2026年高二数学寒假自学课（人教B版）专题09 二项式定理9大题型（解析版）

专题09二项式定理9大题型内容导航串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺举一反三：核心考点能举一反三，能力提升复习提升：真题感知+提升专练，全面突破知识点1：二项式定理.这个公式叫做二项式定理,右边的多项式叫做的二项展开式,其中各项的系数叫做二项式系数,式中的叫做二项展开式的通项,用表示,即通项为展开式的第项:.知识点2：二项展开式形式上的特点（1）项数为；（2）各项的次数和都等于二项式的幂指数,即与的指数的和为.（3）字母按降幂排列,从第一项开始,次数由逐项减小1直到零;字母按升幂排列,从第一项起,次数由零逐项增加1直到.知识点3：二项式系数的性质（1）每一行的两端都是1,其余每个数都等于它“肩上”两个数的和,这实际上反映了组合数的下列性质:.（2）对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即（3）二项式系数先增后减中间项最大当为偶数时,第项的二项式系数最大,最大值为,当为奇数时,第项和项的二项式系数最大,最大值为或.（4）各二项式系数的和：【题型01求二项展开式的特定项】1．若的展开式中的系数比的系数小300，则实数（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】A【详解】由二项式展开式的通项为，令，可得，所以展开式的的系数为，令，可得，所以展开式的的系数为，因为展开式中的系数比的系数小300，可得，即，解得或，又因为，所以.故选：A.2．（甘肃省酒泉市2026届高三上学期期末考试数学试题）二项式的展开式中常数项为.【答案】【详解】二项式的展开式的通项为，令，得，所以常数项为.因此二项式的展开式中常数项为.故答案为：3．在的二项展开式中，的系数为（用数字作答）．【答案】80【详解】展开式的通项为，令，得4，所以的系数为.故答案为：804．在的展开式中，的系数为10，则的值为.【答案】2【详解】二项式的展开式的第项为，令，解得，所以的系数为，解得.故答案为：.5．已知的展开式中，第6项系数与第7项系数之比为3:1．则n的值为．【答案】6【详解】二项式的展开式的第项为：，所以第6项的系数为，第7项的系数．又第6项系数与第7项系数之比为，所以，所以，所以，解得．故答案为：66．已知，若，则的值为.【答案】6【详解】根据二项式定理展开式得：，，，因为，所以，即，因为，所以，即，解得，所以的值为故答案为：【题型02求二项展开式的有理项】7．在二项式的展开式中系数为有理数的项的个数是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【详解】通项公式为，易知当或或或时，即或或或时，可得有理数项，所以有理数的项的个数是4，故选：A8．已知(其中)的展开式中的第7项为7，则展开式中的有理项的系数和为（

）A．43 B． C．27 D．【答案】D【详解】展开式的第7项为，由题意可得，，，解得，，则展开式的通项为，，令，则，所以展开式中的有理项的系数和为.故选：D.9．二项式的展开式中，把展开式中的项重新排列，则有理项互不相邻的排法种数为（

）A．种 B．种 C．种 D．种【答案】D【详解】二项式的展开式的通项公式为：，令，得，所以展开式中的有理项有项，把展开式中的项重新排列，先把项无理项全排列，再把项有理项插入形成的个空中，所以有理项互不相邻的排法种数为种.故选：D.10．在的展开式中，系数为整数的项数是（

）A．9 B．4 C．3 D．2【答案】C【详解】根据题意有：，因为，所以，所以系数为整数的项为：1，4，7，故有3项故选：C.11．二项式的展开式中，共有有理项是项【答案】1012【详解】二项式的展开式，，展开式中有理项即为为整数，为偶数，又，则符合条件的有1012个，所以共有有理项1012项.故答案为：101212．已知在的展开式中，第项的二项式系数与第项的二项式系数的比是.(1)求；(2)求展开式中所有的有理项.【答案】(1)(2)、、【分析】【详解】（1）依题意有，即，整理可得，解得或（不合题意，舍去），所以的值为.（2）展开式通项为，由题意得，则，所以第项、第项与第项为有理项，它们分别为，，.【题型03求三项展开式的指定项】13．的展开式中的系数为（

）A．30 B． C．60 D．【答案】D【详解】展开式的通项为，则含的项为，其中的展开式的通项为，令，得，所以展开式中的系数为.故选：D.14．的展开式中的常数项为（

