郴州历年高考题目及答案

郴州历年高考题目及答案姓名：_____ 准考证号：_____ 得分：__________

一、选择题(每题2分，总共10题)

1.下列关于函数f(x)=x^3-ax+1的描述，正确的是

A.当a>0时，函数在x>0处单调递增

B.当a<0时，函数在x<0处单调递减

C.函数的极值点个数与a的符号有关

D.函数的图像恒过点(0,1)

2.已知数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=a_n+2/n，则a_5的值为

A.3

B.4

C.5

D.6

3.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a^2+b^2-c^2=ab，则角C的大小为

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

4.函数f(x)=|x-1|+|x+1|的最小值为

A.0

B.1

C.2

D.3

5.若复数z=1+i满足z^2+kz+1=0，则实数k的值为

A.-2

B.2

C.-1

D.1

6.设函数f(x)=sin(x+π/3)，则f(x)的周期为

A.2π

B.π

C.2π/3

D.π/3

7.不等式|x|+|y|≤1所表示的平面区域内的整点坐标有

A.(0,0)

B.(1,0)

C.(0,1)

D.(1,1)

E.(-1,0)

F.(0,-1)

G.(1,-1)

H.(-1,1)

I.(-1,-1)

J.(1,1)

8.设函数f(x)=e^x-x，则f(x)在x=0处的切线方程为

A.y=x

B.y=-x

C.y=x+1

D.y=-x+1

9.已知向量a=(1,2)，b=(3,-4)，则向量a与b的夹角为

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

10.在直角坐标系中，点P(x,y)到直线x+y=1的距离为d，则d的最小值为

A.0

B.1/√2

C.1

D.√2

二、填空题(每题2分，总共10题)

1.已知函数f(x)=ax^2+bx+c，若f(1)=3，f(-1)=-1，且f(x)的顶点为(1,1)，则a+b+c的值为

2.数列{a_n}的前n项和S_n=n^2+n，则a_5的值为

3.在等差数列{a_n}中，若a_3=5，a_7=9，则a_10的值为

4.已知向量a=(2,k)，b=(1,3)，若a与b垂直，则k的值为

5.函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的最大值为

6.已知直线l1:x+y=1与直线l2:ax+by=c相交于点P(1,0)，则a+b的值为

7.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=4，c=5，则cosA的值为

8.函数f(x)=sin(2x+π/4)在区间[0,π/2]上的零点个数为

9.已知集合A={x|x^2-x-2>0}，B={x|x>k}，若A∩B=∅，则k的取值范围为

10.在直角坐标系中，点P(x,y)到点F(1,0)的距离与到直线x=-1的距离之差为1，则y的取值范围为

三、多选题(每题2分，总共10题)

1.下列关于函数f(x)=x^3-3x的说法正确的有

A.函数的图像关于原点对称

B.函数在x=1处取得极小值

C.函数在x=-1处取得极大值

D.函数的图像恒过点(0,0)

2.下列数列中，是等差数列的有

A.a_n=n^2

B.a_n=2n-1

C.a_n=3n+1

D.a_n=n(n+1)

3.下列不等式正确的有

A.|x|+|y|>|x+y|

B.|x|+|y|≥|x-y|

C.|x|-|y|≤|x+y|

D.|x|-|y|≥|x-y|

4.下列关于向量的说法正确的有

A.向量a与向量b共线，则存在唯一实数k使得a=kb

B.向量a与向量b垂直，则a·b=0

C.向量a+b的模等于向量a的模加上向量b的模

D.向量a-b的模等于向量a的模减去向量b的模

5.下列关于三角函数的说法正确的有

A.函数f(x)=sin(x)+cos(x)的周期为2π

B.函数f(x)=sin(x)-cos(x)的图像关于原点对称

C.函数f(x)=sin(x)cos(x)的图像关于y轴对称

D.函数f(x)=sin(x)+sin(2x)的图像与x轴相交于原点

6.下列关于解析几何的说法正确的有

A.圆x^2+y^2=1与直线x+y=1相交于两点

B.抛物线y^2=2px(p>0)的焦点到准线的距离为p

C.双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1的渐近线方程为y=±(b/a)x

D.椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的焦点到长轴端点的距离为√(a^2-b^2)

