2026年高二数学寒假自学课（人教B版）第05讲 正态分布（3知识点+8大题型）（原卷版）

第05讲正态分布内容导航——预习三步曲第一步：学析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习练题型·强知识：核心题型举一反三精准练【题型01：正态密度函数】【题型02：概率分布曲线的认识】【题型03：标准正态分布的应用】【题型04：特殊区间的概率】【题型05：指定区间的概率】【题型06：根据正态曲线的对称性求参数】【题型07：正态分布与其他分布的结合】【题型08：原则】第二步：记串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握第三步：测过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升知识点1：正态分布的概念①正态曲线：称其中为参数，为正态密度函数，称其图象为正态分布密度曲线(其中μ是正态分布的期望，σ是正态分布的标准差)②正态分布的定义若随机变量X的概率密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为．特别地，当时，称随机变量X服从标准正态分布．知识点2：正态曲线的性质对，它的图象在轴的上方曲线与轴之间的面积为1曲线是单峰的，它关于直线对称曲线在处达到峰值当无限增大时，曲线无限接近x轴当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿x轴平移当一定时，曲线的形状由确定，较小时曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；较大时，曲线“矮胖”，表示随机变量的分布比较分散，知识点3：三个特殊区间内取值的概率值及3σ原则①；；.②原则：尽管正态变量的取值范围是，但在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.0027，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．所以在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量X只取中的值【题型01：正态密度函数】1．已知正态分布密度函数，，则分别是（

）A．0和4 B．0和2 C．0和8 D．0和2．设随机变量，则X的密度函数为（

）A． B．C． D．3．已知某批零件的长度误差服从正态分布，其密度函数的曲线如图所示，则；从中随机取一件，其长度误差落在内的概率约为.(附：若随机变量服从正态分布，则，，)

4．根据正态密度函数的表达式，找出其均值和方差.(1)，；(2)，.5．已知某公司人均月收入X服从正态分布，其密度函数图像如图所示．

(1)写出此公司人均月收入的密度函数的表达式；(2)求此公司人均月收入在8000～8500元之间的人数所占的百分比．【题型02：概率分布曲线的认识】6．正态分布，，（其中，，均大于0）所对应的密度函数图象如下图所示，则下列说法正确的是（

）A．最大，最大 B．最大，最大C．最大，最大 D．最大，最大7．（多选）已知三个正态分布密度函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．8．（多选）某市有甲、乙两个工厂生产同一型号的汽车零件，零件的尺寸分别记为X，Y，已知X，Y均服从正态分布，，其正态曲线如图所示，则下列结论中正确的是（

）

A．甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值B．甲工厂生产零件尺寸的平均值小于乙工厂生产零件尺寸的平均值C．甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性D．甲工厂生产零件尺寸的稳定性低于乙工厂生产零件尺寸的稳定性9．（多选）设，，这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是（

）A．，B．C．，D．10．（多选）已知两种金属元件（分别记为，）的抗拉强度均服从正态分布，且，，这两个正态分布密度曲线如图所示，则下列选项中正确的是（

）（参考数据：若，则，）A．，B．C．D．对于任意的正数，恒有【题型03：标准正态分布的应用】11．产品质量指标，，.(1)求；(2)抽取10件，求至少2件指标在之内的概率（结果保留四位小数）.说明：表示的概率，用来将非标准正态分布化为标准正态分布，即，从而利用标准正态分布表，求时的概率，这里,相应于的值是指总体取值小于的概率，即.参考数据：.12．已知某客运轮渡最大载客质量为，且乘客的体重（单位：）服从正态分布．(1)记为任意两名乘客中体重超过的人数，求的分布列及数学期望（所有结果均精确到0.001）；(2)设随机变量相互独立，且服从正态分布，记，则当时，可认为服从标准正态分布．若保证该轮渡不超载的概率不低于，求最多可运载多少名乘客．附：若随机变量服从正态分布，则；若服从标准正态分布，则；，，．13．2021年某地在全国志愿服务信息系统注册登记志愿者8万多人，2020年7月份以来，共完成1931个志愿服务项目，8900多名志愿者开展志愿服务活动累计超过150万小时，为了了解此地志愿者对志愿服务的认知和参与度，随机调查了500名志愿者每月的志愿服务时长(单位：小时)，并绘制如图所示的频率分布直方图．(1)估计这500名志愿者每月志愿服务时长的样本平均数和样本方差(同一组中的数据用该组数据区间的中间值代表)；(2)由直方图可以认为，目前该地志愿者每月服务时长X服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若，令，则，且．(i)利用直方图得到的正态分布，求；(ii)从该地随机抽取20名志愿者，记Z表示这20名志愿者中每月志愿服务时长超过10小时的人数，求(结果精确到0.001)，以及Z的数学期望(结果精确到0.01)．参考数据：，，，，.若，则，，.14．2020年某地在全国志愿服务信息系统注册登记志愿者8万多人．2019年7月份以来，共完成1931个志愿服务项目，8900多名志愿者开展志愿服务活动累计超过150万小时．为了了解此地志愿者对志愿服务的认知和参与度，随机调查了500名志愿者每月的志愿服务时长（单位：小时），并绘制如图所示的频率分布直方图．（1）求这500名志愿者每月志愿服务时长的样本平均数和样本方差（同一组中的数据用该组区间的中间值代表）；（2）由直方图可以认为，目前该地志愿者每月服务时长服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差．一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若，令，则，且．（ⅰ）利用直方图得到的正态分布，求；（ⅱ）从该地随机抽取20名志愿者，记表示这20名志愿者中每月志愿服务时长超过10小时的人数，求（结果精确到0.001）以及的数学期望．参考数据：，．若，则．【题型04：特殊区间的概率】15．某市高二年级男生的身高X（单位：cm）近似服从正态分布，随机选择一名该市高二年级的男生，则其身高落在区间内的概率约为（