）A．120 B．88 C．24 D．18【答案】B【详解】因为，要想得到常数项，则有两种可能性：（1）5个括号都取常数项，则得到的常数项为；（2）2个括号取常数项，2个括号取，1个括号取，则得到的常数项为.根据多项式乘多项式的规则可知展开式的常数项为.故选：B15．的展开式中的系数为，的展开式中的系数为，则（

）A． B．75 C．135 D．165【答案】D【详解】展开式的通项，则，的展开式中的项为，则，所以.故选：D16．的展开式中常数项为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题设，，对于，有，且为正整数，令，则，故或或，所以常数项为.故选：A17．的展开式中，的系数为.（用数值作答）【答案】【详解】由于表示5个因式的乘积，故其中有2个因式取，2个因式取，剩余的一个因式取，可得含的项，故展开式中含的项为，其系数为.故答案为：．18．展开式中各项系数的和为64，则展开式中的常数项为．【答案】4【详解】由题意，取，可得，解得，则即，其展开式中的常数项可由两种形式的项构成：①3个括号全部选常数项1，可得这样的常数项为1；②2个括号选的项且1个括号选的项，可得这样的常数项为.综上可得，展开式中的常数项为.故答案为：4.【题型04求多个二项式积的展开式的特定项】19．的展开式中，含的项的系数是（

）A．35 B．5 C． D．【答案】C【详解】，其中含有的项分别是和，这两项系数之和为，故选：C.20．的展开式中，项的系数的相反数为（

）A． B． C．15 D．5【答案】D【详解】二项展开式的通项为，要得到项，有两类方法：第一类：当中取项时，则需展开式中的项与之相乘，由得，，即，则系数为；第二类：当中取项时，则需展开式中的项与之相乘，由得，，即，则项的系数为；综上可知，展开式中的系数为.所以项的系数的相反数为.故选：D.21．（多选）已知的展开式中，的系数记为，则（

）A．该展开式共有15项B．C．D．的最大值为【答案】BCD【详解】对于A，展开式中共有4项，展开式中共有6项，故展开式共有24项，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，，故C正确；当，或时，的值最大，为，故D正确.故选：BCD.22．的展开式中的系数为【答案】【详解】因为，由二项展开式通项公式可得，令解得，此时，令解得，此时，所以的展开式中的系数为，故答案为：23．若展开式中的系数为，则.【答案】【详解】由题意可得，，展开式的通项公式为，所以含的项的系数为，则，即，解得.故答案为：.24．若的展开式中常数项为，则实数的值是．【答案】【详解】因的通项公式为，若得到常数项，有两种情况：①当取时，令，解得，因为的展开式的常数项为，则，解得；②当取时，令，解得（舍）.综上可得．故答案为：【题型05求二项式系数和、各项（奇偶项）系数和】25．若二项式的展开式中二项式系数和为64，那么该展开式中的常数项为（

）A．12 B．15 C．20 D．30【答案】C【详解】的展开式中二项式系数和为，，，设为常数项，则，故，解得，则.故选：C.26．若，则（

）A． B．1 C． D．【答案】C【详解】，令，则，令，则，．故选：C．27．（多选）下列关于的说法，正确的是（

）A．展开式的各二项式系数之和是1024 B．展开式各项系数之和是1024C．展开式的第5项的系数为252 D．展开式的的系数为45【答案】AD【详解】A，的展开式的各二项式系数之和是，A正确；B，令，得的展开式的各项系数之和为0，B错误；C，的展开式通项公式为且，所以第5项的系数为，C错误；D，令，则展开式的的系数为，D正确.故选：AD28．（多选）已知则（

）A．B．C．D．【答案】BC【详解】对A：因为，故A错误；对B：令，得，故B正确；对C：令得①，令得②.①

②得：；①②得.所以，故C正确；对D：设，则.再令得，故D错误.故选：BC29．（多选）在以下结论中正确的是（

）A．B．C．D．已知，则【答案】BCD【详解】对于A，，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，，故C正确；对于D，令，则，令，则，两式相加可得，两式相减，再令得，则，则，故D正确.故选：BCD.30．若展开式中各项系数之和为64，则该展开式中含的项的系数为．【答案】27【详解】令，则展开式中各项系数之和为，由题意得，解得.的通项为，令，解得.代入通项得该项系数为.故答案为：27.31．已知，则，．【答案】116【分析】【详解】由题意令，可得，令，则，令，得，令，得，所以．故答案为：1；16．【题型06（二项式）系数的最值】32．已知的二项展开式中只有第3项的二项式系数最大，则展开式中的所有项的系数和为（