7.下列关于数列的说法正确的有

A.等差数列的前n项和S_n=na_1+(n-1)d

B.等比数列的前n项和S_n=a_1(1-q^n)/(1-q)(q≠1)

C.数列{a_n}是等差数列，则数列{a_n^2}也是等差数列

D.数列{a_n}是等比数列，则数列{a_n^2}也是等比数列

8.下列关于函数的说法正确的有

A.函数f(x)=x^2在区间[0,1]上的平均值等于1/2

B.函数f(x)=sin(x)在区间[0,2π]上的积分等于0

C.函数f(x)=e^x在区间[0,1]上的积分等于e-1

D.函数f(x)=log(x)在区间[1,e]上的积分等于1

9.下列关于集合的说法正确的有

A.集合A={x|x^2-x-2>0}的元素有正有负

B.集合B={x|x>k}的元素都大于k

C.集合A∪B={x|x>k或x<-1}

D.集合A∩B=∅意味着集合A与集合B没有公共元素

10.下列关于概率的说法正确的有

A.随机事件A的概率P(A)满足0≤P(A)≤1

B.必然事件的概率为1

C.不可能事件的概率为0

D.互斥事件A和B的概率P(A∪B)=P(A)+P(B)

四、判断题(每题2分，总共10题)

1.函数f(x)=x^2-4x+3在区间[1,3]上的最小值为0

2.数列{a_n}满足a_n=n(n+1)，则{a_n}是等差数列

3.在△ABC中，若a^2=b^2+c^2，则角A为直角

4.函数f(x)=|x|在区间[-1,1]上的积分等于1

5.向量a=(1,2)与向量b=(3,4)的夹角为90°

6.集合A={x|x^2-1>0}与集合B={x|x<-1}相等

7.复数z=1+i的模为√2

8.函数f(x)=sin(x)cos(x)的周期为π

9.不等式|x|+|y|<1所表示的平面区域是一个圆

10.若事件A与事件B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B)

五、问答题(每题2分，总共10题)

1.已知函数f(x)=ax^2+bx+c，若f(1)=3，f(-1)=-1，且f(x)的顶点为(1,1)，求a、b、c的值

2.数列{a_n}的前n项和S_n=n^2+n，求a_4的值

3.在等差数列{a_n}中，若a_3=5，a_7=9，求a_1和d

4.已知向量a=(2,k)，b=(1,3)，若a与b垂直，求k的值

5.函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的最大值和最小值

6.求函数f(x)=sin(2x+π/4)在区间[0,π/2]上的零点

7.解不等式|x|+|y|≤1所表示的平面区域内的整点坐标

8.求点P(x,y)到直线x+y=1的距离d的最小值

9.已知集合A={x|x^2-x-2>0}，B={x|x>k}，若A∩B=∅，求k的取值范围

10.求满足点P(x,y)到点F(1,0)的距离与到直线x=-1的距离之差为1的y的取值范围

试卷答案

一、选择题答案及解析

1.C

解析：函数f(x)=x^3-ax+1的导数为f'(x)=3x^2-a。当a>0时，f'(x)=0的解为x=±√(a/3)，在这些点处函数可能取得极值，但不一定在x>0处单调递增。当a<0时，f'(x)=0的解为x=±√(-a/3)，在这些点处函数可能取得极值，但不一定在x<0处单调递减。函数的极值点个数与a的符号有关，因为当a>0时，f'(x)在x=-√(a/3)处由负变正，在x=√(a/3)处由正变负，有两个极值点；当a<0时，f'(x)在x=-√(-a/3)处由正变负，在x=√(-a/3)处由负变正，有两个极值点。函数的图像恒过点(0,1)，因为f(0)=0^3-a*0+1=1。故选C。

2.B

解析：数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=a_n+2/n，则a_2=a_1+2/1=1+2=3，a_3=a_2+2/2=3+1=4，a_4=a_3+2/3=4+2/3=14/3，a_5=a_4+2/4=14/3+1/2=31/6。故a_5的值为4。故选B。

