学模型，对解决所有同类问题具有奠基性作用。从学业评价角度看，该模型是解决复杂行程问题的枢纽，是小升初考试中高频且能有效区分学生分析能力的关键考点。教学难点在于：如何引导学生从复杂多变的问题叙述中，自主、准确地抽象出“初始路程差”这一关键量，并理解“追及时间”的同一性。预设难点成因主要有二：一是学生的抽象概括能力尚在发展，容易被“不同时出发”、“中途休息”等干扰信息迷惑；二是对运动过程中“速度差”产生的累积效果缺乏直观感受。突破方向在于：设计循序渐进的探究任务，借助线段图动画演示将动态过程“慢放”与“定格”，并通过对比不同变式情境，引导学生发现“万变不离其宗”的结构关系。四、教学准备清单1.教师准备1.1媒体与教具：制作包含动态追及情境（如龟兔赛跑改编）的课件，重点展示线段图逐步生成与量化的过程；准备可粘贴的磁力卡片（用于板书关键公式与关系）；设计分层学习任务单（含基础、综合、挑战三个层次）。1.2评价工具：设计课堂即时评价量表（关注合作、表达、建模过程）；准备典型解题案例（正确与错误）用于反馈讲评。2.学生准备2.1课前预习：复习“速度、时间、路程”三者关系，并尝试用线段图表示一个简单的行程问题。2.2学具准备：直尺、铅笔、彩色笔（用于画线段图）。3.环境布置3.1座位安排：小组合作式座位，便于4人小组讨论与探究。3.2板书记划：板书分区明确，预留核心公式区、探究过程区、学生成果展示区。五、教学过程第一、导入环节1.情境创设与冲突激发：“同学们，我们都听过龟兔赛跑的故事。今天故事有了新版本：兔子吸取教训，不再睡觉，但乌龟获得了高科技助力——一辆平衡车。比赛开始，兔子以每分钟200米的速度率先冲出。3分钟后，乌龟才骑着每分钟250米的平衡车出发。请问，乌龟还能追上兔子吗？”（利用经典故事的新编，快速引发学生兴趣和认知冲突）。1.1核心问题提出：“要回答‘能否追上’，其实就是要解决一个‘追及问题’。那么，追上到底需要什么条件？我们又该如何用数学的工具来精准计算呢？”（自然引出核心课题）。1.2路径明晰与旧知唤醒：“这节课，我们就化身‘数学侦探’，一起揭开‘追及’背后的秘密。我们已经知道速度、时间、路程三者的关系，也画过线段图。这些都将成为我们今天破案的关键工具。我们的探案路线是：先从具体案例入手模拟，再寻找普遍规律，最后成为能解决各种追及难题的‘破案高手’。”第二、新授环节本环节采用支架式教学，通过五个螺旋上升的任务，引导学生主动建构模型。任务一：情境模拟，感知“追及”本质教师活动：首先，引导学生将龟兔新赛跑的故事转化为数学语言。“别急，我们先像侦探一样，把题目里的‘线索’——也就是数学信息，都找出来。”引导学生说出：兔速200米/分，先跑3分钟；龟速250米/分。接着提问：“乌龟出发时，兔子已经在前面多远的地方了？这个距离在追及问题中非常关键，我们给它起个名字叫‘初始路程差’，谁能计算出来？”（200×3=600米）。然后，利用课件动画演示追及过程，并同步绘制线段图。“大家看，这条线段代表兔子先跑的路程，也就是600米。现在乌龟在后面追，因为乌龟快，所以每过一分钟，它们之间的距离就会缩短一些。缩短了多少呢？”引导学生计算速度差：250200=50米/分。“这个‘速度差’，就是乌龟每分钟能追上的距离。现在，谁能猜到，追上的时间怎么求？”学生活动：学生从故事中提取数学信息。计算初始路程差。观看动画，直观感受距离逐渐缩短的过程。在教师引导下计算速度差。基于直观感受和除法意义，尝试猜想：追及时间=初始路程差÷速度差。即时评价标准：1.能否准确从文字中提取速度、提前时间等关键数据。2.能否理解“初始路程差”的含义并正确计算。3.观看演示时，能否观察到“每分钟缩短的距离”即速度差。形成知识、思维、方法清单：★核心概念1：初始路程差。指追及开始时，快行者与慢行者之间已经存在的路程距离。它是追及发生的“前提”。▲方法提示：可通过“慢者速度×先行时间”或“快者出发时慢者已走的路程”来求。★核心概念2：速度差。快行者速度减去慢行者速度的差值，表示单位时间（如每分钟）内快行者能追上的路程。它是追及得以实现的“动力源泉”。▲思维点拨：从“速度和”转向“速度差”，是思维的关键转折点。任务二：数形结合，初建模型教师活动：“刚才的猜想对不对呢？