2026年高二数学寒假自学课（人教B版）第01讲 条件概率、全概率公式及相互独立事件（4知识点+8大题型）（原卷版）

第01讲条件概率、全概率公式及相互独立事件内容导航——预习三步曲第一步：学析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习练题型·强知识：核心题型举一反三精准练【题型01条件概率的计算】【题型02条件概率的性质及应用】【题型03乘法公式的应用】【题型04全概率公式的应用】【题型05贝叶斯公式的应用】【题型06相互独立事件的判断】【题型07相互独立事件的概率问题】【题型08利用事件之间的关系求概率】第二步：记串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握第三步：测过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升知识点1：条件概率①条件概率的概念：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率．②条件概率的解法方法公式或步骤定义法基本事件法缩小样本空间法去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解③乘法公式：对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则④相互独立事件（1）对于事件A，B，若事件A的发生与事件B的发生互不影响，则称事件A，B是相互独立事件；（2）公式：，此时知识点2：全概率公式一般地，设是一组两两互斥的事件，，且，则对任意的事件，有图示：知识点3：贝叶斯公式①概念：设是一组两两互斥的事件，，且，则对任意的事件，,有②作用：贝叶斯公式充分体现了，，，，，之间的转化关系，即，，之间的内在联系．知识点4：相互独立事件1、相互独立事件的概念：对于两个事件，，如果，则意味着事件的发生不影响事件发生的概率．设，根据条件概率的计算公式，，从而．由此可得：设，为两个事件，若，则称事件与事件相互独立．2、判断事件是否相互独立的方法：（1）定义法：事件，相互独立的充要条件是．（2）由事件本身的性质直接判断两个事件的发生是否相互影响．（3）条件概率法：当时，可用判断．【题型01条件概率的计算】1．某权威机构推荐，当前中国五大旅游城市为北京、上海、成都、杭州、西安，甲、乙、丙三人准备去这五座城市旅游，若每座城市只能去一人，且每座城市均有人选择去旅游．记事件“乙至少选择了两座城市旅游”，“甲只选择了北京旅游”，则（

）A． B． C． D．2．已知，则（）A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.73．从装有2个黑球和3个白球（球的大小、质地完全相同）的不透明袋子中随机取出2个球，已知3个白球的编号分别为1，2，5；2个黑球的编号分别为3，4．那么在取出的2个球的编号之和为奇数的情况下，取出的2个球为1个黑球和1个白球的概率为（

）A． B． C． D．4．多重完美数是其所有因数之和是其本身的整数倍.从以下6，9，12，28，45数中随机任取两个数，若取出的两个数中有多重完美数，其中一个不是多重完美数的概率为（

）A． B． C． D．5．山城小汤圆是传统小吃的代表之一，以糯米为皮，常用红豆、豆沙、芝麻等馅料，一碗手工制作的山城小汤圆共有8个，其中红豆、豆沙汤圆各3个，芝麻馅汤圆2个.小胡在碗中随机取出4个汤圆，在至少选到1个芝麻馅汤圆的条件下，则4个汤圆中恰有3种不同馅料的概率为.6．有10只不同的试验产品，其中有4只不合格品、6只合格品．现每次取1只测试，直到4只不合格品全部测出为止．(1)求最后1只不合格品正好在第5次测试时被发现的不同情形种数；(2)已知最后1只不合格品正好在第5次测试时被发现，求第2次测得合格品的概率．【题型02条件概率的性质及应用】7．已知，则（）A． B． C． D．8．已知随机事件A，B，若，则（

）A． B． C． D．9．（多选）设A，B是一次随机试验中的两个事件，若，，，则不正确的是（

）A． B．C． D．10．已知，，，则的值为11．已知随机事件满足，，．(1)求；(2)求；(3)证明．12．某兴趣小组调查并统计了某班级学生期末统考中的数学成绩和建立个性化错题本的情况，用来研究这两者是否有关.若从该班级中随机抽取1名学生，设“抽取的学生期末统考中的数学成绩不及格”，“抽取的学生建立了个性化错题本”，且，，.求和.【题型03乘法公式的应用】13．已知小明和小红参加学校组织的兴趣小组活动，已知两人同时报名围棋兴趣小组的概率为，且在小明已报名围棋兴趣小组的条件下，小红报名围棋兴趣小组的概率为，则小明报名围棋兴趣小组的概率为（

