(教案)三角函数的概念

19/19三角函数的概念【第1课时】三角函数的概念【教学目标】【核心素养】1．借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义．（重点、难点）2．掌握任意角三角函数（正弦、余弦、正切）在各象限的符号．（易错点）3．掌握公式——并会应用．1．通过三角函数的概念，培养数学抽象素养．2．借助公式的运算，提升数学运算素养．【教学过程】一、新知初探1．单位圆在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆．2．任意角的三角函数的定义（1）条件在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，α∈R它的终边与单位圆交于点P（x，y），那么：（2）结论①y叫做α的正弦函数，记作sinα，即sinα＝y；②x叫做α的余弦函数，记作cosα，即cosα＝x；③eq\f(y,x)叫做α的正切，记作tanα，即tanα＝eq\f(y,x)（x≠0）．（3）总结eq\f(y,x)＝tanα（x≠0）是以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标或横坐标的比值为函数值的函数，正切函数我们将正弦函数、余弦函数、正切函数统称为三角函数．3．正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域三角函数定义域sinαRcosαRtanαeq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈R\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))4．正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号（1）图示：（2）口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．5．公式一二、初试身手1．sin（－315°）的值是（）A．－eq\f(\r(2),2)B．－eq\f(1,2)C．eq\f(\r(2),2)D．eq\f(1,2)答案：C解析：sin（－315°）＝sin（－360°＋45°）＝sin45°＝eq\f(\r(2),2)．2．已知sinα＞0，cosα＜0，则角α是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角答案：B解析：由正弦、余弦函数值在各象限内的符号知，角α是第二象限角．3．sineq\f(25,3)π＝________．答案：eq\f(\r(3),2)解析：sineq\f(25,3)π＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8π＋\f(π,3)))＝sineq\f(π,3)＝eq\f(\r(3),2)．4．角α终边与单位圆相交于点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，则cosα＋sinα的值为________．答案：eq\f(\r(3)＋1,2)解析：cosα＝x＝eq\f(\r(3),2)，sinα＝y＝eq\f(1,2)，故cosα＋sinα＝eq\f(\r(3)＋1,2)．三、合作探究三角函数的定义及应用类型1探究问题1．一般地，设角α终边上任意一点的坐标为（x，y），它与原点的距离为r，则sinα，cosα，tanα为何值？提示：sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r)，tanα＝eq\f(y,x)（x≠0）．2．sinα，cosα，tanα的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？提示：sinα，cosα，tanα的值只与α的终边位置有关，不随P点在终边上的位置的改变而改变．例1：（1）已知角θ的终边上有一点P（x，3）（x≠0），且cosθ＝eq\f(\r(10),10)x，则sinθ＋tanθ的值为________．（2）已知角α的终边落在直线eq\r(3)x＋y＝0上，求sinα，cosα，tanα的值．思路点拨：（1）eq\x(依据余弦函数定义列方程求x)→eq\x(依据正弦、正切函数定义求sinθ＋tanθ)（2）eq\x(\A\AL(判断角α的,终边位置))→eq\x(\A\AL(分类讨论求sinα，,cosα，tanα))（1）eq\f(3\r(10)＋30,10)或eq\f(3\r(10)－30,10)因为r＝eq\r(x2＋9)，cosθ＝eq\f(x,r)，所以eq\f(\r(10),10)x＝eq\f(x,\r(x2＋9))．又x≠0，所以x＝±1，所以r＝eq\r(10)．又y＝3＞0，所以θ是第一或第二象限角．当θ为第一象限角时，sinθ＝eq\f(3\r(10),10)，tanθ＝3，则sinθ＋tanθ＝eq\f(3\r(10)＋30,10)．当θ为第二象限角时，sinθ＝eq\f(3\r(10),10)，tanθ＝－3，则sinθ＋tanθ＝eq\f(3\r(10)－30,10)．