）A．81 B．64 C．27 D．16【答案】A【详解】因为展开式中只有第3项的二项式系数最大，即最大，故，令，得展开式中的所有项的系数和.故选：A33．已知的展开式中x的系数为19，求的展开式中x²的系数的最小值为（

）A．81 B．C．10 D．9【答案】A【详解】的展开式通项为，则展开式中x的系数为，即展开式中的系数为，且，根据二次函数的知识知，当或10时，上式有最小值，所以当，或时，项的系数取得最小值81.故选：A.34．在的二项展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中的系数为．（用数字作答）【答案】【详解】由于的展开式只有第4项的二项式系数最大，则展开式中共有7项，故，所以的展开式通项为，,令，解得，所以展开式中的系数为.故答案为：.35．已知，若，，则（

）A．4 B．5 C．4或5 D．5或6【答案】A【详解】由题意可知：，且，可得，其中，且，根据组合数的性质可知当，即时，取到最大值，若，所以.故选：A.36．已知的展开式的二项式系数和为64．(1)求展开式中含的项的系数；（结果用数字作答）(2)求展开式中系数绝对值最大的项．【答案】(1)60(2)【分析】【详解】（1）由题意可知，解得，展开式的通项为，，，令，解得，故展开式中含的项的系数为；（2）可得系数的绝对值为，，．设第项系数绝对值最大，则．即解得，又，．得，所以系数绝对值最大的项为．（第二问可以写出后四项比较系数绝对值大小）37．在的展开式中.(1)求二项式系数最大的项；(2)求系数最大的项.【答案】(1)(2)，【分析】【详解】（1）由题意，二项展开式共9项，故第5项二项式系数最大，又展开式通项为，所以（2）设第项系数最大，则，所以，解得，故系数最大的项是第3项和第4项，.【题型07整除和余数问题】38．若，则被整除的余数为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】令，得，令，得，两式相减得，所以．因为能被8整除，被8整除的余数为3，所以被8整除的余数为3，故选：C．39．下列能整除的数是（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【详解】，能被8整除.故选：D.40．若的展开式中，各项的二项式系数之和为128，系数和为，则除于13的余数是（

）A．0 B．3 C．10 D．11【答案】C【详解】由二项式系数和，得代入，得，解得：计算除以：先把写成，则根据二项式定理得：除了这项外，其余项都含有因数能被整除所以除以余数和除以余数相同除以商余，所以除以余数是故选：C.41．今天是星期二，则天后是星期．【答案】三【详解】因为,前10个数除以7都能除尽，最后的那个数1即是余数，故天后是星期三.故答案为：三42．设为正整数，和均为整数，若和被除后余数相同，则称和模同余，记为．已知，，则正整数的最小值是．【答案】5【详解】由于，所以，所以,所以.由于，所以，因为.所以被除后余数为，由，则正整数的最小值为.故答案为：.【题型08近似计算问题】43．的小数点后第三位数字为（）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，因此，的小数点后第三位数字为.故选：A.44．的第一位小数为，第二位小数为，第三位小数为，则分别为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】，故分别为.故选：A.45．用二项式定理估算.（精确到0.001）【答案】1.105【详解】.故答案为：1.10546．求的近似值，使误差小于0.001．【答案】0.988【详解】．∵，且第3项以后的项的绝对值都远小于0.001，∴从第3项起，以后的项都可以忽略不计，∴．【题型09杨辉三角】47．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中，记载了如图所示的数表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，已知第行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的前35项和为（

）A．996 B．995 C．1014 D．1024【答案】B【详解】杨辉三角第行有个数，且数字之和为，去除两端的1后，第行剩余个数.第2行去掉1后无数字，第3行去掉1后剩余1个数字，第4行去掉1后剩余2个数字，，第行去掉1后剩余个数字；那么，当时，，即前9行去掉1后有28个数.所以此数列的前35项应包含第10行前7个数字.杨辉三角前行和为，前9行和为，而前9行中两端的1共有（第1行1个，后面8行各2个）.第10行数字为1，9，36，84，126，126，84，36，9，1，去除首尾的1后为9，36，84，126，126，84，36，9，前7个数字和为.所以此数列的前35项和为.故选：B.48．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论错误的是（

