4. 1 样本的数字特征

§4用样本估计总体的数字特征4.1样本的数字特征明确目标发展素养1.能用样本估计总体的集中趋势参数(平均数、中位数、众数)．2.理解集中趋势参数的统计含义．3.能用样本估计总体的离散程度参数(极差、方差、标准差)．4.理解离散程度参数的统计含义．能用样本估计总体的取值规律.1.通过理解数字特征的意义，增强数学抽象素养．2.通过样本的数字特征的应用，培养数学运算、数据分析和数学建模素养.(一)教材梳理填空(1)平均数：是指一组数据的平均值．(2)中位数：将一组数据按

的顺序排列后，“

”的那个数据为这组数据的中位数，它使数据被分成的两部分的数据量是

的．(3)众数：是指一组数据中出现次数

的数据．(4)极差：是数据中最大值和最小值的

，它计算简单，但没有充分利用其他数据．从小到大中间一样最多差(二)基本知能小试1．判断正误(1)一组数据中的平均数和中位数都不一定是原数据中的数．

(

)(2)若改变一组数据中其中的一个数，则这组数据的平均数、中位数、众数都会发生改变．

(

)(3)若一组数据的值大小相等，没有波动变化，则标准差为0. (

)(4)标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数周围越集中；标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数周围越分散．

(

)√×√×2．七位评委为某跳水运动员打出的分数如下：84,79,86,87,84,93,84.则这组分数的中位数和众数分别是

(

)A．84,85

B．84,84C．85,84 D．85,85答案：B3．为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量(单位：kg)分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是

(

)A．x1，x2，…，xn的平均数

B．x1，x2，…，xn的标准差C．x1，x2，…，xn的最大值

D．x1，x2，…，xn的中位数答案：B答案：A5．已知一组数据7.5,8.0,8.4,7.8,8.3，那么这组数据的平均数为________．答案：8.0题型一众数、中位数、平均数的计算

【学透用活】[典例1]

(1)一组样本数据为19,23,12,14,14,17,10,12,18,14,27，则这组数据的众数和中位数分别为

(

)A．14,14

B．12,14C．14,15.5 D．12,15.5(2)已知10名工人生产同一零件，生产的件数分别是16,18,15,11,16,18,18,17,15,13，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有(

)A．a＞b＞cB．a＞c＞b

C．c＞a＞b D．c＞b＞a[方法技巧]平均数、众数、中位数的计算方法平均数一般是根据公式来计算的；计算众数、中位数时，可先将这组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，再根据各自的定义计算．提醒：如果样本平均数远大于样本中位数，说明数据中存在较大的极端值．

【对点练清】1．某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，95分的有1人，90分的有2人，85分的有4人，80分和75分的各1人，则该学习小组成绩的平均数、众数、中位数分别是

(

)A．85分，85分，85分 B．87分，85分，86分C．87分，85分，85分

D．87分，85分，90分2．某校在一次学生演讲比赛中，共有7个评委，学生最后得分为去掉一个最高分和一个最低分的平均分．某学生所得分数为9.6,9.4,9.6,9.7,9.7,9.5,9.6，这组数据的众数是________，该学生最后得分为________．题型二方差和标准差的计算

【学透用活】[典例2]甲、乙两机床同时加工直径为100cm的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据如下：甲：99

100

98

100

100

103乙：99

100

102

99

100

100(1)分别计算两组数据的平均数及方差；(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定．[方法技巧]标准差、方差的意义(1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小．标准差的大小不会超过极差．(2)标准差、方差的取值范围：[0，＋∞)．标准差、方差为0时，样本各数据相等，说明数据没有波动幅度，数据没有离散性．

2．抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为________．运动员第1次第2次第3次第4次第5次甲8791908993乙8990918892题型三数据的数字特征的综合应用

[探究发现](1)对一组数据进行统计分析，应该从哪几个方面进行？提示：用平均数反映数据的平均水平，用众数反映数据的最大集中点，用中位数反映数据的集中趋势和一般水平，用标准差或方差反映数据的离散程度．(2)对比两组数据时，要从哪几个方面进行？提示：从众数、中位数、平均数和方差等几个方面．

【学透用活】[典例3]在一次科技知识竞赛中，两组学生的成绩如下表：请根据你所学过的统计知识，进一步判断这两个组在这次竞赛中的成绩谁优谁劣，并说明理由．分数5060708090100人数甲组251013146乙组441621212(3)甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80分．其中，甲组成绩在80分以上(包括80分)的有33人，乙组成绩在80分以上(包括80分)的有26人．从这一角度看，甲组的成绩较好．(4)从成绩统计表看，甲组成绩大于或等于90分的有20人，乙组成绩大于或等于90分的有24人，所以乙组成绩集中在高分段的人数多．同时，乙组得满分的人数比甲组得满分的人数多6人．从这一角度看，乙组的成绩较好．[方法技巧]数据分析的要点(1)要正确处理此类问题，首先要抓住问题中的关键词语，全方位地进行必要的计算、分析，而不能习惯性地仅从样本方差的大小去决定哪一组的成绩好，像这样的实际问题还得从实际的角度去分析．(2)在进行数据分析时，不同的标准没有对和错的问题，也不存在唯一解的问题，而是根据需要来选择“好”的决策，至于决策的好坏，是根据提出的标准而定的．

【对点练清】某校拟派一名跳高运动员参加一项校际比赛，对甲、乙两名跳高运动员进行了8次选拔比赛，他们的成绩(单位：m)如下：甲：1.70,1.65,1.68,1.69,1.72,1.73,1.68,1.67.乙：1.60,1.73,1.72,1.61,1.62,1.71,1.70,1.75.经预测，跳高1.65m就很可能获得冠军．该校为了获取冠军，可能选哪位选手参赛？若预测跳高1.70m方可获得冠军呢？显然，甲的平均成绩高于乙的平均成绩，而且甲的方差小于乙的方差，说明甲的成绩比乙稳定．由于甲的平均成绩高于乙，且成绩稳定，所以若跳高1.65m就很可能获得冠军，应派甲参赛．在这8次选拔赛中乙有5次成绩在1.70m以上，虽然乙的平均成绩不如甲，成绩的稳定性也不如甲，但成绩突破1.70m的可能性大于甲，所以若跳高1.70m方可获得冠军，应派乙参赛.【课堂思维激活】一、综合性——强调融会贯通1．甲、乙两种冬小麦试验品种连续5年的平均单位面积产量如下(单位：t/km2)：若某村要从中引进一种冬小麦大量种植，给出你的建议．

第1年第2年第3年第4年第5年甲9.89.910.11010.2乙9.410.310.89.79.8分析以上解答是否正确，若不正确，请指出错误之处，并给出正确解题过程．提示：解答错误，原因是只比较了两种冬小麦的平均产量而忽略了冬小麦产量稳定性的讨论．二、应用性——强调学以致用2．某校高一(1)(2)班各有49名学生，两班学生在一次数学测试(满分100分)中的成绩(单位：分)统计如下表：(1)请你对下面的一段话给予简要分析：高一(1)班的小刚回家对妈妈说：“昨天的数学测试中，全班的平均分为79分，得70分的人最多，我得了85分，在班里算是上游了．”(2)请你根据表中的数据分析两班的测试情况，并提出教学建议．班级平均分众数中位数标准差高一(1)班79708719.8高一(2)班7970795.2解：(1)由高一(1)班成绩的中位数是87分可知，85分排在25名以后，从名次上讲并不能说85分在班里是上游，但也不能从这次