（2）解：直线eq\r(3)x＋y＝0，即y＝－eq\r(3)x，经过第二、四象限，在第二象限取直线上的点（－1，eq\r(3)），则r＝eq\r(（－1）2＋（\r(3)）2)＝2，所以sinα＝eq\f(\r(3),2)，cosα＝－eq\f(1,2)，tanα＝－eq\r(3)；在第四象限取直线上的点（1，－eq\r(3)），则r＝eq\r(12＋（－\r(3)）2)＝2，所以sinα＝－eq\f(\r(3),2)，cosα＝eq\f(1,2)，tanα＝－eq\r(3)．母题探究1．将本例（2）的条件“eq\r(3)x＋y＝0”改为“y＝2x”其他条件不变，结果又如何？解：当角的终边在第一象限时，在角的终边上取点P（1，2），由r＝|OP|＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5)，得sinα＝eq\f(2,\r(5))＝eq\f(2\r(5),5)，cosα＝eq\f(1,\r(5))＝eq\f(\r(5),5)，tanα＝eq\f(2,1)＝2．当角的终边在第三象限时，在角的终边上取点Q（－1，－2），由r＝|OQ|＝eq\r(（－1）2＋（－2）2)＝eq\r(5)，得：sinα＝eq\f(－2,\r(5))＝－eq\f(2\r(5),5)，cosα＝eq\f(－1,\r(5))＝－eq\f(\r(5),5)，tanα＝eq\f(－2,－1)＝2．2．将本例（2）的条件“落在直线eq\r(3)x＋y＝0上”改为“过点P（－3a，4a）（a≠0）”，求2sinα＋cosα．解：因为r＝eq\r(（－3a）2＋（4a）2)＝5|a|，①若a>0，则r＝5a，角αsinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(4a,5a)＝eq\f(4,5)，cosα＝eq\f(x,r)＝eq\f(－3a,5a)＝－eq\f(3,5)，所以2sinα＋cosα＝eq\f(8,5)－eq\f(3,5)＝1．②若a<0，则r＝－5a，角αsinα＝eq\f(4a,－5a)＝－eq\f(4,5)，cosα＝eq\f(－3a,－5a)＝eq\f(3,5)，所以2sinα＋cosα＝－eq\f(8,5)＋eq\f(3,5)＝－1．规律方法由角α终边上任意一点的坐标求其三角函数值的步骤：（1）已知角α的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种：①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．②在α的终边上任选一点P（x，y），P到原点的距离为r（r>0）．则sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r)．已知α的终边求α的三角函数时，用这几个公式更方便．（2）当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，一定注意对字母正、负的辨别，若正、负未定，则需分类讨论．三角函数值符号的运用类型2例2：（1）已知点P（tanα，cosα）在第四象限，则角α终边在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限（2）判断下列各式的符号：①sin145°cos（－210°）；②sin3cos4tan5．思路点拨：（1）先判断tanα，cosα的符号，再判断角α终边在第几象限．（2）先判断已知角分别是第几象限角，再确定各三角函数值的符号，最后判断乘积的符号．答案：（1）C解析：因为点P在第四象限，所以有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(tanα>0，,cosα<0，))由此可判断角α终边在第三象限．（2）解：①∵145°是第二象限角，∴sin145°＞0，∵－210°＝－360°＋150°，∴－210°是第二象限角，∴cos（－210°）＜0，∴sin145°cos（－210°）＜0．②∵eq\f(π,2)＜3＜π，π＜4＜eq\f(3π,2)，eq\f(3π,2)＜5＜2π，∴sin3＞0，cos4＜0，tan5＜0，∴sin3·cos4·tan5＞0．规律方法判断三角函数值在各象限符号的攻略：1．基础：准确确定三角函数值中各角所在象限；2．关键：准确记忆三角函数在各象限的符号；3．注意：用弧度制给出的角常常不写单位，不要误认为角度导致象限判断错误．提醒：注意巧用口诀记忆三角函数值在各象限符号．跟踪训练1．已知角α的终边过点（3a－9，a＋2）且cosα≤0，sinα＞0，则实数a的取值范围是________答案：－2＜a≤3解析：因为cosα≤0，sinα＞0，所以角α的终边在第二象限或y轴非负半轴上，因为α终边过（3a－9，a＋2）所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a－9≤0，,a＋2＞0，))所以－2＜a≤3．2．设角α是第三象限角，且eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)))＝－sineq\f(α,2)，则角eq\f(α,2)是第________象限角．答案：四解析：角α是第三象限角，则角eq\f(α,2)是第二、四象限角，∵eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)))＝－sineq\f(α,2)，∴角eq\f(α,2)是第四象限角．