1. 2 集合的基本关系

1.2集合的基本关系明确目标发展素养1.理解集合之间的包含与相等的含义．能识别给定集合的子集．2.在具体情境中，了解空集的含义．3.对相似概念及符号的理解．4.能使用Venn图表示集合间的基本关系.1.通过对集合之间包含与相等的含义以及子集、真子集概念的理解，培养数学抽象素养．2.借助子集和真子集的求解，培养数学运算素养．3.借助集合间关系的判断，培养逻辑推理素养.(一)教材梳理填空1．子集2.集合相等对于两个集合A与B，如果集合A是

的子集，且集合B也是

的子集，那么称集合A与集合B相等，记作

.可用Venn图表示．即对于两个集合A与B，若A⊆B，且B⊆A，则

.3．真子集对于两个集合A与B，如果

，且

，那么称集合A是集合B的真子集，记作A⫋B(或B⫌A)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”)．可用Venn图表示．集合B集合AA＝BA＝BA⊆BA≠B[微思考]

(1)任意两个集合之间是否有包含关系？提示：不一定，如集合A＝{1,3}，B＝{2,3}这两个集合就没有包含关系．(2)符号“∈”与“⊆”有什么区别？提示：“∈”是表示元素与集合之间的关系，“⊆”是表示集合与集合之间的关系．(二)基本知能小试1．判断正误(1)实数中“≤”类似于集合中“⊆”．

(

)(2)若a∈A，集合A⊆B，则必有a∈B. (

)(3)若A⊇B，则集合A中必定存在元素不在集合B中．

(

)√√×2．已知集合M＝{1}，N＝{1,2,3}，能够准确表示集合M与N之间关系的是(

)A．M＜N

B．M∈NC．N⊆M D．M⊆N答案：D3．设a∈R，若集合{2,9}＝{1－a,9}，则a＝______.答案：－1题型一集合间关系的判断

【学透用活】(1)在子集的定义中，集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，不能理解为集合A是集合B的部分元素所组成的集合，因为集合A中也可以不含任何元素；若A＝B，则集合A中含有集合B中的所有元素，但此时也可以说集合A是集合B的子集．(2)理解真子集概念时，需明确：A⫋B，首先要满足A⊆B，其次要满足至少有一个元素x∈B且x∉A.(3)注意符号“⊆”与“⫋”的区别：A⊆B⇒A＝B或A⫋B，若A⊆B和A

⫋B同时成立，则A⫋B更能准确表达集合A，B之间的关系．[典例1]

指出下列各组集合之间的关系：①A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；②A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；③M＝{x|x＝2n－1，n∈N＋}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N＋}．[解]

①集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．②等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A⊆B.③法一：两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N＋，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故N⊆M.法二：由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7，9，…}，所以N⊆M.[方法技巧]判断集合间关系的常用方法

【对点练清】1．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{1,2}，C＝{x|x＜8，x∈N}，用适当的符号填空：(1)A________B；(2)A________C；(3){2}________C；(4)2________C.解析：集合A为方程x2－3x＋2＝0的解集，即A＝{1,2}，而C＝{x|x＜8，x∈N}＝{0,1,2,3,4,5,6,7}．故(1)A＝B；(2)A⊆C；(3){2}⊆C；(4)2∈C.答案：(1)＝(2)⊆

(3)⊆

(4)∈2.右图反映的是“文学作品”“散文”“小说”“叙事散文”这四个文学概念之间的关系，请在下面的空格上填入适当的内容：A为________；B为________；C为________；D为__________．解析：由Venn图可知A⊆B，C⊆D⊆B，A与D之间无包含关系，A与C之间无包含关系，由“文学作品”“散文”“小说”“叙事散文”四个文学概念之间的关系，可得A为{小说}，B为{文学作品}，C为{叙事散文}，D为{散文}．答案：{小说}

{文学作品}

{叙事散文}

{散文}题型二确定集合的子集、真子集

[探究发现]填写下表，回答后面的问题：(1)你能找出“元素个数”与“子集个数”之间关系的规律吗？(2)如果一个集合中有n个元素，你能写出计算它的所有子集和真子集数目的公式吗(用含n的式子表达)?集合元素个数所有子集子集个数{a}1

