(2025年)电路课后题答案详解邱关源

(2025年)电路课后题答案详解邱关源例1-1电路如图1-1所示（假设图中包含12V电压源、2A电流源、3Ω和6Ω电阻，以及压控电流源g=0.5S，控制电压为3Ω电阻电压u1），求6Ω电阻的电流i。解：本题含独立源和受控源，采用叠加定理分析。叠加定理适用于线性电路，需分别计算各独立源单独作用时的响应，再代数叠加。注意：受控源在各分电路中保留，其控制量为对应分电路中的值。（1）12V电压源单独作用时（2A电流源置零，即开路）：此时电路简化为12V电压源串联3Ω电阻，并联受控源支路（6Ω电阻与受控源串联）。设此时6Ω电阻电流为i'，方向与原i一致。3Ω电阻电压u1'=12V-3Ω×i1'（i1'为3Ω电阻电流）。但由于电流源开路，3Ω电阻与受控源支路串联，故i1'=i'（KCL）。压控电流源电流为g×u1'=0.5×u1'，其方向与i'相同（假设受控源符号为箭头指向6Ω电阻）。对右侧回路列KVL：12V=3Ω×i'+6Ω×i'+电压降（受控源支路）。但受控源为电流源，其端电压由外电路决定，需换用节点法。选公共节点为参考点，上节点电压为u，则：u/3Ω+(u-0)/(6Ω)=0.5×u1'（KCL）。而u1'=u（因3Ω电阻两端电压即节点电压u），代入得：u/3+u/6=0.5u→(2u+u)/6=0.5u→3u/6=0.5u→0.5u=0.5u，恒成立，说明需结合12V电压源支路。12V电压源支路电流为(12V-u)/3Ω（从电压源正极流出），根据KCL，该电流应等于节点电流总和：(12-u)/3=u/3+u/6-0.5u（此处可能需重新整理，更简单的方法是设i'为6Ω电阻电流，则受控源电流为0.5u1'=0.5×(3Ω×i1')，而i1'=(12V-3Ω×i1')/3Ω？不，正确的路径是：12V电压源串联3Ω电阻，其电流为i1'，则u1'=3Ω×i1'。受控源电流为0.5×u1'=1.5i1'。6Ω电阻电流i'=i1'-1.5i1'=-0.5i1'（KCL：i1'=i'+1.5i1'→i'=-0.5i1'）。对3Ω电阻和6Ω电阻列KVL：12V=3Ω×i1'+6Ω×i'=3i1'+6×(-0.5i1')=3i1'-3i1'=0，矛盾，说明假设方向有误。调整受控源电流方向与i'相反，则i1'=i'+(-0.5u1')=i'-0.5×3i1'→i1'+1.5i1'=i'→2.5i1'=i'→i1'=0.4i'。KVL：12=3i1'+6i'=3×0.4i'+6i'=1.2i'+6i'=7.2i'→i'=12/7.2≈1.6667A。（2）2A电流源单独作用时（12V电压源置零，即短路）：此时3Ω电阻被短路（电压源短路），u1''=0（因3Ω电阻两端电压为0），故受控源电流g×u1''=0，相当于开路。电路简化为2A电流源并联6Ω电阻，因此6Ω电阻电流i''=2A×(0Ω)/(0Ω+6Ω)？不，2A电流源并联6Ω电阻，且3Ω电阻被短路（电压源短路后，3Ω电阻两端直接接参考点，故电流全部流经短路导线，u1''=0）。此时6Ω电阻与短路导线并联，端电压为0，故i''=0？这显然错误，正确分析：电压源短路后，3Ω电阻两端与地等电位，因此u1''=0，受控源电流为0（开路）。2A电流源流出的电流分为两路：一路经短路导线（3Ω电阻被短路，视为0Ω），另一路经6Ω电阻。根据并联分流，0Ω支路电流为2A（全部电流），6Ω电阻电流i''=0。（3）叠加结果：i=i'+i''≈1.6667A+0=1.6667A≈5/3A。例2-3电路如图2-3所示（含10V电压源、5A电流源、2Ω和4Ω电阻，以及流控电压源r=3Ω，控制电流为2Ω电阻电流i2），求ab端的戴维南等效电路。解：戴维南等效电路由开路电压Uoc和等效电阻Req组成。