诱导公式一的应用类型3例3：求值：（1）tan405°－sin450°＋cos750°；（2）sineq\f(7π,3)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,6)))＋taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(15π,4)))coseq\f(13π,3)．解：（1）原式＝tan（360°＋45°）－sin（360°＋90°）＋cos（2×360°＋30°）＝tan45°－sin90°＋cos30°＝1－1＋eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),2)．（2）原式＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π＋\f(π,3)))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4π＋\f(π,6)))＋taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4π＋\f(π,4)))·coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4π＋\f(π,3)))＝sineq\f(π,3)coseq\f(π,6)＋taneq\f(π,4)coseq\f(π,3)＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(3),2)＋1×eq\f(1,2)＝eq\f(5,4)．规律方法利用诱导公式一进行化简求值的步骤1．定形：将已知的任意角写成2kπ＋α的形式，其中α∈[0，2π，k∈Z]．2．转化：根据诱导公式，转化为求角α的某个三角函数值．3．求值：若角为特殊角，可直接求出该角的三角函数值．跟踪训练3．化简下列各式：（1）a2sin（－1350°）＋b2tan405°－2abcos（－1080°）；（2）sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11π,6)))＋coseq\f(12,5)π·tan4π．解：（1）原式＝a2sin（－4×360°＋90°）＋b2tan（360°＋45°）－2abcos（－3×360°）＝a2sin90°＋b2tan45°－2abcos0°＝a2＋b2－2ab＝（a－b）2．（2）sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11,6)π))＋coseq\f(12,5)π·tan4π＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2π＋\f(π,6)))＋coseq\f(2,5)π·tan0＝sineq\f(π,6)＋0＝eq\f(1,2)．四、课堂小结1．三角函数的定义的学习是以后学习一切三角函数知识的基础，要充分理解其内涵，把握住三角函数值只与角的终边所在位置有关，与所选取的点无关这一关键点．2．诱导公式一指的是终边相同角的同名三角函数值相等，反之不一定成立，记忆时可结合三角函数定义进行记忆．3．三角函数值在各象限的符号主要涉及开方，去绝对值计算问题，同时也要注意终边在坐标轴上正弦、余弦的符号问题．五、课堂达标1．思考辨析（1）sinα表示sin与α的乘积．（）（2）设角α终边上的点P（x，y），r＝|OP|≠0，则sinα＝eq\f(y,r)，且y越大，sinα的值越大．（）（3）终边相同的角的同一三角函数值相等．（）（4）终边落在y轴上的角的正切函数值为0．（）提示：（1）错误．sinα表示角α的正弦值，是一个“整体”．（2）错误．由任意角的正弦函数的定义知，sinα＝eq\f(y,r)．但y变化时，sinα是定值．（3）正确．（4）错误．终边落在y轴上的角的正切函数值不存在．答案：（1）×（2）×（3）√（4）×2．已知角α终边过点P（1，－1），则tanα的值为（）A．1B．－1C．eq\f(\r(2),2)D．－eq\f(\r(2),2)答案：B解析：由三角函数定义知tanα＝eq\f(－1,1)＝－1．3．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于x轴对称，若sinα＝eq\f(1,5)，则sinβ＝________．答案：－eq\f(1,5)解析：设角α的终边与单位圆相交于点P（x，y），则角β的终边与单位圆相交于点Q（x，－y），由题意知y＝sinα＝eq\f(1,5)，所以sinβ＝－y＝－eq\f(1,5)．4．求值：（1）sin180°＋cos90°＋tan0°．（2）coseq\f(25π,3)＋taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(15π,4)))．解：（1）sin180°＋cos90°＋tan0°＝0＋0＋0＝0．