）A． B． C． D．14．一个不透明的箱子装有若干个除颜色外完全相同的红球和黄球．若第一次摸出红球的概率为，在第一次摸出红球的条件下，第二次摸出黄球的概率为，则第一次摸出红球且第二次摸出黄球的概率为（）A． B． C． D．15．已知某种疾病的患病率为，在患该种疾病的条件下血检呈阳性的概率为，则患该种疾病且血检呈阳性的概率为．16．电影飞驰人生中对汽车的撞击能力进行检测，需要对汽车实施两次撞击，若没有受损，则认为该汽车通过质检．若第一次撞击后该汽车没有受损的概率为0.84，当第一次没有受损时第二次实施撞击也没有受损的概率为0.85，则该汽车通过检验的概率为（

）A．0.794 B．0.684 C．0.714 D．0.684【题型04全概率公式的应用】17．设某批产品中，编号为1，2，3的三家工厂生产的产品分别占，，，各厂产品的次品率分别为，，.现从中任取一件，则取到的是次品的概率为（

）A． B． C． D．18．三个相同的盒子里分别放有两个黑球，一个黑球一个红球，两个红球，现从任意的盒子里随机取出一球，若该球为红色，则该盒剩下的另一球也是红色的概率为（

）A． B． C． D．19．已知某水果超市苹果、香蕉、猕猴桃三种水果的购进数量之比为，经检查发现购进的苹果、香蕉、猕猴桃的新鲜率分别为，则从该超市随机选取一个水果恰好是新鲜的概率为.20．已知甲、乙两个袋子，其中甲袋内有1个红球和2个白球，乙袋内有2个红球和1个白球，根据下列规则进行连续有放回的摸球（每次只摸1个球）：先随机选择一个袋子摸球，若选中甲袋，则后续每次均选择甲袋摸球；若选中乙袋，则后续再随机选择一个袋子摸球，若摸到2次红球则停止摸球，求3次之内（含3次）停止摸球的概率为．21．据调查，某校学生的人近视，而该校有的学生每天玩手机超过1小时，这些人的近视率为.(1)从该校任选一名学生，记事件“该生每天玩手机超过1小时”，“该生近视”，试判断与是否相互独立，并说明理由；(2)现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，求他近视的概率.(3)根据上述结果，能得出什么结论？22．人工智能是研究用于模拟和延伸人类智能的技术科学，被认为是21世纪最重要的尖端科技之一，其理论和技术正在日益成熟，应用领域也在不断扩大．人工智能背后的一个基本原理：首先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策．基于这一基本原理，我们可以设计如下试验模型；有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子中有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球，乙袋中有2个红球和8个白球．从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验．若多次试验直到摸出红球，则试验结束．假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为（先验概率）．(1)求首次试验结束的概率；(2)在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整．①求选到的袋子为甲袋的概率，②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案；方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球．请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大．【题型05贝叶斯公式的应用】23．某同学喜爱球类和游泳运动．在暑假期间，该同学上午去打球的概率为．若该同学上午去打球，则下午一定去游泳；若上午不去打球，则下午去游泳的概率为．已知该同学在某天下午去游了泳，则上午打球的概率为（

）A． B． C． D．24．（多选）有三个相同的箱子，分别编号1，2，3，其中1号箱内装有4个绿球、1个红球，2号箱内装有2个绿球、3个红球，3号箱内装有5个绿球，这些球除颜色外完全相同.某人等可能从三个箱子中任取一箱并从中摸出一个球，事件表示“取到号箱”，事件表示“摸到绿球”，事件表示“摸到红球”，则（

