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文档简介

思考与练习1

讨论二重极限解法1时,下列算法是否正确?此法第一步排除了沿坐标轴趋于原点的情况,此时极限为1.第二步未考虑分母变化的所有情况,分析:如原式分析:解法2此法排除了沿曲线趋于原点的情况.令时,如2

求极限解:原式原式∴不存在提示:故f

在(0,0)连续;当在点(0,0)处连续且偏导数存在,但不可微.3证明:时,由而所以f

在点(0,0)不可微!4

已知求出的表达式.解法1

令即解法2

以下与解法1相同.则且二、多元函数微分法显式结构隐式结构1分析复合结构(画变量关系图)自变量个数=变量总个数–方程总个数自变量与因变量由所求对象判定2正确使用求导法则注意正确使用求导符号3利用全微分形式不变性例1设求解：或：还有其它方法吗？2009例2设f

具有二阶连续偏导数,求解：或先求①②2009练习设具有二阶连续偏导数，求答案：例3

设其中f与F分别具解法1有一阶导数或偏导数,

求(1999考研)方程两边对x

求导,得解法2方程两边求微分,得化简消去即可得有连续的一阶偏导数,及分别由下两式确定求又函数(2001考研）例4设解:解得因此

两个方程两边对x

求导,得例5

设有二阶连续偏导数,且求解:三、多元函数微分法的应用1

在几何中的应用求曲线的切线及法平面(关键:抓住切向量)

求曲面的切平面及法线2极值与最值问题

极值的必要条件与充分条件

求条件极值的方法(代入法,拉格朗日乘数法)

求解最值问题(关键:抓住法向量)

交线在点(1,1,2)处的切线与法平面方程.例1

求球面与抛物面分析：关键是求出切向量法一方程两边x对求导得解得在点(1,1,2)处球面与抛物面在点(1,1,2)法向量分别为从而法二从而的例2求函数的极值.2009解：令得唯一驻点又且∴函数f在取得极小值例2求旋转抛物面与平面之间的最短距离.解:为抛物面上任一点,则P

的距离为问题归结为约束条件:目标函数:作拉氏函数到平面设令解此方程组得唯一驻点由实际意义最小值存在,故上求一点,使该点处的法线垂直于练习题：1

在曲面并写出该法线方程.提示:则法线方程为利用得平面法线垂直于平面点在曲面上设所求点为2

设均可微,且在约束条件

(x,y)0下的一个极值点,已知(x0,y0)是f(x,y)下列选项正确的是()提示:

设(

)代入(

)得D(2006考研)3

在第一卦限内作椭球面的切平面使与三坐标面围成的四面体体积最小,并求此体积.提示:

设切点为用拉格朗日乘数法可求出则切平面为所指四面体体积V最小等价于

f(

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