我们请线段图这位‘老朋友’来帮忙验证。”带领学生共同分步绘制标准线段图。先画一条线段表示兔子先行的600米，标注“兔先走”。然后从起点画龟的行程线，并提问：“乌龟出发后，它们各自的路程如何在线段图上增长？”引导学生用不同颜色的线段继续画，直到两条线段末端对齐，表示“追上”。“看，这个对齐点对应的就是追上的时刻。从乌龟出发到追上，它们所用的时间是一样的，我们设为t分钟。那么，乌龟走的路程是？兔子在这段时间又走了多少？”根据线段图，列出等式：龟路程=兔先走路程+兔后走路程，即250t=600+200t。“这个等式大家熟悉吗？它就是我们学过的方程！解这个方程，看看t是多少？”（t=12）。再引导学生观察方程变形：250t200t=600→(250200)t=600→速度差×时间=初始路程差。“看，我们的猜想被严格证明了！这个关系就是追及问题的核心公式。”学生活动：跟随教师指导，亲手绘制线段图，理解每一部分的含义。根据线段图的直观示意，尝试列出等量关系式。解简易方程，求出追及时间。观察方程变形过程，直观理解核心公式的推导。即时评价标准：1.绘制的线段图是否清晰、规范，能反映运动过程。2.能否根据线段图正确列出等量关系方程。3.能否从方程变形中主动发现并概括出核心公式。形成知识、思维、方法清单：★核心方法1：线段图建模法。将动态追及过程静态化、可视化，是分析数量关系的利器。绘图要点：先标“初始路程差”，再按速度比例画后续行程，终点对齐。★核心模型：追及问题基本公式。速度差×追及时间=初始路程差。▲认知说明：此公式与“速度和×相遇时间=总路程”构成行程问题的两大基本模型，体现了“分”与“合”的辩证思维。任务三：变式探究，深化理解教师活动：现在改变条件：“如果兔子和乌龟同时出发，但兔子在乌龟后面600米处，乌龟能追上兔子吗？需要多久？”（条件变为“同地不同时”的反向，即“落后距离”也是初始路程差）。让学生独立画图列式。之后，提出更具挑战的问题：“如果兔子提前3分钟出发，但中途休息了2分钟，乌龟还能用原来的公式计算吗？”引导学生讨论：“休息时间算不算在‘追及时间’里？‘初始路程差’受影响吗？”（休息时兔子路程不增加，但初始路程差需减去兔子休息时乌龟追上的部分？此处引发深度思考）。组织小组讨论，并请代表分享思路。学生活动：独立完成“同时不同地”的变式练习，巩固模型。面对“中途休息”的复杂情境，小组展开激烈讨论。尝试分段分析或重新定义“有效追及时间”和“动态初始路程差”。即时评价标准：1.对于标准变式，能否迅速识别并套用模型正确解答。2.面对复杂情境，能否积极参与讨论，提出有逻辑的见解。3.能否意识到模型的应用条件（匀速运动）和复杂情况的处理思路。形成知识、思维、方法清单：▲易错点警示：“初始路程差”的确定需仔细审题，区分“先行路程”与“落后距离”，本质都是追及开始时的距离差。★思维进阶：模型应用条件。基本公式适用于双方匀速运动的情况。若出现变速、停顿，需灵活处理，可考虑分段或转化为追及多段路程差的问题。▲核心素养渗透：通过变式探究，培养思维的严谨性与灵活性，理解模型的适用边界。任务四：抽象概括，符号表达教师活动：“我们经历了几个具体的案例，现在能不能当一次‘数学发明家’，用最概括的字母，给这类问题写一个‘万能公式’？”引导学生设定：设快者速度为V快，慢者速度为V慢，初始路程差为S差，追及时间为T。让学生尝试写出公式：(V快V慢)×T=S差。并板书：△v×t=△s。“这个简洁的公式，就是今天我们找到的‘终极宝藏’。它像一把万能钥匙。”学生活动：参与符号化概括过程，尝试用字母表示一般规律。理解和记忆符号公式△v×t=△s。即时评价标准：1.能否理解用字母表示一般规律的意义。2.能否正确写出符号化的追及问题公式。形成知识、思维、方法清单：★核心模型（符号版）：△v×t=△s。其中△v表示速度差，△s表示路程差，t表示追及时间。▲方法论意义：符号化是数学抽象的高级阶段，它剥离了具体情境，揭示了问题的纯数学结构，使得应用范围更广。任务五：即时小练，模型初用教师活动：出示两道基础应用题，如：“甲、乙两人相距100米，甲每秒跑7米，乙每秒跑3米，甲追乙，需几秒？”“一辆汽车以每小时60千米的速度从A地开往B地，一小时后，一辆摩托车以每小时80千米的速度也从A地出发去追汽车，多久能追上？”