3.D

解析：在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a^2+b^2-c^2=ab，则根据余弦定理，cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)=ab/(2ab)=1/2。因为角C的范围是(0,π)，所以C=π/3。故选D。

4.C

解析：函数f(x)=|x-1|+|x+1|的图像是两条射线，分别在x≤-1和x≥1时，f(x)=-(x-1)-(x+1)=-2x；在-1<x<1时，f(x)=-(x-1)+(x+1)=2。当x=-1时，f(-1)=|-1-1|+|-1+1|=2；当x=1时，f(1)=|1-1|+|1+1|=2。所以f(x)的最小值为2。故选C。

5.A

解析：复数z=1+i满足z^2+kz+1=0，则(1+i)^2+k(1+i)+1=0，即1+2i-1+k+ki+1=0，即2i+k+ki+1=0，即(1+k)+(2+k)i=0。因为实部和虚部都为0，所以1+k=0且2+k=0。解得k=-1。故选A。

6.A

解析：函数f(x)=sin(x+π/3)的周期为2π。因为正弦函数sin(x)的周期为2π，而平移不改变周期。故选A。

7.A、C、E、G

解析：不等式|x|+|y|≤1所表示的平面区域是一个以原点为中心，边长为2√2的正方形。其内部的整点坐标为(0,0)、(1,0)、(0,1)、(-1,0)、(0,-1)、(1,-1)、(-1,1)、(-1,-1)。故选A、C、E、G。

8.A

解析：函数f(x)=e^x-x的导数为f'(x)=e^x-1。f'(0)=e^0-1=0。f(0)=e^0-0=1。所以切线方程为y-1=0(x-0)，即y=1。故选A。

9.B

解析：向量a=(1,2)，b=(3,-4)。向量a与b的夹角θ满足cosθ=(a·b)/(|a||b|)=(1*3+2*(-4))/(√(1^2+2^2)*√(3^2+(-4)^2))=(3-8)/(√5*√25)=-5/5√5=-1/√5。θ=arccos(-1/√5)≈arccos(-0.4472)≈113.58°。故选B。

10.B

解析：点P(x,y)到直线x+y=1的距离为d=|x+y-1|/√(1^2+1^2)=|x+y-1|/√2。当x+y=1时，d=0。当x+y≠1时，d>0。d的最小值为0，当且仅当x+y=1。故选B。

二、填空题答案及解析

1.2

解析：函数f(x)=ax^2+bx+c，若f(1)=3，f(-1)=-1，且f(x)的顶点为(1,1)，则f(1)=a*1^2+b*1+c=a+b+c=3；f(-1)=a*(-1)^2+b*(-1)+c=a-b+c=-1；顶点(1,1)满足f(1)=a*1^2+b*1+c=a+b+c=1。由a+b+c=3和a+b+c=1矛盾，说明题目条件有误，假设a+b+c=1，则a+b+c=1，矛盾。若改为f(1)=a+b+c=1，则a+b+c=1；f(-1)=a-b+c=-1；顶点(1,1)满足a+b+c=1。则a+b+c=1。故a+b+c=2。

2.15

解析：数列{a_n}的前n项和S_n=n^2+n，则a_n=S_n-S_{n-1}=(n^2+n)-[(n-1)^2+(n-1)]=n^2+n-(n^2-2n+1+n-1)=n^2+n-n^2+2n-n=2n。a_5=2*5=10。故a_5的值为10。

3.7

解析：在等差数列{a_n}中，若a_3=5，a_7=9，则a_7=a_3+4d。9=5+4d。4d=4。d=1。a_10=a_3+7d=5+7*1=12。故a_10的值为12。

4.-6

解析：向量a=(2,k)，b=(1,3)。若a与b垂直，则a·b=0。2*1+k*3=0。2+3k=0。3k=-2。k=-2/3。故k的值为-2/3。

5.2

解析：函数f(x)=x^3-3x^2+2的导数为f'(x)=3x^2-6x。令f'(x)=0，得3x(x-2)=0，解得x=0或x=2。f(0)=0^3-3*0^2+2=2。f(2)=2^3-3*2^2+2=8-12+2=-2。f(-1)=(-1)^3-3*(-1)^2+2=-1-3+2=-2。f(3)=3^3-3*3^2+2=27-27+2=2。在区间[-1,3]上，f(x)的最大值为2，最小值为-2。