（2）coseq\f(25π,3)＋taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(15π,4)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8π＋\f(π,3)))＋taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4π＋\f(π,4)))＝coseq\f(π,3)＋taneq\f(π,4)＝eq\f(1,2)＋1＝eq\f(3,2)．【第2课时】同角三角函数的基本关系【教学目标】【核心素养】1．理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用．（重点）2．会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明．（难点）1．通过同角三角函数的基本关系进行运算，培养数学运算素养．2．借助数学式子的证明，培养逻辑推理素养．【教学过程】一、新知初探1．平方关系（1）公式：sin2α＋cos2α＝1．（2）语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1．2．商数关系（1）公式：eq\f(sinα,cosα)＝tanα（α≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z）．（2）语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切．思考：对任意的角α，sin22α＋cos22α＝1是否成立？提示：成立．平方关系中强调的同一个角且是任意的，与角的表达形式无关．二、初试身手1．化简eq\r(1－sin2\f(3π,5))的结果是（）A．coseq\f(3π,5)B．sineq\f(3π,5)C．－coseq\f(3π,5)D．－sineq\f(3π,5)答案：C解析：因为eq\f(3π,5)是第二象限角，所以coseq\f(3π,5)＜0，所以eq\r(1－sin2\f(3π,5))＝eq\r(cos2\f(3π,5))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(3π,5)))＝－coseq\f(3π,5)．2．如果α是第二象限的角，下列各式中成立的是（）A．tanα＝－eq\f(sinα,cosα)B．cosα＝－eq\r(1－sin2α)C．sinα＝－eq\r(1－cos2α)D．tanα＝eq\f(cosα,sinα)答案：B解析：由商数关系可知A，D均不正确．当α为第二象限角时，cosα＜0，sinα＞0，故B正确．3．若cosα＝eq\f(3,5)，且α为第四象限角，则tanα＝________．答案：－eq\f(4,3)解析：因为α为第四象限角，且cosα＝eq\f(3,5)，所以sinα＝－eq\r(1－cos2α)＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))2)＝－eq\f(4,5)，所以tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(4,3)．三、合作探究直接应用同角三角函数关系求值类型1例1：（1）已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))，tanα＝2，则cosα＝________．（2）已知cosα＝－eq\f(8,17)，求sinα，tanα的值．思路点拨：（1）根据tanα＝2和sin2α＋cos2α＝1列方程组求cosα．（2）先由已知条件判断角α是第几象限角，再分类讨论求sinα，tanα．答案：（1）－eq\f(\r(5),5)解析：由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(sinα,cosα)＝2，①,sin2α＋cos2α＝1，②))由①得sinα＝2cosα代入②得4cos2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝eq\f(1,5)，又α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))，所以cosα＜0，所以cosα＝－eq\f(\r(5),5)．（2）解：∵cosα＝－eq\f(8,17)＜0，∴α是第二或第三象限的角．如果α是第二象限角，那么sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8,17)))2)＝eq\f(15,17)，tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(\f(15,17),－\f(8,17))＝－eq\f(15,8)．如果α是第三象限角，同理可得sinα＝－eq\r(1－cos2α)＝－eq\f(15,17)，tanα＝eq\f(15,8)．规律方法利用同角三角函数的基本关系解决给值求值问题的方法：1．已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值，要注意公式的合理选择，一般是先选用平方关系，再用商数关系．2．若角α所在的象限已经确定，求另两种三角函数值时，只有一组结果；若角α所在的象限不确定，应分类讨论，一般有两组结果．提醒：应用平方关系求三角函数值时，要注意有关角终边位置的判断，确定所求值的符号．跟踪训练1．