高等数学课程课件第11章-11.6 傅里叶级数

上的积分不等于0.且有但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在注同理可证:简单的周期运动:(谐波函数)(A为振幅,复杂的周期运动:令得函数项级数

为角频率,为初相)(谐波迭加)称上述形式的级数为三角级数.11.6.2f(x)的傅里叶级数设f(x)是周期为2

的周期函数,设右端级数可逐项积分,①对①两边在上积分,

且能展开成即三角级数.则

得(利用正交性)类似地,用sinkx

乘①式两边,再逐项积分可得叶系数为系数的三角级数①的傅里叶系数;由公式②确定的①②以的傅里叶的傅里叶级数

.称为函数

？称为定理11.6.1(收敛定理,展开定理)设

f(x)是周期为2

的周期函数,并满足狄利克雷(Dirichlet)条件:(1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;(2)在一个周期内只有有限个极值点.则f(x)的傅里叶级数收敛,且有

x

为间断点其中(证明略

)为f(x)

的傅里叶系数

.

x

为连续点注意:函数展成傅里叶级数的条件比展成幂级数的条件低得多.例1设

f(x)是周期为2

的周期函数,上的表达式为将f(x)展开成傅里叶级数.解

在级数收敛于

级数收敛于f(x).时,时,周期延拓傅里叶展开上的傅里叶级数定义在[–

,]上的函数f(x)的傅氏级数展开法其它例2

将函数则解展开成傅里叶级数.为周期的函数F(x),将f(x)延拓成以2

由x=0时,注f(0)=0,得11.6.3正弦级数和余弦级数1

周期为2

的偶函数f(x),它的傅里叶系数为正弦级数,它的傅里叶系数为对周期为2

的奇函数f(x),其傅里叶级数为周期为2

的奇、偶函数的傅里叶级数其傅里叶级数为余弦级数,例3

设的表达式为f(x)

x,将f(x)展成傅里叶级数.f(x)是周期为2

的周期函数,在上解周期为2

的奇函数,因此若不计n＝1根据收敛定理可得f(x)的正弦级数:级数的部分和逼近f(x)的情况见右图.n＝2n＝3n＝4n＝52定义在[0,]上的函数展成正弦级数与余弦级数周期延拓F(x)f(x)在[0,]上展开成周期延拓F(x)余弦级数奇延拓偶延拓正弦级数f(x)在[0,]上展开成例4

将函数分别展开成正弦级数和余弦级数.解去掉端点,将f(x)作奇延拓.先求正弦级数.注在端点x=0,

,与函数因此f(x)=x+1的函数值不同.级数的和为0,再求余弦级数.将则有作偶延拓,注即令

x=0

可得狄利克雷(Dirichlet)条件:(1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点(2)在一个周期内只有有限个极值点设f(x)是周期为2l

的周期函数,则它的傅里叶级数展开式为其中定理11.6.211.6.4一般周期函数的傅里叶级数且满足收敛定理条件,连续点处收敛于f(x),间断点处收敛于注其中如果

f(x)

为偶函数,其中如果

f(x)为奇函数,则则连续点处收敛于f(x),间断点处收敛于例5

在上的表达式为:解将展开成傅里叶级数.是周期为的周期函数,例6

将如图所示的函数展开成正弦级数.解将奇延拓奇延拓后在上连续内容小结1.周期为2

的函数的傅里叶级数及收敛定理其中注

若为间断点,则级数收敛于点连续2.周期为2

的奇、偶函数的傅里叶级数

奇函数正弦级数

偶函数余弦级数3.在[0,]上函数的傅里叶展开法

作奇延拓,展开为正弦级数

作偶延拓,展开为余弦级数为正弦级数.4.周期为2l的函数的傅里叶级数展开公式其中当f(x)为奇函数时,(偶)(余弦)

,处收敛于1则它的傅里叶级数在在处收敛于

.提示:设周期函数在一个周期内的表达式为思考与练习2

写出函数傅氏级数的和函数.答案:3

在[0,]上的函数的傅里叶展开式唯一吗?答不唯一,延拓方式不同级数就不同.傅里叶(1768–1830)法国数学家.他的著作《热的解析理论》(1822)是数学史上一部经典性书中系统的运用了三角级数和三角积分,他的学生将它们命名为傅里叶级数和傅里叶积分.

最卓越的工具.以后以傅里叶著作为基础发展起来的文献,他深信数学是解决实际问题傅里叶分析对近代数学以及物理和工程技术的发展都产生了深远的影响.狄利克雷(1805–1859)德国数学家.对数论,数学分析和数学物理有突出的贡献,是解析数论他是最早提倡严格化方法的数学家.函数f