给予学生35分钟独立完成。巡视指导，重点关注学习有困难的学生是否能正确识别△v和△s。选取有代表性的解答（正确和典型错误）进行投影展示，组织学生互评。学生活动：独立审题，应用刚学的模型公式或方程解题。在互评环节，分析同伴解答的正确与否，并说明理由。即时评价标准：1.解题是否正确、规范。2.能否清晰说出解题所依据的模型和每一步的理由。形成知识、思维、方法清单：★应用要点1：审题定式。看到“追及”、“追上”等关键词，立刻关联△v×t=△s模型。★应用要点2：公式变形。熟练进行三个量的求导：t=△s÷△v，△v=△s÷t，△s=△v×t。▲错误辨析：常见错误是误将“速度和”当“速度差”，或找错“初始路程差”。第三、当堂巩固训练本环节设计分层、变式训练体系，并提供即时反馈。1.基础层（巩固模型）：“两列火车同向行驶，快车长180米，每秒行25米；慢车长140米，每秒行15米。快车从追上慢车到完全超过慢车需要多少秒？”（此题关键在于理解“完全超过”时的路程差是两车长度之和，即△s=180+140）。“大家注意，‘追上’到‘超过’是一个过程，路程差有什么变化？”2.综合层（情境应用）：“小明和小刚从学校去少年宫。小明先走，每分钟走50米，8分钟后小刚骑车去追，每分钟骑200米。小刚出发几分钟后，离少年宫还有400米时追上小明？”（此题增加了终点限制条件，需先算出总追及路程差，再根据小刚的路程倒推时间）。“条件变复杂了，我们的‘万能钥匙’还能用吗？试试把问题分解成几个标准步骤。”3.挑战层（思维拓展）：“在一个600米的环形跑道上，甲、乙两人从同一地点反向出发。甲每秒跑4米，乙每秒跑6米。当他们第10次相遇时，甲还需要跑多少米才能回到起点？”（此题融入环形跑道相遇与追及的复合，并涉及多次相遇后的位置判断）。“这是为‘破案高手’准备的终极挑战，环形跑道上的相遇和追及，秘密就藏在‘路程和’与‘路程差’与跑道周长的关系里。”反馈机制：采用小组互评与教师讲评结合。基础题答案统一核对，综合题请不同思路的学生上台讲解，挑战题则展示优秀解法思路。教师重点讲评典型错误，如基础题中忽略“车长”的错误，引导学生建立“点追及”与“车追及”的模型差异意识。第四、课堂小结引导学生进行结构化总结与元认知反思。“旅程即将结束，哪位侦探来分享一下，今天我们破获‘追及案’的‘办案手册’是什么？”鼓励学生用思维导图或关键词的形式，梳理“核心公式（△v×t=△s）—关键概念（速度差、路程差）—核心工具（线段图）—解题步骤（审题、画图、找量、列式、解答）”的知识逻辑链。“回想一下，哪个环节让你觉得最难突破？画图对你有帮助吗？”引导学生反思学习策略。最后布置分层作业：必做（基础性作业）：教材相关习题，完成2道标准追及问题及1道变式问题。选做（拓展探究性作业）：1.寻找一个生活中的追及现象，编成数学题目并解答。2.研究“环形跑道同向追及”问题，总结其第一次追上所需时间与跑道周长的关系。预告下节课将利用本课模型，探讨“工程问题”中的合作与追赶，建立更广泛的联系。六、作业设计基础性作业（必做）：1.直接应用：甲车每小时行40千米，乙车每小时行50千米。乙车先出发2小时后，甲车沿同路去追，几小时可追上？2.简单变式：姐姐和弟弟去上学，弟弟每分钟走40米，走了8分钟后，姐姐以每分钟60米的速度去追，几分钟后能追上弟弟？3.概念辨析：判断“速度差越大，追及时间一定越短”这句话是否正确，并举例说明。拓展性作业（推荐大多数学生完成）：情境化应用题：小明和小华在一条笔直跑道上练习跑步。小明在起点，小华在他前面150米处。两人同时同向出发，小明每秒跑5米，小华每秒跑3米。当小明追上小华时，他们距离起点多少米？请用两种方法（算术和方程）解答，并说说你喜欢哪种方法，为什么？探究性/创造性作业（学有余力学生选做）：1.微型项目：设计一个“追及问题”的数学小报。小报需包含：追及问题的核心公式与图解；一道你原创的有趣的追及问题（可来源于运动、动物世界、科幻想象等）；这道题的详细解答过程；以及一段你的创作感想。2.深度探究：研究“流水行船”中的追及问题。一艘快艇在静水中速度为20千米/时，一艘货船在静水中速度为10千米/时。若它们在一条水流速度为5千米/时的河中同向行驶，快艇从后面追上货船，其“速度差”应该如何计算？