已知sinα＋3cosα＝0，求sinα，cosα的值．解：∵sinα＋3cosα＝0，∴sinα＝－3cosα．又sin2α＋cos2α＝1，∴（－3cosα）2＋cos2α＝1，即10cos2α＝1，∴cosα＝±eq\f(\r(10),10)．又由sinα＝－3cosα，可知sinα与cosα异号，∴角α的终边在第二或第四象限．当角α的终边在第二象限时，cosα＝－eq\f(\r(10),10)，sinα＝eq\f(3,10)eq\r(10)；当角α的终边在第四象限时，cosα＝eq\f(\r(10),10)，sinα＝－eq\f(3,10)eq\r(10)．灵活应用同角三角函数关系式求值类型2例2：（1）已知sinα＋cosα＝eq\f(7,13)，α∈（0，π），则tanα＝________．（2）已知eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＝2，计算下列各式的值．①eq\f(3sinα－cosα,2sinα＋3cosα)；②sin2α－2sinαcosα＋1．思路点拨：（1）法一：eq\x(求sinαcosα)→eq\x(求sinα－cosα)→eq\x(求sinα和cosα)→eq\x(求tanα)法二：eq\x(求sinαcosα)→eq\x(弦化切构建关于tanα的方程)→eq\x(求tanα)（2）eq\x(求tanα)→eq\x(换元或弦化切求值)答案：（1）－eq\f(12,5)解析：法一：（构建方程组）因为sinα＋cosα＝eq\f(7,13)，①所以sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＝eq\f(49,169)，即2sinαcosα＝－eq\f(120,169)．因为α∈（0，π），所以sinα＞0，cosα＜0．所以sinα－cosα＝eq\r(（sinα－cosα）2)＝eq\r(1－2sinαcosα)＝eq\f(17,13)．②由①②解得sinα＝eq\f(12,13)，cosα＝－eq\f(5,13)，所以tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(12,5)．法二：（弦化切）同法一求出sinαcosα＝－eq\f(60,169)，eq\f(sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝－eq\f(60,169)，eq\f(tanα,tan2α＋1)＝－eq\f(60,169)，整理得60tan2α＋169tanα＋60＝0，解得tanα＝－eq\f(5,12)或tanα＝－eq\f(12,5)．由sinα＋cosα＝eq\f(7,13)＞0知|sinα|＞|cosα|，故tanα＝－eq\f(12,5)．（2）解：由eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＝2，化简，得sinα＝3cosα，所以tanα＝3．①法一（换元）原式＝eq\f(3×3cosα－cosα,2×3cosα＋3cosα)＝eq\f(8cosα,9cosα)＝eq\f(8,9)．法二（弦化切）原式＝eq\f(3tanα－1,2tanα＋3)＝eq\f(3×3－1,2×3＋3)＝eq\f(8,9)．②原式＝eq\f(sin2α－2sinαcosα,sin2α＋cos2α)＋1＝eq\f(tan2α－2tanα,tan2α＋1)＋1＝eq\f(32－2×3,32＋1)＋1＝eq\f(13,10)．母题探究1．将本例（1）条件“α∈（0，π）”改为“α∈（－π，0）”其他条件不变，结果又如何？解：由例（1）求出2sinαcosα＝－eq\f(120,169)，因为α∈（－π，0），所以sinα＜0，cosα＞0，所以sinα－cosα＝－eq\r(（sinα－cosα）2)＝－eq\r(1－2sinαcosα)＝－eq\f(17,13)．与sinα＋cosα＝eq\f(7,13)联立解得sinα＝－eq\f(5,13)，cosα＝eq\f(12,13)，所以tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(5,12)．2．将本例（1）的条件“sinα＋cosα＝eq\f(7,13)”改为“sinα·cosα＝－eq\f(1,8)”其他条件不变，求cosα－sinα．解：因为sinαcosα＝－eq\f(1,8)＜0，所以α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，所以cosα－sinα＜0，cosα－sinα＝－eq\r(1－2sinαcosα)＝－eq\r(1－2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,8))))＝－eq\f(\r(5),2)．规律方法1．sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们之间的关系是：（sinα±cosα）2＝1±2sinαcosα．2．已知tanα＝m，求关于sinα，cosα的齐次式的值解决这类问题需注意以下两点：（1）一定是关于sinα，cosα的齐次式（或能化为齐次式）的三角函数式；（2）因为cosα≠0，所以可除以cosα，这样可将被求式化为关于tanα的表示式，然后代入tanα＝m的值，从而完成被求式的求值．