6.1

解析：直线l1:x+y=1与直线l2:ax+by=c相交于点P(1,0)，则将P(1,0)代入l2，得a*1+b*0=c，即a=c。将P(1,0)代入l1，得1+0=1，即1=1。所以a=c。所以a+b=c+b=b+c。故a+b的值为1。

7.3/5

解析：在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=4，c=5，则△ABC为直角三角形，且∠C=90°。cosA=b/c=4/5。故cosA的值为4/5。

8.2

解析：函数f(x)=sin(2x+π/4)在区间[0,π/2]上的零点满足2x+π/4=kπ，k为整数。当k=0时，2x+π/4=0，x=-π/8，不在区间[0,π/2]内。当k=1时，2x+π/4=π，x=3π/8，在区间[0,π/2]内。当k=2时，2x+π/4=2π，x=7π/8，不在区间[0,π/2]内。所以零点个数为1个。故零点个数为2。

9.k≤-1

解析：集合A={x|x^2-x-2>0}={x|(x-2)(x+1)>0}=(-∞,-1)∪(2,+∞)。B={x|x>k}。若A∩B=∅，则B必须完全包含在A的外部，即B⊆(-∞,-1]∪[2,+∞)。所以k必须大于等于-1。故k的取值范围为k≤-1。

10.y≤-1

解析：点P(x,y)到点F(1,0)的距离为√((x-1)^2+y^2)，到直线x=-1的距离为|x+1|。根据题意，|√((x-1)^2+y^2)-|x+1||=1。分两种情况：1.√((x-1)^2+y^2)=|x+1|+1。两边平方得(x-1)^2+y^2=(x+1)^2+2|x+1|+1。x^2-2x+1+y^2=x^2+2x+1+2|x+1|+1。y^2=4x+2|x+1|。2.√((x-1)^2+y^2)=|x+1|-1。两边平方得(x-1)^2+y^2=(x+1)^2-2|x+1|+1。x^2-2x+1+y^2=x^2+2x+1-2|x+1|+1。y^2=4x-2|x+1|。考虑x+1≥0，即x≥-1。此时|x+1|=x+1。情况1变为y^2=4x+2(x+1)=6x+2。情况2变为y^2=4x-2(x+1)=2x-2。考虑x+1<0，即x<-1。此时|x+1|=-(x+1)=-x-1。情况1变为y^2=4x+2(-x-1)=2x-2。情况2变为y^2=4x-2(-x-1)=6x+2。综合两种情况，当x≥-1时，y^2=6x+2。当x<-1时，y^2=2x-2。y^2=2x-2。y=±√(2x-2)。y≤-1，因为y^2=2x-2≥0，所以2x-2≥0，即x≥1。但y≤-1，且y^2≥0，所以y≤-1。故y的取值范围为y≤-1。

四、判断题答案及解析

1.错误

解析：函数f(x)=x^2-4x+3在区间[1,3]上的导数为f'(x)=2x-4。令f'(x)=0，得x=2。f(1)=1^2-4*1+3=0。f(2)=2^2-4*2+3=-1。f(3)=3^2-4*3+3=0。f(x)在区间[1,3]上的最小值为-1，最大值为0。故最小值不为0。

2.错误

解析：数列{a_n}满足a_n=n(n+1)=n^2+n。a_{n+1}=(n+1)(n+2)=n^2+3n+2。a_{n+1}-a_n=(n^2+3n+2)-(n^2+n)=2n+2=2(n+1)。所以{a_n}不是等差数列。

3.正确

解析：在△ABC中，若a^2=b^2+c^2，则根据余弦定理，cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)=(b^2+c^2-(b^2+c^2))/(2bc)=0。因为角A的范围是(0,π)，所以A=π/2。故正确。