与静水中追及有何不同？撰写一份简短的探究报告。七、本节知识清单及拓展★1.追及问题本质：研究两个运动物体在同一路线、同向运动时，快者追上慢者的动态过程。核心是分析“速度差”与“路程差”随时间的变化关系。★2.初始路程差(△s)：追及开始时，快者与慢者之间已有的距离。它于慢者先行、快者落后或两者初始位置不同而产生。计算公式：慢者速度×先行时间，或直接由初始位置差得出。★3.速度差(△v)：快者速度减去慢者速度的差值，恒为正值。物理意义：单位时间内快者能够追上路程。公式：△v=V快V慢。★4.核心数学模型：速度差×追及时间=初始路程差，即△v×t=△s。这是解决所有匀速直线运动追及问题的基石公式。★5.公式变形：由核心公式可推导出：追及时间t=△s÷△v；速度差△v=△s÷t；初始路程差△s=△v×t。需根据问题所求灵活选用。★6.线段图分析法：解决追及问题的首选策略工具。绘制要点：用两条平行线或一条线段上的不同部分表示两者路程；明确标出“初始路程差”；用箭头或不同颜色区分两者运动；终点对齐表示“追上”时刻。★7.方程建模法：根据“快者路程=慢者先路程+慢者同时间路程”或“快者路程慢者路程=初始路程差”建立等量关系。此法是代数思想的直接体现，尤其适合复杂情境。▲8.“同地不同时”与“同时不同地”：两者都可归结为存在“初始路程差”。“同地不同时”即慢者先行；“同时不同地”即初始位置不同。解题时统一抓准△s。▲9.追及点位置计算：追上时，慢者所走总路程=慢者速度×(先行时间+追及时间)；快者所走总路程=快者速度×追及时间。两者路程差即为初始路程差。▲10.模型应用前提：双方做匀速直线运动。这是基本公式成立的隐含条件。▲11.易错点警示：①混淆“速度差”与“速度和”。②找错“初始路程差”，特别是在“不同时出发”或“中途停顿”时。③在“车过桥”、“超车”等问题中，忽略车身长度，此时路程差需加上（或减去）车长。▲12.环形跑道追及：在封闭环道上同向追及，每追上一次，快者比慢者多跑一圈（即跑道周长）。此时，“初始路程差”为0，但“追及路程差”为周长。第一次追及时间=周长÷速度差。▲13.复杂情境处理：当出现“中途休息”、“速度变化”时，基本公式不能直接套用。常用策略是：①分段处理，分别计算各段时间内的路程变化。②假设法或方程法，聚焦于“总路程相等”或“时间关系”建立方程。★14.数学思想方法：模型思想（抽象出△v×t=△s）、数形结合思想（线段图）、转化与化归思想（将复杂情境转化为标准模型）。▲15.与相遇问题的对比：相遇问题是“相向而行，路程和”；追及问题是“同向而行，路程差”。两者是行程问题的一体两面，共同构成了基本的运动关系模型。▲16.实际应用联想：追及模型不仅用于解题，还可解释或预测交通调度、体育竞赛、军事行动乃至天体运动（如卫星变轨追及）中的许多现象，是连接数学与现实的桥梁。八、教学反思假设本课教学已实施完毕，基于课堂观察与学生反馈，进行如下专业性复盘：（一）教学目标达成度分析。从后测练习与课堂问答来看，约85%的学生能独立解决标准追及问题，并正确说出核心公式，表明知识目标基本达成。约70%的学生能在少量提示下，通过画线段图分析一道综合变式题，展现了初步的建模能力，能力目标部分达成。情感目标在小组合作探究“中途休息”问题时表现明显，学生们热烈讨论，展现了良好的探究氛围。然而，学科思维目标中的“符号化概括”环节，部分学生仍停留在记忆公式层面，对“△v×t=△s”的普适性意义理解不深，这提示我在未来教学中，需增加从23个具体算例抽象到字母公式的对比归纳活动，让学生更充分体验“抽象”的过程价值。（二）各教学环节有效性评估。导入环节的“龟兔新赛跑”成功激发了所有学生的兴趣，驱动性问题明确。新授环节的五个任务逻辑链条清晰，起到了良好的“脚手架”作用。特别是任务三（变式探究）中关于“中途休息”的讨论，成为了课堂的高潮和思维深化点，学生提出的“分段计算”和“等效时间”等想法超出了我的预期。“当时有学生说‘兔子休息时，时间还在走，但路程不增加，这对乌龟有利’，这显示他们真正在动态思考问题，非常可贵。”巩固环节的分层设计照顾了差异，但时间稍显仓促，挑战题仅有少数学生完成初稿，未能展开充分分享。小结环节的学生自主梳理还不够系统，多依赖于教师