）A． B．C． D．25．贝叶斯公式：，其中称为B的全概率．已知Rh阴性血型又称“熊猫血”，是一种极为罕见的血型，若A，B，C三个地区分别有0.2%，0.4%，0.3%的人是Rh阴性血型，且这三个地区的人口数量之比为，现从这三个地区中任意选取1人，若选取的这个人是Rh阴性血型，则这个人来自C地区的概率为（结果用分数表示）．26．某校元旦晚会设计了一个抽奖游戏，主持人从编号为四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入奖品，再将四个箱子关闭，即主持人知道奖品在哪个箱子．当抽奖人选择某个箱子后，在箱子打开之前，主持人会随机打开一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率．已知甲先选择了号箱子，则在主持人打开号箱子的情况下，奖品在号箱子的概率为.27．有2台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为，第2台加工的次品率为，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2台车床加工的零件数分别占总数的，，现从加工出来的零件中任取一个零件，已知取到的零件是次品，则它取自第2台车床的概率是．28．某保险公司经统计后认为，人分为两类：一类是易出事故的人，他们一年出事故的概率为0.4；另一类是比较谨慎的人，他们一年出事故的概率为0.2．假定第一类人占，那么：(1)一位客户在他购买保险后一年内出事故的概率是多少？(2)若一位客户在买保险后一年内出了事故，则他是易出事故的人的概率是多少？【题型06相互独立事件的判断】29．已知是两个概率大于0的随机事件，则下列说法错误的是（）A．若是对立事件，则是互斥事件 B．若事件相互独立，则与也相互独立C．若事件相互独立，则与可能不互斥 D．若事件互斥，则与相互独立30．有6个相同的球，分别标有数字，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是3”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是6”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之差的绝对值是3”，则（

）A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立31．考虑以为样本空间的古典概型．设X和Y定义上，取值的成对分类变量，则“与独立”是“与独立”的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件32．事件发生的概率为，事件发生的概率为，若，，，则事件与事件的关系为（

）A．互斥 B．对立 C．独立 D．包含33．（多选）有6个相同的球，分别编号1，2，3，4，5，6，从中先不放回的随机取两次，再将球全部放回随机取一次，记事件甲：第一次取球编号数字小于3；乙：第二次取球编号数字为偶数；丙：第三次取球编号为6；丁：前两次取球编号数字和为7；戊：第一、三次取球编号数字至少有一个1．则下列事件与甲事件独立的是：（

）．A．乙 B．丙 C．丁 D．戊34．抛掷一红一绿两颗质地均匀的六面体骰子，若用x表示红色骰子正面朝上的点数，用y表示绿色骰子正面朝上的点数，用表示一次试验的结果，设“两个点数之和等于8”，“至少有一颗骰子的点数为5”，“红色骰子上的点数大于4”．(1)判断事件A，B是否相互独立；(2)分别求事件和C的概率．【题型07相互独立事件的概率问题】35．某同学进行投篮训练，在甲、乙、丙三个不同的位置投中的概率分别p，，，该同学站在这三个不同的位置各投篮一次，恰好投中两次的概率为，则p的值为（