4.错误

解析：函数f(x)=|x|在区间[-1,1]上的积分∫[-1,1]|x|dx=∫[-1,0](-x)dx+∫[0,1]xdx=[-x^2/2]_{-1}^{0}+[x^2/2]_{0}^{1}=(0-(-1/2))+(1/2-0)=1/2+1/2=1。故积分等于1。

5.错误

解析：向量a=(1,2)，b=(3,4)。向量a与b的夹角θ满足cosθ=(a·b)/(|a||b|)=(1*3+2*4)/(√(1^2+2^2)*√(3^2+4^2))=(3+8)/(√5*√25)=11/5√5=11/(5√5)。θ=arccos(11/(5√5))。因为11/(5√5)≈11/11.18≈0.9898，θ≈arccos(0.9898)≈9.59°。故夹角不为90°。

6.错误

解析：集合A={x|x^2-x-2>0}={x|(x-2)(x+1)>0}=(-∞,-1)∪(2,+∞)。集合B={x|x<-1}=(-∞,-1)。A与B不相等，例如x=0属于A，不属于B。故错误。

7.正确

解析：复数z=1+i的模为|z|=√(1^2+1^2)=√2。故正确。

8.正确

解析：函数f(x)=sin(x)cos(x)=(1/2)sin(2x)。正弦函数sin(2x)的周期为π，所以(1/2)sin(2x)的周期也为π。故正确。

9.错误

解析：不等式|x|+|y|<1所表示的平面区域是一个以原点为中心，边长为2的正方形内部，不包括边界。是一个正方形，不是圆。故错误。

10.正确

解析：若事件A与事件B互斥，则A与B不能同时发生，即A∩B=∅。根据概率的加法公式，P(A∪B)=P(A)+P(B)。故正确。

五、问答题答案及解析

1.解：f(1)=a*1^2+b*1+c=a+b+c=3①；f(-1)=a*(-1)^2+b*(-1)+c=a-b+c=-1②；顶点(1,1)满足f(1)=a*1^2+b*1+c=a+b+c=1③。由①和③矛盾，说明题目条件有误，假设a+b+c=1，则①变为a+b+c=1，与③矛盾。若改为f(1)=a+b+c=1，则①变为a+b+c=1，②不变。联立①②，得a+b+c=1，a-b+c=-1。两式相减，得2b=2，b=1。两式相加，得2a+2c=0，a+c=0，c=-a。将b=1代入①，得a+1-a=1，1=1。成立。所以a+b+c=1。a+c=0。顶点(1,1)满足f(1)=a+b+c=1。所以a+b+c=1。a+c=0。故a=1，b=1，c=-1。

2.解：数列{a_n}的前n项和S_n=n^2+n，则a_n=S_n-S_{n-1}=(n^2+n)-[(n-1)^2+(n-1)]=n^2+n-(n^2-2n+1+n-1)=n^2+n-n^2+2n-n=2n。a_4=2*4=8。

3.解：在等差数列{a_n}中，若a_3=5，a_7=9，则a_7=a_3+4d。9=5+4d。4d=4。d=1。a_1=a_3-2d=5-2*1=3。故a_1=3，d=1。

4.解：向量a=(2,k)，b=(1,3)。若a与b垂直，则a·b=0。2*1+k*3=0。2+3k=0。3k=-2。k=-2/3。故k的值为-2/3。

5.解：函数f(x)=x^3-3x^2+2的导数为f'(x)=3x^2-6x。令f'(x)=0，得3x(x-2)=0，解得x=0或x=2。f(0)=0^3-3*0^2+2=2。f(2)=2^3-3*2^2+2=8-12+2=-2。f(-1)=(-1)^3-3*(-1)^2+2=-1-3+2=-2。f(3)=3^3-3*3^2+2=27-27+2=2。在区间[-1,3]上，f(x)的最大值为2，最小值为-2。

6.解：函数f(x)=sin(2x+π/4)在区间[0,π/2]上的零点满足2x+π/4=kπ，k为整数。当k=0时，2x+π/4=0，x=-π/8，不在区间[0,π/2]内。当k=1时，2x+π/4=π，x=3π/8，在区间[0,π/2]内