）第0行

1第1行

1

1第2行

1

2

1第3行

1

3

3

1第4行

1

4

6

4

1第5行

1

5

10

10

5

1第6行

1

6

15

20

15

6

1第7行

1

7

21

35

35

21

7

1第8行

1

8

28

56

70

56

28

8

1

……A．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于第9行的第8个数B．第2023行中第1012个数和第1013个数相等C．记“杨辉三角”第n行的第i个数为，则D．第34行中第15个数与第16个数之比为【答案】D【详解】A选项，第6行的第7个数为1，第7行的第7个数为7，第8行的第7个数为28，它们之和等于36，第9行的第8个数是，A正确；B选项，第2023行是二项式的展开式的系数，故第2023行中第1012个数为，第1013个数为，又，B正确；C选项，“杨辉三角”第n行是二项式的展开式的系数，所以，，C正确；D选项，第34行是二项式的展开式的系数，所以第15个数与第16个数之比为，D错误．故选：D．49．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，用代表第行，第个数，，例如，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（

）A．B．在第行中，最大C．D．【答案】C【详解】对于选项A，，故A错误；对于选项B，第100行中第50个数是，又，故B错误；对于选项C，第2025行中第1013个数和第1014个数分别为和，因，故，故C正确；对于选项D，因为，则，故D错误；故选：C.50．（多选）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究，则下列结论正确的是（

）．

A．B．第2024行的第1012个和第1013个数字最大C．第6行、第7行、第8行的第7个数字之和等于第9行的第7个数字D．第34行从左到右第14个数与第15个数之比为2∶3【答案】AD【详解】对于A，，，故A正确；对于B，由图可知，第n行有个数字，若n是奇数，则第个和第个数字最大，且这两个数字一样大；若n是偶数，则第个数字最大，故第2024行的第1013个数字最大，故B错误；对于C，第6行、第7行、第8行的第7个数字分别为1，7，28，其和为36，第9行第7个数字是84，故C错误；对于D，依题意，第34行第14个数字是，第34行第15个数字是，所以，故D正确．故选：AD.51．如图所示，在杨辉三角中，斜线上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：，，，，，，，记这个数列前项和为，则．【答案】【详解】解：由“杨辉三角”性质，得：．故答案为：799一、单选题1．在的展开式中，含的项的二项式系数为（

）A．6 B．16 C．24 D．216【答案】A【详解】由题可知：的项的二项式系数为，故选：A．2．若，则（

）A．8 B． C．2 D．42【答案】B【详解】二项式展开式的通项公式为，因此展开式含的项为，所以.故选：B3．若的展开式中二项式系数之和为32，则展开式中各项系数和为（

）A．16 B． C．32 D．【答案】D【详解】因为的展开式的二项式系数和为32，即，解得，令可得的展开式中各项系数和为.故选：D.4．若，则（

）A．180 B． C．360 D．【答案】A【详解】，故通项公式为，令得，故，故.故选：A5．若，则（

）A． B． C． D．540【答案】B【详解】表示个因数的乘积.而为展开式中的系数，设这个因数中分别取、、这三项分别取个，所以，若要得到含的项，则由计数原理知的取值情况如下表：个个个050131212由上表可知.故选：B.6．已知且，则的展开式中含项的系数是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】展开式中含的项是，的展开式中含的项的系数为，，.故选：D.二、多选题7．在的展开式中，下列说法正确的是（

）A．二项式系数最大的项是第4项B．所有项的系数之和为1C．含的项的系数为D．常数项为【答案】BC【详解】对于A，由，则其展开式共有项，中间为第项，所以二项式系数最大的项为第项，故A错误；对于B，令，则，所以所有项的系数之和为，故B正确；对于CD，由，则其展开式的通项，令，解得，则含的项的系数为，故C正确；令，该方程无整数解，则展开式中无常数项，故D错误.故选：BC.8．已知，则（

）A． B．C． D．【答案】CD【详解】令，得，A错误．令，得①，B错误．令，得②，由①-②得，C正确．令，得，则，D正确．故选：CD三、填空题9．的展开式中的系数为（用数字作答）．【答案】【详解】因为，其中展开式的通项为（且），所以的展开式中含