（1）求开路电压Uoc（ab端开路时的电压）：ab开路时，4Ω电阻无电流（i=0），电路中仅存在10V电压源、5A电流源和2Ω电阻支路。设2Ω电阻电流为i2，方向从左到右。根据KCL，5A电流源流出的电流分为两路：i2（经2Ω电阻）和i_ab（ab开路时i_ab=0），故i2=5A（因5A电流源电流全部流经2Ω电阻）。流控电压源电压为r×i2=3×5=15V，方向与i2关联（假设控制电流i2从左到右，则电压源正极在右）。对左侧回路列KVL：10V=2Ω×i2+流控电压源电压+Uoc（注意方向）。需明确各元件极性：10V电压源正极在上，2Ω电阻电压降为2×5=10V（左正右负），流控电压源正极在右（因i2从左到右，r×i2为右正左负），ab开路时Uoc为a点相对于b点的电压（假设b为参考点）。则KVL方程应为：从10V正极出发，经2Ω电阻（电压降10V），再经流控电压源（电压升15V），到达a点，故10V=10V（降）-15V（升）+Uoc→10=-5+Uoc→Uoc=15V。（2）求等效电阻Req（独立源置零后的输入电阻）：将10V电压源短路，5A电流源开路，保留受控源。在ab端外加电压源Us，设流入电流为Is，求Req=Us/Is。此时，2Ω电阻电流i2'由外加电路决定。由于5A电流源开路，i2'=Is（电流从a端流入，经流控电压源、2Ω电阻到短路的10V电压源，再流回b端）。流控电压源电压为r×i2'=3Is，方向与Is关联（假设i2'从左到右，流控电压源正极在右）。对回路列KVL：Us=流控电压源电压+2Ω×i2'=3Is+2Is=5Is→Req=Us/Is=5Ω。因此，戴维南等效电路为15V电压源串联5Ω电阻。例3-5图3-5所示电路中，t=0时开关S由1掷向2，此前电路已稳定。已知C=0.5F，R1=2Ω，R2=4Ω，Us1=6V，Us2=12V，求t≥0时的电容电压uC(t)和电阻R2的电流i2(t)。解：此为一阶RC电路的全响应问题，采用三要素法求解。三要素法公式为：f(t)=f(∞)+[f(0+)-f(∞)]e^(-t/τ)，其中τ=RC为时间常数。（1）确定初始值uC(0+)：t<0时开关在1，电路稳定，电容相当于开路，uC(0-)=Us1=6V（因R1无电流，电容电压等于Us1）。根据换路定则，uC(0+)=uC(0-)=6V。（2）确定稳态值uC(∞)：t→∞时，开关在2，电路再次稳定，电容开路，uC(∞)=Us2×(R1)/(R1+R2)？不，此时Us2通过R1和R2对电容充电，稳定后电容电压等于R2两端电压（因电容开路，电流为0，R1无电压降，uC(∞)=Us2？需仔细分析：开关掷向2后，Us2串联R1和R2，电容与R2并联。稳定时，电容电流为0，R1和R2电流为0（因电容开路），故R1无电压降，Us2全部加在R2和电容两端，因此uC(∞)=Us2=12V。（3）确定时间常数τ：换路后，电容两端的等效电阻Req为从电容看进去的除源电阻（独立源置零）。Us2短路，Req=R1∥R2=2×4/(2+4)=8/6=4/3Ω。τ=Req×C=(4/3)×0.5=2/3s。因此，uC(t)=uC(∞)+[uC(0+)-uC(∞)]e^(-t/τ)=12+(6-12)e^(-3t/2)=12-6e^(-1.5t)V（t≥0）。求i2(t)：i2(t)为R2的电流，等于电容电流ic(t)（因电容与R2并联）。ic(t)=C×duC/dt=0.5×d/dt[12-6e^(-1.5t)]=0.5×[0-6×(-1.5)e^(-1.5t)]=0.5×9e^(-1.5t)=4.5e^(-1.5t)A。也可通过欧姆定律结合KVL求解：R2两端电压为uC(t)，故i2(t)=uC(t)/R2=[12-6e^(-1.5t)]/4=3-1.5e^(-1.5t)A。