）（附：若随机变量X服从正态分布，则，）A．0.0456 B．0.1359 C．0.2718 D．0.317416．已知随机变量，则（

）参考数据：若随机变量服从正态分布，则，.A．0.9772 B．0.8415 C．0.7786 D．0341517．（多选）已知在某一次学情检测中，学生的数学成绩服从正态分布，其中90分为及格线，120分为优秀线，则下列说法正确的是（

）附：随机变量服从正态分布，则，，A．学生数学成绩的期望为100 B．学生数学成绩的标准差为100C．学生数学成绩及格率不超过0.9 D．学生数学成绩的优秀率约等于0.02318．为丰富学生的课余生活，某地举办了2025年数学文化知识挑战赛，举办方从中随机抽取了100名学生的成绩，并进行统计整理，现将成绩（满分100分）划分为四个分数段：，，，．已知，各分数段人数的频数统计如下表：分数段频数1030mn(1)求m，n的值；(2)按成绩进行分层，采用分层随机抽样的方法从这100人中抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，设抽到的4人中成绩在内的人数为X，求X的分布列与期望；(3)由以往比赛成绩的数据分析可知，学生成绩．已知今年该地共有20000名学生参加比赛，估计成绩在内的学生人数．参考数据：若，则，，．19．在七一“建党节”来临之际，某省教育系统开展以“争知识标兵，做奋斗先锋”为主题的法规知识竞赛活动.为了了解本次竞赛成绩情况，从参与者中随机抽取容量为100的样本数据（满分为100分），均在区间内，将样本数据按的分组作出频率分布直方图如图所示.(1)求的值，并估计抽取的100位参与者得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；(2)若本次活动共有5000人参加，用样本平均值估计总体平均值.假设所有参与者得分，试估计得分在上的人数.参考数据：若，则【题型05：指定区间的概率】20．在一次数学适应性考试中，高三年级某班的数学成绩服从正态分布，且，则的值为（

）A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.421．某校高三学生一次数学考试(满分150分，及格90分)的成绩近似服从正态分布，若该校共有1000名高三学生参加考试，且，则估计该校这次数学考试的及格人数为（

）A．140 B．220 C．280 D．44022．设随机变量服从正态分布.已知部分小概率值和相应的临界值如下表：2.7063.8415.0246.6357.87910.8280.10.050.0250.010.0050.001若实数满足，则（

）A． B．C． D．23．（多选）已知随机变量，若，则（

）A． B． C． D．24．（多选）某地区高三男生的“50米跑”测试成绩(单位：s)服从正态分布，且．从该地区高三男生的“50米跑”测试成绩中随机抽取3个成绩，其中成绩在间的个数记为，则（

