2026年高二数学寒假自学课（人教B版）第08讲 等差数列（2知识点+9大题型）（原卷版）

第08讲等差数列内容导航——预习三步曲第一步：学析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习练题型·强知识：核心题型举一反三精准练【题型01：等差数列的判断】【题型02：求等差数列的基本项】【题型03：求等差数列的通项公式】【题型04：等差中项】【题型05：等差数列的证明】【题型06：等差数列的性质】【题型07：对称设元法巧解等差数列】【题型08：等差数列的单调性】【题型09：等差数列的实际应用】第二步：记串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握第三步：测过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升知识点1：等差数列的概念与通项公式1.等差数列的定义一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示.2.等差中项由三个数组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时,A叫做a与b的等差中项.根据等差数列的定义可以知道,.3.等差数列的递推公式及通项公式已知等差数列的首项为,公差为d，则递推公式为，通项公式为知识点2：等差数列的性质与应用1.等差数列通项公式的变形及推广（1） （2）.（3）,且.2.若分别是公差为的等差数列,则有数列结论公差为d的等差数列(c为任一常数)公差为cd的等差数列(c为任一常数)公差为2d的等差数列(k为常数)公差为的等差数列(p,q为常数)3.下标性质在等差数列中,若,则.特别的,若,则有【题型01：等差数列的判断】1．（多选）下列数列是递增的等差数列的是（

）A．B．C．D．数列满足2．若数列为，，，，…，则是这个数列的第项．3．已知数列满足，，则（

）A．3 B．5 C．7 D．94．从1，2，3，…，9这9个数字中任取3个不同的数字，使它们成等差数列，则这样的等差数列共有（

）A．16个 B．24个 C．32个 D．48个5．由公差的等差数列组成一个新的数列，下列说法正确的是（

）A．新数列不是等差数列 B．新数列是公差为d的等差数列C．新数列是公差为2d的等差数列 D．新数列是公差为3d的等差数列【题型02：求等差数列的基本项】6．已知等差数列，，则＝（

）A．0 B．－1 C．－2 D．－37．在等差数列中，则等于（

）A． B．15 C．25 D．8．已知等差数列的公差为，若，则（）A．1 B．2 C．4 D．69．已知等差数列的公差为，已知，且，则（

）A．1 B．2 C．3 D．10．等差数列中，，，则（

）A．35 B．40 C．55 D．5311．在等差数列中，，，则公差的取值范围是.【题型03：求等差数列的通项公式】12．设是等差数列，且，，则的通项公式为（

）A． B． C． D．13．已知数列中，，则，数列的通项公式是.14．已知等差数列的公差为1，，则（

）A． B． C． D．15．已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入3个数，组成一个新的等差数列，则（

）A．B．C． D．16．已知各项均为正数的数列中，，，则（

）A．400 B．600 C．800 D．100017．数列是以1为首项，2为公差的等差数列，则.【题型04：等差中项】18．等差数列中，，则数列的公差为（

）A．1 B．2 C．-2 D．-119．为等差数列，若，下列不是定值的是（

）A． B． C． D．20．已知是方程的两个根，则的等差中项为（

）A．1 B．2 C．4 D．不能确定21．在等差数列中，，则的值为.22．已知数列与均为等差数列，且，，则（

）A．9 B．18 C．16 D．2723．已知数列是公差为2的等差数列，数列，，也为等差数列，且，则．【题型05：等差数列的证明】24．已知数列都是等差数列，公差分别为，数列满足.(1)数列是不是等差数列?若是，证明你的结论；若不是，请说明理由；(2)若，求数列的通项公式.25．已知，若，且（为正整数）.(1)写出数列的前5项；(2)证明是等差数列，并求.26．在数列中，，且．证明：是等差数列.27．已知数列满足，且，证明：是等差数列.28．已知数列，满足，，记.(1)试证明数列为等差数列；(2)求数列的通项公式．29．已知数列{an}满足，，令.(1)证明：数列是等差数列；(2)求数列的通项公式．【题型06：等差数列的性质】30．在等差数列中，，则（