但此处出现矛盾，需检查：当电容充电时，电容电流ic(t)是从正极板流出，而R2的电流i2(t)是从Us2正极经R1、R2到电容正极，因此i2(t)应等于R1的电流i1(t)，而i1(t)=(Us2-uC(t))/R1=(12-(12-6e^(-1.5t)))/2=(6e^(-1.5t))/2=3e^(-1.5t)A。同时，根据KCL，i1(t)=i2(t)+ic(t)，即3e^(-1.5t)=i2(t)+4.5e^(-1.5t)→i2(t)=-1.5e^(-1.5t)A，这与之前的欧姆定律结果符号相反，说明方向假设错误。正确方向：假设i2(t)从b流向a（即与uC(t)关联方向），则uC(t)=R2×i2(t)→i2(t)=uC(t)/R2=3-1.5e^(-1.5t)A（此时i2(t)为从a到b的电流）。而ic(t)=C×duC/dt=4.5e^(-1.5t)A（从电容正极流出到R2），因此i1(t)=ic(t)+i2(t)=4.5e^(-1.5t)+(3-1.5e^(-1.5t))=3+3e^(-1.5t)A，这与KVL方程(Us2-uC(t))/R1=(12-(12-6e^(-1.5t)))/2=3e^(-1.5t)A矛盾，说明稳态值计算错误。重新计算稳态值：t→∞时，电容充电完毕，电流为0，因此R1和R2中无电流，Us2的电压全部加在电容两端，故uC(∞)=Us2=12V，正确。此时i2(∞)=uC(∞)/R2=12/4=3A，符合欧姆定律。初始时刻t=0+，uC(0+)=6V，i2(0+)=6/4=1.5A。根据三要素法，i2(t)=i2(∞)+[i2(0+)-i2(∞)]e^(-t/τ)=3+(1.5-3)e^(-1.5t)=3-1.5e^(-1.5t)A，与欧姆定律结果一致。之前的KCL错误在于ic(t)的方向，ic(t)应为电容充电电流，即从Us2正极经R1、电容到负极，因此ic(t)=i1(t)-i2(t)，而i1(t)=(Us2-uC(t))/R1=(12-(12-6e^(-1.5t)))/2=3e^(-1.5t)A，故ic(t)=3e^(-1.5t)-(3-1.5e^(-1.5t))=4.5e^(-1.5t)-3A，这与C×duC/dt=0.5×9e^(-1.5t)=4.5e^(-1.5t)A不符，说明方向假设需统一。正确的做法是：以uC(t)的正极性为上正下负，则ic(t)=C×duC/dt（流入正极板为正），此时i1(t)从Us2正极流出，经R1到节点a，分为ic(t)（流入电容正极）和i2(t)（经R2到负极），故i1(t)=ic(t)+i2(t)。i1(t)=(Us2-uC(t))/R1=(12-uC(t))/2，i2(t)=uC(t)/4，ic(t)=C×duC/dt=0.5×duC/dt。代入KCL得：(12-uC)/2=0.5×duC/dt+uC/4→两边乘4：24-2uC=2duC/dt+uC→2duC/dt+3uC=24→标准一阶微分方程，解为uC(t)=8+(6-8)e^(-3t/2)=8-2e^(-1.5t)？这与之前的稳态值12V矛盾，说明稳态值计算错误。错误根源：当开关掷向2后，电路应为Us2串联R1，并联（R2与C串联）。此时，正确的稳态分析是：电容开路，R2中无电流，因此Us2的电压全部加在R1和电容两端？不，开关掷向2后，Us2的正极接R1一端，R1另一端接节点a，节点a连接R2和电容的一端，R2和电容的另一端接Us2的负极。因此，稳态时电容开路，R2中无电流，节点a的电位等于Us2的正极电位（因R1无电流，电压降为0），故uC(∞)=Us2=12V，正确。之前的微分方程建立错误，正确的回路应为Us2→R1→节点a→R2→Us2负极，同时节点a→电容→Us2负极。因此，uC(t)=uR2(t)（并联），iC(t)=C×duC/dt，iR1(t)=iC(t)+iR2(t)，而iR1(t)=(Us2-uC(t))/R1。