）A． B．C． D．25．已知某随机变量X服从正态分布，且，则，【题型06：根据正态曲线的对称性求参数】26．已知随机变量，且，则展开式中各项系数之和为（

）A．32 B．64 C． D．27．已知随机变量，则（

）A．5 B．4 C．6 D．328．已知随机变量，，则的最小值为（

）A． B．5 C．3 D．29．若随机变量，且，则有（

）A．最大值 B．最小值C．最大值 D．最小值30．若随机变量，则．【题型07：正态分布与其他分布的结合】31．某工厂生产一批零件，其直径X满足正态分布（单位：）.(1)现随机抽取15个零件进行检测，认为直径在之内的产品为合格品，若样品中有次品则可以认定生产过程中存在问题.求上述事件发生的概率，并说明这一标准的合理性.（已知：）(2)若在上述检测中发现了问题，另抽取100个零件进一步检测，则这100个零件中的次品数最可能是多少？32．为了切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，某高中学校计划优化课程，增加学生体育锻炼时间，提高体质健康水平．某体质监测中心抽取了该校10名学生进行体质测试，得到如下表格：序号i12345678910成绩/分38414451545658647480记这10名学生体质测试成绩的平均分与方差分别为，经计算.(1)求；(2)规定体质测试成绩低于50分为不合格，从这10名学生中任取3名，记体质测试成绩不合格的人数为X，求X的分布列；(3)经统计，高中生体质测试成绩近似服从正态分布，用的值分别作为的近似值，若监测中心计划从全市抽查100名高中生进行体质测试，记这100名高中生的体质测试成绩恰好落在区间的人数为Y，求Y的数学期望．附：若，则，，.33．某小区在2024年的元旦举办了联欢会，现场来了1000位居民．联欢会临近结束时，物业公司从现场随机抽取了20位幸运居民进入摸奖环节，这20位幸运居民的年龄用随机变量X表示，且．(1)请你估计现场年龄不低于60岁的人数（四舍五入取整数）；(2)奖品分为一等奖和二等奖，已知每个人摸到一等奖的概率为40%，摸到二等奖的概率为60%，每个人摸奖相互独立，设恰好有个人摸到一等奖的概率为，求当取得最大值时的值．附：若，则．34．人勤春来早，实干正当时．某工厂春节后复工复产，为满足市场需求加紧生产，但由于生产设备超负荷运转导致某批产品次品率偏高．已知这批产品的质量指标，当时产品为正品，其余为次品．生产该产品的成本为20元/件，售价为40元/件．若售出次品，则不更换，需按原售价退款并补偿客户10元/件．(1)若某客户买到的10件产品中恰有两件次品，现从中任取三件，求被选中的正品数量的分布列和数学期望：(2)已知P，工厂欲聘请一名临时质检员检测这批产品，质检员工资是按件计费，每件x元．产品检测后，检测为次品便立即销毁，检测为正品方能销售．假设该工厂生产的这批产品都能销售完，工厂对这批产品有两种检测方案，方案一：全部检测；方案二：抽样检测．若要使工厂两种检测方案的盈利均高于不检测时的盈利，求x的取值范围，并从工厂盈利的角度选择恰当的方案．35．冬奥会的成功举办极大鼓舞了人们体育强国的热情，掀起了青少年锻炼身体的热潮．某校为了解全校学生“体能达标”的情况，从高二年级12个班学生中每班随机选出5名学生参加“体能达标”测试，并且规定“体能达标”测试成绩小于60分的为“不合格”，否则为合格．若高二年级“不合格”的人数不超过总人数的5%，则该年级体能达标为“合格”，否则该年级体能达标为“不合格”，需要加强锻炼．(1)已知某班级的5名学生中，甲、乙2位同学体能预测不合格，从这5名学生中抽取2名，记X为抽取的2名学生中体能合格的人数，求随机变量X的分布列(2)为了加强锻炼，甲、乙两位同学计划每天开展跳绳比赛以提高体能，并约定每轮比赛均采用五局三胜制（一方获胜三局则本轮比赛结束）．假设甲同学每局比赛获胜的概率均为，求甲在一轮比赛中至少比了四局并获胜的条件下，前2局比赛均获胜的概率；(3)经过一段时间的体能训练后，该校再次进行了体能检测，高二年级学生体能检测成绩近似服从正态分布．已知，请估计该校高二年级学生该次体能检测是否合格?附：．36．当前新能源汽车已经走进我们的生活，主要部件是电池，一般地电池的生产工艺和过程条件要求较高，一般一块电池充满电后可连续正常工作的时间（小时），若检测到则视为产品合格，否则进行维护，维护费用为4万元/块，近一年来由于受极端天气影响，某汽车制造公司技术部门加急对生产的一大批汽车电池随机抽取10个进行抽样检测，结果发现.(1)求出10个样品中有几个不合格产品；(2)若从10个样品中随机抽取3件，记抽到的不合格产品个数为，求其概率分布与期望；(3)若以样本频率估计总体，从本批次的产品中再抽取200块进行检测，记不合格品的个数为，预计会支出多少维护费万元？【题型08：原则】37．“双碳”再成今年两会热点，低碳行动引领时尚生活，新能源汽车成为人们代步车的首选．某工厂生产的新能源汽车的某一部件质量指标服从正态分布，检验员根据该部件质量指标将产品分为正品和次品，其中指标的部件为正品，其他为次品，要使次品率不高于，则的一个值可以为．（若，则38．一条生产电阻的生产线，生产正常时，生产的电阻阻值（单位:）服从正态分布.(1)生产正常时，从这条生产线生产的电阻中抽取2只，求这两只电阻的阻值在区间和内各一只的概率;（精确到）(2)根据统计学的知识，从服从正态分布的总体中抽取容量为的样本，则这个样本的平均数服从正态分布.某时刻，质检员从生产线上抽取5只电阻，测得阻值分别为：1000，1007，1012，1013，1013（单位：Ω）.你认为这时生产线生产正常吗？说明理由．（参考数据：若，则，，.）39．某商场在五一假期间开展了一项有奖闯关活动，并对每一关根据难度进行赋分，竞猜活动共五关，规定：上一关不通过则不进入下一关，本关第一次未通过有再挑战一次的机会，两次均未通过，则闯关失败，且各关能否通过相互独立，已知甲、乙、丙三人都参加了该项闯关活动.(1)若甲第一关通过的概率为，第二关通过的概率为，求甲可以进入第三关的概率；(2)已知该闯关活动累计得分服从正态分布，且满分为450分，现要根据得分给共2500名参加者中得分前400名发放奖励.①假设该闯关活动平均分数为171分，351分以上共有57人，已知甲的得分为270分，问甲能否获得奖励，请说明理由；②丙得知他的分数为430分，而乙告诉丙：“这次闯关活动平均分数为201分，351分以上共有57人”，请结合统计学知识帮助丙辨别乙所说信息的真伪.附：若随机变量，则；；.40．新高考改革后广西壮族自治区采用“3+1+2”高考模式，“3”指的是语文､数学､外语，这三门科目是必选的；“1”指的是要在物理､历史里选一门；“2”指考生要在生物学､化学､思想政治､地理4门中选择2门.(1)若按照“3+1+2”模式选科，求甲乙两个学生恰有四门学科相同的选法种数；(2)某教育部门为了调查学生语数外三科成绩，现从当地不同层次的学校中抽取高一学生5000名参加语数外的网络测试､满分450分，假设该次网络测试成绩服从正态分布.①估计5000名学生中成绩介于120分到300分之间有多少人；②某校对外宣传“我校200人参与此次网络测试，有10名同学获得430分以上的高分”，请结合统计学知识分析上述宣传语的可信度.附：，，.41．某网络在平台开展了一项有奖闯关活动，并对每一关根据难度进行赋分，竞猜活动共五关，规定：上一关不通过则不进入下一关，本关第一次未通过有再挑战一次的机会，两次均未通过，则闯关失败，且各关能否通过相互独立，已知甲、乙、丙三人都参加了该项活动．(1)若甲第一关通过的概率为，第二关通过的概率为，求甲可以进入第三关的概率；(2)已知该闯关活动累计得分服从正态分布，且满分为分，现要根据得分给共名参加者中得分前名发放奖励，①假设该闯关活动平均分数为分，分以上共有人，已知甲的得分为分，问甲能否获得奖励，请说明理由；②丙得知他的分数为分，而乙告诉丙：“这次闯关活动平均分数为分，分以上共有人”，请结合统计学知识帮助丙辨别乙所说信息的真伪．附：若随机变量，则；；．一、单选题1．已知随机变量，且，则（

