2025~2026学年江苏省扬州市江都区第二中学九年级上学期12月月考数学试卷

2025~2026学年江苏省扬州市江都区第二中学九年级上学期12月月考数学试卷一、单选题1.下列事件是必然事件的是（）

A．车辆随机到达一个路口遇到红灯B．投掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上C．任意画一个三角形其内角和是D．早上的太阳从西方升起2.在献爱心活动中，五名同学捐款数分别是，，，，（单元：元），后来每人追加了元．追加后的5个数据与之前的5个数据相比，不变的是（）

A．平均数B．众数C．中位数D．方差3.一元二次方程配方后可化为（）

A．B．C．D．4.如图，在平行四边形中，为边的中点，交于点，若的面积为，则的面积为（）．

A．B．C．D．5.如图，在中，为直径，，为圆上的点，若，则的大小为（）

A．B．C．D．6.如图，圆锥的底面圆半径，高，则圆锥的侧面积是（）

A．B．C．D．7.如图，在中，是直径，且，点D是上一点，点C是的中点，于点E，过点D的切线交的延长线于点G，连接，分别交、于点P、Q，连接．关于下列结论：①；②；③点P是的外心；④点P是的内心；⑤若，则．正确的有（）

A．①②③B．②③④C．②③⑤D．②③④⑤8.如图，正方形和的边长分别是2和5，将正方形绕点C旋转，在旋转过程中，的面积S的取值范围是（）

A．B．C．D．二、填空题9.黄金分割是大自然的基本规律，比如植物叶片按照黄金分割的规律进行排列．如图，点B是的黄金分割点（），若的长度为，那么的长度是________．10.一个不透明的布袋里装有4个只有颜色不同的球，其中3个红球，1个白球．从中任意摸出1个球是红球的概率为________．11.已知a和b是方程的两个解，则的值为________．12.函数中，自变量的取值范围是_______．13.若＝＝，则＝_______．14.已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为_____．15.如图，半径为4的扇形OAB中，∠O＝60°，C为半径OA上一点，过C作CD⊥OB于点D，以CD为边向右作等边△CDE，当点E落在上时，CD＝_____．16.如图，的周长是，点O是的内心，过点O作，与分别交于点E、F，已知，则的周长为___________．17.如图，半圆的直径为4，将半圆绕点顺时针旋转得到半圆，与交于点，则图中阴影部分的面积为___________．18.如图，在平面直角坐标系中，以为圆心作，使其经过原点O，与x轴交于点B，并与y轴交于点A．点E是圆弧上一点，连接，点F为的中点．当点E沿着圆弧从点A顺时针运动到点B时，点F的运动路径长是______．三、解答题19.用合适的方法解下列方程：(1)；(2)．20.中国人在餐桌上的礼仪文化源远流长，曾因孔子的称赞推崇而成为历朝历代表现大国之貌、礼仪之邦、文明之所的重要方面．某天，张教授宴请自己的5位学生（分别用、、、、表示），如图，根据中国的餐桌礼仪文化，入座时张教授应坐在餐桌上座的位置，五位学生在其余五个座位（分别用①、②、③、④、⑤表示）随机入座．已知学生第一个到，他从五个座位中随机选择一个座位入座，学生第二个到，他在剩下的四个座位中随机选择一个座位入座．(1)学生坐在②号座位的概率为_______；(2)请用列表法或画树状图的方法，求学生和学生入座后相邻的概率．21.某校举办“十佳歌手”演唱比赛，五位评委进行现场打分．将甲、乙、丙三位选手得分数据整理成下列统计图．根据以上信息，回答下列问题：(1)完成表格；

平均数/分中位数/分方差/分甲______乙9______丙______8(2)从三位选手中选一位参加市级比赛，你认为选谁更合适，请说明理由；(3)在演唱比赛中，往往在所有评委给出的分数中，去掉一个最高分和一个最低分，然后计算余下分数的平均分．如果去掉一个最高分和一个最低分之后甲的方差记为，则______．（填“”或“”或“”）22.如图，在▱ABCD中，BC=2AB，点E、F分别是BC、AD的中点，AE、BF交于点O，连接EF，OC．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若AB=4，∠ABC=60°，求OC的长．23.如图，在中，，以为直径的交于点，，垂足为．(1)求证：是的切线．(2)若，，求的长和图中阴影部分的面积．24.如图1，某公园一个圆形喷水池，在喷水池中心处竖直安装一根高度为的水管，处是喷头，喷出水流沿形状相同的曲线向各个方向落下，喷出水流的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图2所示的平面直角坐标系，测得水流的最高处距离喷水池中心的水平距离为，最大竖直高度为．(1)①请直接写出水流的最高处的坐标_________；②求喷出水流的竖直高度与距离水池中心的水平距离之间的关系式（不要求写出自变量的取值范围）；(2)安装师傅调试时发现，喷头竖直上下移动时，抛物线形水流随之竖直上下移动，即其形状和对称轴保持不变，若水流离喷水池中心的最远水平距离不超过，水流最大竖直高度大于，直接写出喷头高度的取值范围．25.文明交通从“头”做起，幸“盔”有你．某商店购进了一批某品牌头盔，该品牌头盔每个的成本为30元，经市场调研发现，当每个头盔的售价为40元时，月销售量为300个，在此基础上，每个头盔的售价每上涨1元，则月销售量减少10个．若既要销售此品牌头盔的月利润刚好达到3840元，又要尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个的售价应上涨多少元？26.【习题再现】

（教材P74第10题）如图①，I是的内心，的延长线交的外接圆于点．和相等吗？为什么？

（不需解答，请看下面的问题）【逆向思考】(1)如图（1），为内一点，的延长线交的外接圆于点．若，求证：为的内心；【拓展提高】(2)如图（2），的半径长为5，弦，动点在优弧上（不与、重合），是的内心．①点到上某点的距离始终不变，请用无刻度的直尺找出该点；②的最大值为______．27.综合与实践九年级机器人社团围绕“跳跃机器人”开展主题学习活动．现有甲，乙两款跳跃机器人，他们起跳后的运动路线均可看作抛物线．甲，乙分别从水平地面起跳，甲的运动路线的最高点距离地面，起跳点与落地点之间的距离为；乙的运动路线的最高点距离地面，起跳点与落地点之间的距离为．【数学建模】如图1，甲的起跳点为，落地点为，将甲的运动路线抽象为抛物线，其顶点为；乙的起跳点也为，落地点为，将乙的运动路线抽象为抛物线，其顶点为，两机器人的运动路线在同一竖直平面内．以为原点，所在直线为轴，过点与所在水平地面垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系．（1）求抛物线的函数表达式；【问题解决】（2）如图2，水平地面上有个障碍物，其纵切面为矩形，，点在边左侧，甲，乙分别从点处起跳．机器人越过障碍物时，与障碍物表面的点在竖直方向上的距离不少于2cm才能安全通过．（障碍物的纵切面与两机器人的运动路线在同一竖直平面内）①若，甲款机器人___________安全越过该障碍物；（横线上填“能”或“不能”）；②若要使甲，乙两款机器人都能安全跃过该障碍物，设，则