因此：(Us2-uC)/R1=C×duC/dt+uC/R2→代入数值：(12-uC)/2=0.5×duC/dt+uC/4→整理得：6-0.5uC=0.5duC/dt+0.25uC→0.5duC/dt+0.75uC=6→duC/dt+1.5uC=12→特征方程s+1.5=0→s=-1.5，齐次解为Ae^(-1.5t)，特解uC(∞)=12/1.5=8V？这明显矛盾，说明稳态值计算错误。正确的稳态分析：当t→∞时，电容电流为0，因此iR1(t)=iR2(t)（因iC=0），此时uC(∞)=uR2(∞)=R2×iR2(∞)，而iR2(∞)=iR1(∞)=(Us2-uR2(∞))/R1。代入得：uR2(∞)=R2×(Us2-uR2(∞))/R1→uR2(∞)×(R1+R2)/R1=Us2×R2/R1→uR2(∞)=Us2×R2/(R1+R2)=12×4/(2+4)=8V。因此，uC(∞)=8V，之前的稳态值错误，正确稳态值应为8V。重新计算三要素：uC(0+)=6V，uC(∞)=8V，τ=Req×C，其中Req为从电容看进去的等效电阻，即R1∥R2=2×4/(2+4)=4/3Ω，τ=4/3×0.5=2/3s。因此，uC(t)=8+(6-8)e^(-3t/2)=8-2e^(-1.5t)V（t≥0）。i2(t)=uC(t)/R2=(8-2e^(-1.5t))/4=2-0.5e^(-1.5t)A。验证微分方程：duC/dt=3e^(-1.5t)，代入方程duC/dt+1.5uC=3e^(-1.5t)+1.5×(8-2e^(-1.5t))=3e^(-1.5t)+12-3e^(-1.5t)=12，与方程右边12一致，正确。例4-7正弦稳态电路如图4-7所示，已知us(t)=100√2sin(1000t+30°)V，R=50Ω，L=0.1H，C=10μF，求：（1）各支路电流i(t)、iL(t)、iC(t)；（2）电路的有功功率P、无功功率Q、视在功率S及功率因数λ。解：采用相量法分析，角频率ω=1000rad/s。（1）求各支路电流相量：首先计算各元件阻抗：感抗XL=ωL=1000×0.1=100Ω，容抗XC=1/(ωC)=1/(1000×10×10^-6)=100Ω。并联部分（L与C并联）的阻抗ZLC=(jXL)(-jXC)/(jXL-jXC)=(j100)(-j100)/(j100-j100)=(10000)/(j0)→无穷大（并联谐振，因XL=XC，发生并联谐振，阻抗为纯电阻且极大）。但实际计算中，若L和C并联，阻抗ZLC=1/(jωC+1/(jωL))=1/(j(ωC-1/(ωL)))=-j/(ωC-1/(ωL))。本题中ωC=1000×10×10^-6=0.01S，1/(ωL)=1/(1000×0.1)=0.01S，故ωC-1/(ωL)=0，ZLC→∞（并联谐振），因此并联部分相当于开路，总电流i(t)等于R支路的电流。R支路阻抗ZR=R=50Ω，电压相量Us=100∠30°V（有效值相量），故i(t)的相量I=Us/ZR=100∠30°/50=2∠30°A，瞬时值i(t)=2√2sin(1000t+30°)A。由于并联谐振，L和C的电流大小相等、方向相反，总电流为0。iL(t)的相量IL=Us/(jXL)=100∠30°/(j100)=1∠-60°A（有效值），瞬时值iL(t)=√2sin(1000t-60°)A。iC(t)的相量IC=Us/(-jXC)=100∠30°/(-j100)=1∠120°A（有效值），瞬时值iC(t)=√2sin(1000t+120°)A。验证：IL+IC=1∠-60°+1∠120°=(0.5-j√3/2)+(-0.5+j√3/2)=0，符合并联谐振时支路电流抵消的特点。（2）计算功率：有功