）A．0.14 B．0.22 C．0.28 D．0.362．已知两个正态分布和相应的分布密度曲线如图，则（

）A．， B．，C．， D．，3．某汽车制造企业为了解新研发的一款纯电汽车的续航里程（单位：公里）情况，随机抽查得到了5000个样本，根据统计这款新型纯电车的续航里程，若，则该样本中续航里程不小于600公里的纯电汽车大约有（

）A．75辆 B．85辆 C．100辆 D．120辆4．若随机变量服从正态分布，随机变量服从两点分布，且，，则为（

）A． B． C． D．5．已知连续型随机变量服从正态分布，记函数，则的图象（

）.A．关于直线对称 B．关于点成中心对称C．关于点成中心对称 D．关于点成中心对称二、多选题6．若随机变量，则下列选项中正确的是（

）A． B．C． D．7．设，且．若随机变量满足，则（已知若随机变量，则）（）A． B．C． D．8．李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30min，样本方差为36；骑自行车平均用时，样本方差为4.假设坐公交车用时（单位：min）和骑自行车用时（单位：min）都服从正态分布，正态分布中的参数用样本均值估计，参数用样本标准差估计，则（

）A． B．C． D．若某天只有可用，李明应选择坐公交车三、填空题9．某中学高三年级男生的身高（单位：）可近似看作服从正态分布，且，则.10．某校高二学生的一次数学诊断考试成绩（单位：分）服从正态分布，从中抽取一个同学的数学成绩，记该同学的成绩为事件，记该同学的成绩为事件，则在事件发生的条件下事件发生的概率．（结果精确到0.01）附：，，．11．在工业生产中轴承的直径服从，购买者要求直径为，不在这个范围的将被拒绝，要使拒绝的概率控制