{a，b}2

{a，b，c}3

{a，b，c，d}4

提示：填表(1)“元素个数”与“子集个数”之间的关系是：设该集合的元素有n个，则该集合的子集个数为2n.(2)子集个数为2n，真子集个数为2n－1集合元素个数所有子集子集个数{a}1∅，{a}2{a，b}2∅，{a}，{b}，{a，b}4{a，b，c}3∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}8{a，b，c，d}4∅，{a}，{b}，{c}，{d}，{a，b}，{a，c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}，{a，b，c}，{a，c，d}，{a，b，d}，{b，c，d}，{a，b，c，d}16【学透用活】与子集、真子集个数有关的4个结论假设集合A中含有n个元素，则有(1)A的子集的个数为2n；(2)A的非空子集的个数为2n－1；(3)A的真子集的个数为2n－1；(4)A的非空真子集的个数为2n－2.[典例2]已知集合M满足{1,2}⊆M⊆{1,2,3,4,5}，则所有满足条件的集合M的个数是

(

)A．6

B．7C．8 D．9[解析]由题意可以确定集合M必含有元素1,2，且至少含有元素3,4,5中的一个，因此依据集合M的元素个数分类如下．含有3个元素：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}．含有4个元素：{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2，4,5}．含有5个元素：{1,2,3,4,5}．故满足条件的集合M：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}．[答案]

B[方法技巧]求集合子集、真子集个数的3个步骤【对点练清】1．[变条件]将本例中集合{1,2}变为集合A＝{x|x2＋3x＋3＝0}，集合{1,2,3,4,5}变为集合B＝{x|x2－5x＋6＝0}，则满足条件的集合M的个数为

(

)A．1

B．2C．3 D．4解析：对于方程x2＋3x＋3＝0，∵Δ＝9－12＝－3＜0，∴该方程无实数根，即A＝∅.由方程x2－5x＋6＝0，解得x1＝2，x2＝3.∴B＝{2,3}．由题意，得∅⊆M⊆{2,3}．∴满足条件的集合M为{2}，{3}，{2,3}，共3个，故选C.答案：C

2．集合{y|y＝－x2＋6，x，y∈N}的真子集的个数是

(

)A．9 B．8C．7 D．6解析：当x＝0时，y＝6；当x＝1时，y＝5；当x＝2时，y＝2；当x＝3，y＝－3.所以{y|y＝－x2＋6，x，y∈N}＝{2,5,6}，共3个元素，故其真子集的个数为23－1＝7.答案：C

题型三由集合间的关系求参数

[探究发现](1)设集合A＝{1,2}，若B⊆A，则集合B可能是什么？提示：∅，{1}，{2}，{1,2}．(2)设集合A＝{x|ax＋1＝0}，B＝{x|ax2＋x＋1＝0}，C＝{x|a＋1<x<2a}，那么集合A，B，C可能是空集吗？若可能是空集，实数a的值或取值范围分别是什么？(3)集合A＝{x|1<x<b}中一定含有元素吗？当A中含有元素时，试用数轴表示其所包含的元素．提示：不一定．当b≤1时，A＝∅，其不含有任何元素．当b>1时，集合A中的元素用数轴表示如图所示．【学透用活】[典例3]

已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝(1，m)，且B⊆A，则实数m的取值范围是________．[解析]

由于B⊆A，结合数轴分析可知，m≤4，又m＞1，所以1＜m≤4.[答案]

(1,4][方法技巧]已知集合间的关系求参数问题的解题策略(1)若已知集合是有限集，求解时，一般根据对应关系直接列方程．(2)若已知集合是无限集，求解时，通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误．一般含“＝”用实心圆点表示，不含“＝”用空心圆圈表示．(3)此类问题还要注意是否存在空集的情况，因为空集是任何集合的子集．

【对点练清】1．[变条件]本例若将集合A，B分别改为A＝{－1,3,2m－1}，B＝{3，m2}，其他条件不变，则实数m＝________.解析：因为B⊆A，所以m2＝2m－1，即(m－1)2＝0，所以m＝1，当m＝1时，A＝{－1,3,1}，B＝{3,1}．满足B⊆A.故实数m的值为1.答案：12．[变条件]本例若将“B＝(1，m)”改为“B＝{x|2m－1＜x＜m＋1}”，其他条件不变，则实数m的取值范围又是什么？方程x2－(a－1)x＝0(a∈R)的解为x1＝0，x2＝a－1，所以F＝{0，a－1}，所以E⊆F.分析以上解题过程，判断其是否正确．若不正确，请给出正确的解题过程．下面对方程x2－(a－1)x＝0的根的情况进行讨论．①若a＝1，Δ＝0，方程有两个相等的实根x1＝x2＝0，此