）A． B． C． D．36．三个元件，，独立正常工作的概率分别是，，，把它们随意接入如图所示电路的三个接线盒，，中（一盒接一个元件），各种连接方法中，此电路正常工作的最大概率是．37．甲乙两位同学参加数学知识挑战赛，比赛共设置两道不同的题目，甲乙两人需要在规定时间内独自对这两道不同的题目进行解答，每道题只有一次解答机会．已知甲答对每道题的概率都为，乙答对每道题的概率都为，每次是否答对互不影响．设“甲只答对一道题”，“甲答对两道题”，“乙只答对一道题”，“乙答对两道题”.(1)若，求甲乙两人至少有一人全部答对的概率；(2)若，求甲乙两人一共答对三道题的概率的最小值．38．某足球俱乐部举办新一届足球赛,按比赛规则,进入淘汰赛的两支球队如果在120分钟内未分出胜负,则需进行点球大战.点球大战规则如下:第一阶段,双方各派5名球员轮流罚球,双方各罚一球为一轮,球员每罚进一球则为本方获得1分,未罚进不得分,当分差拉大到即使落后一方剩下的球员全部罚进也不能追上的时候,比赛即宣告结束,剩下的球员无需出场罚球.若5名球员全部罚球后双方得分一样,则进入第二阶段,双方每轮各派一名球员罚球,直到出现某一轮一方罚进而另一方未罚进的局面,则罚进的一方获胜.设甲、乙两支球队进入点球大战,由甲队球员先罚球,甲队每位球员罚进点球的概率均为,乙队每位球员罚进点球的概率均为.假设每轮罚球中,两队进球与否互不影响,各轮结果也互不影响.(1)求每一轮罚球中,甲、乙两队打成平局的概率;(2)若在点球大战的第一阶段,甲队前两名球员均得分而乙队前两名球员均未得分,甲队暂时以2:0领先,求甲队第5个球员需出场罚球的概率.39．某社区举行宪法宣传答题活动，该活动共设置三关，参加活动的选手从第一关开始依次闯关，若闯关失败或闯完三关，则闯关结束，规定每位选手只能参加一次活动．已知每位选手闯第一关成功的概率为，闯第二关成功的概率为，闯第三关成功的概率为．若闯关结束时，恰好通过两关可获得奖金300元，三关全部通过可获得奖金800元．假设选手是否通过每一关相互独立．(1)求参加活动的选手没有获得奖金的概率；(2)现有甲、乙两位选手参加本次活动，求两人最后所得奖金总和为1100元的概率．40．某地为宣传防疫政策,组织专家建设题库供各单位学习,半个月后,当地电视台举办中小学学生防疫知识竞答闯关比赛,规则如下:每队三人,需要从题库中选三道题依次回答,每人一题．第一道题回答正确得10分,回答错误得0分;第二道题回答正确得20分,回答错误扣10分;第三道题回答正确得30分,回答错误扣20分．每组选手回答这三个问题的总得分不低于30分就算闯关成功．某校为了参加该闯关比赛,选拔了三位选手,这三位选手在进行题库训练时的正确率如下表:选手1号2号3号正确率80%80%90%假设选手答题结果互不影响,用频率代替概率．(1)若学校安排1号、2号、3号依次出场回答,则“闯关成功”的概率是多少？(2)如何安排出场顺序使“闯关成功”的概率最大？【题型08利用事件之间的关系求概率】41．如图，三个自动开关，，正常工作的概率都是，且是互相独立的.若将它们接入电路中，则电路不发生故障的概率是（

）A． B． C． D．42．（多选）已知为两个随机事件，表示的对立事件，，则下列结论正确的是（）A．若，则B．若互斥，则C．若相互独立，则D．若相互独立，则43．甲、乙两人进行投篮比赛，甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，且甲、乙两人投中与否互不影响．若甲、乙各投一次，则两人至少有一人投中的概率是．44．某工厂生产一种电子元件，该元件由两个相互独立的部件甲和乙组成.已知部件甲的合格率为95%，部件乙的合格率为90%，整个电子元件只有在两个部件都合格时才能正常使用.现从该工厂随机抽取一个电子元件进行检测.(1)求该电子元件能正常使用的概率；(2)求该电子元件恰好只有一个部件不合格的概率；(3)若已知该电子元件不能正常使用，求它恰好只有一个部件不合格的概率.45．甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场比赛轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都是.(1)试指出丙最终获胜的概率与的大小关系（不需给出理由）；(2)求通过四场比赛决出胜负且甲最终获胜的概率；(3)求丙最终获胜的概率.46．某工厂生产一种零件，该零件的质量分为三个等级：一等品、二等品和次品．根据历史数据，该工厂生产一等品、二等品和次品的概率分别为0.7，0.2和0.1．现对一批刚生产出来的零件进行质量检测，检测方式分为两种：自动检测和人工抽检，自动检测能将一等品全部正确识别，但有5%的概率将二等品误判为次品，有15%的概率将二等品误判为一等品，也有10%的概率将次品误判为二等品．(1)求自动检测判断零件为次品的概率．(2)求在自动检测下，一个被判断为次品的零件实际上就是次品的概率．(3)假设零件先经过自动检测，若判断为一等品，则进行人工抽检；若判断为二等品或次品，则直接淘汰．求人工抽检一个零件，该零件恰好是一等品的概率．一、单选题1．已知事件A和事件B满足，则下列说法正确的是（