）A．6 B．8 C．10 D．1231．已知等差数列满足，则（

）A． B．3 C． D．632．设数列是等差数列，“”是“”的（

）条件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要33．已知正项等差数列满足，则（

）A．670 B．675 C．2025 D．405034．已知正项等差数列满足，则（

）A．5 B． C． D．35．正项等差数列中，，则的最小值为．36．（多选）记等差数列的公差为，已知，则（

）A． B．C． D．【题型07：对称设元法巧解等差数列】37．在与15之间插入5个数，使这7个数成等差数列，则插入的5个数之和为（

）A．21 B．24 C．27 D．3038．已知五个数成等差数列，这五个数之和为100，其中较大的三个数之和的是较小的两个数之和，则这五个数中最大的数为（

）A． B．20 C． D．39．在7和21中插入3个数，使这5个数成等差数列，则这3个数为．40．成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，这四个数为．41．四个数成递减的等差数列，四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40．求这四个数．【题型08：等差数列的单调性】42．（多选）已知等差数列的公差，则下列说法正确的是（

）A．若，则是单调递减数列 B．若，则是单调递增数列C．是单调递增数列 D．是单调递增数列43．（多选）下面是关于公差的等差数列的四个命题，其中正确的有（

）A．数列是等差数列 B．数列是等差数列C．数列是递增数列 D．数列是递增数列44．设无穷等差数列的前项积为.若，则“有最大值”是“公差”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件45．已知无穷等差数列的各项均为正整数，且，则的最小值是.46．已知等差数列{an}的首项a1＝11，公差，当|an|最小时，n＝．【题型09：等差数列的实际应用】47．《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次有小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这些节气的日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为尺，前九个节气日影长之和为尺，则小满日影长为（

）A．尺 B．尺 C．尺 D．尺48．天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，2022年是壬寅年，请问：在100年后的2122年为（

）A．壬午年 B．辛丑年 C．己亥年 D．戊戌年49．2024年春节前夕，某商城针对顾客举办了一次“购物送春联”的促销活动，活动规则如下：将一天内购物不少于800元的顾客按购物顺序从1开始依次编号，编号能被3除余1，也能被4除余1的顾客可以获得春联1对，否则不能获得春联．若某天符合条件的顾客共有2000人，则恰好获得1对春联的人数为.50．百善孝为先，孝敬父母是中华民族的传统美德.因父母年事已高，大张与小张兄弟俩约定：如果两人在同一天休息就一起回家陪伴父母，并把这一天记为“家庭日”.由于工作的特殊性，大张每工作三天休息一天，小张每周星期一与星期五休息，除此之外，他们没有其它休息日.已知2021年共有365天，2021年1月1日（星期五）是他们约定的首个“家庭日”，则2021年全年他们约定的“家庭日”是星期五的天数为；2021年全年他们约定的“家庭日”共有个.一、单选题1．已知数列满足，设甲：，乙：为等差数列.则甲是乙的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．在等差数列中，，，则（

）A．4 B．5 C．7 D．63．在等差数列中，，，则数列的通项公式为（

）A． B． C． D．4．某公司购置了一台价值为300万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值逐年减少.经验表明，每经过一年其价值就会减少（为正常数）万元.已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的10%，设备将报废.则d的取值范围为（

）A． B． C． D．5．已知做一个木梯需要7根横梁，这7根横梁的长度从上到下成等差数列，现有长为1.8m的一根木杆刚好可以截成最上面的三根横梁，长为2.4m的一根木杆刚好可以截成最下面的三根横梁，那么正中间的一根横梁的长度是（

）A．0.6m B．0.7m C．0.8m D．0.9m6．已知数列满足，，记，则（

）A． B． C． D．二、多选题7．已知等差数列满足且公差，则该数列中一定不为零的项为（

）A． B． C． D．8