提醒：求sinα＋cosα或sinα－cosα的值，要注意根据角的终边位置，利用三角函数线判断它们的符号．应用同角三角函数关系式化简类型3例3：（1）化简eq\f(2sin2α－1,1－2cos2α)＝________．（2）化简eq\f(sinα,1－cosα)·eq\r(\f(tanα－sinα,tanα＋sinα))．（其中α是第三象限角）思路点拨：（1）将cos2α＝1－sin2α代入即可化简．（2）首先将tanα化为eq\f(sinα,cosα)，然后化简根式，最后约分．答案：（1）1原式＝eq\f(2sin2α－1,1－21－sin2α)＝eq\f(2sin2α－1,2sin2α－1)＝1．（2）解：原式＝eq\f(sinα,1－cosα)·eq\r(\f(\f(sinα,cosα)－sinα,\f(sinα,cosα)＋sinα))＝eq\f(sinα,1－cosα)·eq\r(\f(1－cosα,1＋cosα))＝eq\f(sinα,1－cosα)·eq\r(\f(（1－cosα）2,1－cos2α))＝eq\f(sinα,1－cosα)·eq\f(1－cosα,|sinα|)．又因为α是第三象限角，所以sinα＜0．所以原式＝eq\f(sinα,1－cosα)·eq\f(1－cosα,－sinα)＝－1．规律方法三角函数式化简的常用方法1．化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的．2．对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．3．对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．提醒：在应用平方关系式求sinα或cosα时，其正负号是由角α所在的象限决定，不可凭空想象．跟踪训练2．化简tanαeq\r(\f(1,sin2α)－1)，其中α是第二象限角．解：因为α是第二象限角，所以sinα＞0，cosα＜0．故tanαeq\r(\f(1,sin2α)－1)＝tanαeq\r(\f(1－sin2α,sin2α))＝tanαeq\r(\f(cos2α,sin2α))＝eq\f(sinα,cosα)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(cosα,sinα)))＝eq\f(sinα,cosα)·eq\f(－cosα,sinα)＝－1．应用同角三角函数关系式证明类型4探究问题1．证明三角恒等式常用哪些方法？提示：（1）从右证到左．（2）从左证到右．（3）证明左右归一．（4）变更命题法．如：欲证明eq\f(M,N)＝eq\f(P,Q)，则可证MQ＝NP，或证eq\f(Q,N)＝eq\f(P,M)等．2．在证明eq\f(1＋sinα＋cosα＋2sinαcosα,1＋sinα＋cosα)＝sinα＋cosα时如何巧用“1”的代换．提示：在求证eq\f(1＋sinα＋cosα＋2sinαcosα,1＋sinα＋cosα)＝sinα＋cosα时，观察等式左边有2sinαcosα，它和1相加应该想到“1”的代换，即1＝sin2α＋cos2α，所以等式左边＝eq\f(sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＋sinα＋cosα,1＋sinα＋cosα)＝eq\f(sinα＋cosα2＋sinα＋cosα,1＋sinα＋cosα)＝eq\f(sinα＋cosαsinα＋cosα＋1,sinα＋cosα＋1)＝sinα＋cosα＝右边．例4：求证：eq\f(tanαsinα,tanα－sinα)＝eq\f(tanα＋sinα,tanαsinα)．思路点拨：解答本题可由关系式tanα＝eq\f(sinα,cosα)将两边“切”化“弦”来证明，也可由右至左或由左至右直接证明．证明：法一：（切化弦）左边＝eq\f(sin2α,sinα－sinαcosα)＝eq\f(sinα,1－cosα)，右边＝eq\f(sinα＋sinαcosα,sin2α)＝eq\f(1＋cosα,sinα)．因为sin2α＝1－cos2α＝（1＋cosα）（1－cosα），所以eq\f(sinα,1－cosα)＝eq\f(1＋cosα,sinα)，所以左边＝右边．所以原等式成立．法二：（由右至左）因为右边＝eq\f(tan2α－sin2α,tanα－sinαtanαsinα)＝eq\f(tan2α－tan2αcos2α,tanα－sinαtanαsinα)＝eq\f(tan2α1－cos2α,tanα－sinαtanαsinα)＝eq\f(tan2αsin2α,tanα－sinαtanαsinα)＝eq\f(tanαsinα,tanα－sinα)＝左边，所以原等式成立．规律方法1．证明恒等式常用的思路是：（1）从一边证到另一边，一般由繁到简；（2）左右开弓，即证左边、右边都等于第三者；（3）比较法（作差，作比法）．2．技巧感悟：朝目标奔．常用的技巧有：（1）巧用“1”的代换；（2）化切为弦；（3）多项式运算技巧的应用（分解因式）提醒：解决此类问题要有整体代换思想．跟踪训练3．求证：（1）eq\f(sinα－cosα＋1,sinα＋cosα－1)＝eq\f(1＋sinα,cosα)；（2）2（sin6θ＋cos6θ）－3（sin4θ＋cos4θ）＋1＝0．