§4 事件的独立性

§4

事件的独立性明确目标发展素养1.结合有限样本空间，了解两个随机事件独立性的含义．2.结合古典概型，利用独立性计算概率.1.通过学习两个随机事件独立性的含义，培养数学抽象素养．2.通过利用随机事件的独立性计算概率，培养数学运算素养.(一)教材梳理填空1．相互独立事件的定义事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率

，这样的两个事件叫作相互独立事件．2．相互独立事件概率的计算公式两个相互独立事件同时发生的概率，等于这两个事件发生的概率的积，即P(AB)＝

．没有影响P(A)P(B)[微思考](1)事件A与B相互独立可以推广到n个事件的一般情形吗？提示：对于n个事件A1，A2，…，An，如果其中任何一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响，则称事件A1，A2，…，An相互独立．(2)公式P(AB)＝P(A)P(B)可以推广到一般情形吗？提示：公式P(AB)＝P(A)P(B)可以推广到一般情形：如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．(二)基本知能小试1．判断正误(1)必然事件和不可能事件与任何一个事件相互独立．

(

)(2)若三个事件A，B，C两两独立，则P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)．

(

)(3)若两个事件互斥，则这两个事件相互独立．

(

)√√×2．坛子里放有3个白球和2个黑球，从中不放回地摸球，用A1表示第1次摸得白球，A2表示第2次摸得白球，则A1与A2是

(

)A．互斥事件 B．相互独立事件C．对立事件

D．不相互独立事件答案：D题型一相互独立事件的判断

【学透用活】[典例1]

判断下列各对事件是不是相互独立事件．(1)甲组有3名男生，2名女生；乙组有2名男生，3名女生．现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”．(2)一筐内有6个苹果和3个梨，“从中任意取出1个，取出的是苹果”与“把取出的水果放回筐内，再从筐内任意取出1个，取出的是梨”．(3)一个布袋里有大小完全相同的3个白球和2个红球，“从中任意取1个球是白球”与“取出的球不放回，再从中任意取1个球是红球”．(4)掷一枚骰子一次，事件A：“出现偶数点”；事件B：“出现3点或6点”．[解]

(1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以二者是相互独立事件．(2)由于把取出的水果又放回筐内，故“从中任意取出1个，取出的是苹果”这一事件是否发生对“再从筐内任意取出1个，取出的是梨”这一事件发生的概率没有影响，所以二者是相互独立事件．(3)不放回地取球，前者的发生影响后者发生的概率，所以二者不是相互独立事件．[方法技巧]判断两个事件是否相互独立的方法(1)定性法：直观地判断一个事件的发生对另一个事件的发生是否有影响，若没有影响就是相互独立事件．(2)定量法：通过计算P(AB)＝

P(A)P(B)是否成立可以准确判断两个事件是否相互独立．

【对点练清】袋内有3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，用A表示“第一次摸到白球”，如果“第二次摸到白球”记为B，否则记为C，那么事件A与B，A与C的关系是

(

)A．A与B，A与C均相互独立B．A

与B相互独立，A与C互斥C．A与B，A与C均互斥D．A与B互斥，A与C相互独立解析：由于摸球过程是有放回的，所以第一次摸球的结果对第二次摸球的结果没有影响，故事件A与B，A与C均相互独立，且A与B，A与C均有可能同时发生，说明A与B，A与C均不互斥，故选A.答案：A

题型二事件相互独立的应用

【学透用活】[典例2]红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A，B，C进行围棋比赛，甲对A、乙对B、丙对C各一盘．已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立，求红队至少两名队员获胜的概率．[方法技巧]用相互独立事件的乘法公式解题的步骤(1)用恰当的字母表示题中有关事件.(2)根据题设条件，分析事件间的关系.(3)将需要计算概率的事件表示为所设事件的乘积或若干个事件的乘积之和(相互乘积的事件之间必须满足相互独立)；(4)利用乘法公式计算概率．

【对点练清】1．[变设问]在本例条件不变下，求三人均未被选中的概率．【课堂思维激活】一、综合性——强调融会贯通1．为了解某市今年初二年级男生的身体素质状况，从该市初二年级男生中抽取了一部分学生进行“掷实心球”的项目测试．经统计，成绩均在2米到12米之间，把获得的所有数据分成[2,4)，[4,6)，[6,8)，[8,10)，[10,12]五组，得到频率分布直方图如图所示．(1)如果有4名学生的成绩在10米到12米之间，求参加“掷实心球”项目测试的人数．(2)若测试数据与成绩之间的关系如下表：根据此次测试成绩的结果，试估计从该市初二年级男生中任意选取一人，“掷实心球”成绩为优秀的概率．测试数据/米(0,6)[6,8)[8,12)成绩不合格及格优秀(3)在(2)的条件下，从该市初二年级男生中任意选取两人，假定两人的成绩是否优秀互不影响，求两人中恰有一人“掷实心球”成绩为优秀的概率．(1)求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率；(2)求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元的概率．[析题建模]由题意得，不需要交补考费通过考试的含义是前两次考试中至少有一次通过，产生的补考费用之和为200元的含义是两个人中只有一人补考一次．根据互斥事件的概率加法公式以及相互独立事件同时发生的概率公式计算即可．三、创新性——强调创新意识和创新思维3．如图所示，用A，B，C，D四种不同的元件分别连接成两个系统M，N.当元件A，B都正常工作，或元件C正常工作，或元件D正常工作时，系统M正常工作；当元件A，B都正常工作，或元件B，D都正常工作，或元件C正常工作时，系统N正常工作．已知A，B，C，D四种元件正常工作的概率分别为0.5,0.9,0.7，0.8，且各元件是否正常工作是彼此独立的．试从能否正常工作的角度判断两个系统中哪一个的连接方式更为合理．解：由题意知，元件A正常工作的概率P1＝0.5，元件B正常工作的概率P2＝0.9，元件C正常工作的概率P3＝0.7，元件D正常工作的概率P4＝0.8，则系统M正常工作的概率为1－(1－P1P2)(1－P3)(1－P4)＝1－(1－0.5×0.9)×(1－0.7)×(1－