）．A．事件A和事件B独立 B．事件A和事件B互斥C．事件A和事件B对立 D．事件和事件B互斥2．某公司升级了智能客服系统，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为．已知输入的问题表达不清晰的概率为．则智能客服的回答被采纳的概率为（

）A． B． C． D．3．甲､乙､丙三位同学进行知识竞赛，每局比赛两人对战，第三人旁观.每局比赛的胜者与旁观者进行下一局比赛，先赢两局者获胜.规定不管是否决出胜者，至多三局结束比赛.根据以往经验，每局比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，每局比赛相互独立且没有平局.经抽签，甲､乙首先对战，丙旁观，设甲､乙､丙在三局内成为胜者的概率分别为，则下列关系正确的是（

）A． B．C． D．4．两兄弟玩一种自定义游戏赢礼物，约定先由弟弟掷一枚质量均匀的骰子，若弟弟掷出的点数为6，则获得礼物；若掷出其他点数，则记下该点数（假设为），然后从哥哥开始两人轮流掷这枚骰子，直至任意一方掷出点数或者6，该游戏结束.若掷出的是，则弟弟获得礼物；若掷出的是6，则哥哥获得礼物.该游戏中弟弟能获得礼物的概率为（

）A． B． C． D．5．已知事件A，B为随机事件，，，若，则（

）A． B． C． D．6．某城市举办了一场科技展览，展览分为上午场、下午场．已知在上午场参观的人群中，每人购买纪念品的概率为；在下午场参观的人群中，每人购买纪念品的概率为．若当天参观展览的人群中，上午场人数占60%，现从当天参观展览的人群中随机抽取一人，发现其购买了纪念品的概率为（

）A． B． C． D．7．已知甲箱中有2个红球和3个黑球，乙箱中有个红球和3个黑球（所有球除颜色外完全相同），某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记“从甲箱中取出的球恰有个红球”为事件，“从乙箱中取出的球是黑球”为事件，则是（

）A．与有关的常量 B．与有关的变量C．与无关的定值，且为 D．与无关的定值，且为二、多选题8．在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1，2，3，4的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭，只有主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率，现在已知甲选择了1号箱，用表示i号箱有奖品，用表示主持人打开j号箱子，下列结论正确的是（

）A．B．C．若，甲无论是否更改选择，他获奖的概率均为D．若，要使获奖概率更大，甲应该改选2号或者4号箱中的任意一个9．有歌唱道：“江西是个好地方，山清水秀好风光．”现有甲、乙、丙、丁4位游客慕名来到江西旅游，准备从庐山、三清山和龙虎山三个著名旅游景点中随机选择一个景点游玩，每个景点至少有一位游客前往．事件表示“游客甲前往庐山游玩”，事件表示“游客乙前往三清山游玩”，则（

）A． B． C． D．事件与不独立三、填空题10．甲、乙、丙三台机床各自独立加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为，则甲、乙丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别为．11．某校高三年级举行米接力赛，共有8条赛道，第③道和第④道是“黄金赛道”.赛制规定：由1到8班按班级序号从小到大依次抽签决定赛道，抽出的签不再放回.在1班未抽到“黄金赛道”的条件下，3班抽到“黄金赛道”的概率是.12．现有两位游客慕名来成都旅游，他们分别从武侯祠、杜甫草堂、宽窄巷子、春熙路、熊猫基地这5个景点中随机选择1个景点游玩，两位游客至少有一