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第三章山东交通学院高等数学教研室第一节微分中值定理一、罗尔(Rolle)定理二、拉格朗日(Lagrange)中值定理

*三、柯西(Cauchy)中值定理

一、罗尔(Rolle)定理如果函数满足:(1)在区间[a,b]上连续(2)在区间(a,b)内可导(3)

f(a)=f(b)使那么在(a,b)内至少存在一点注:定理条件不全具备,成立.例如,结论不一定(1)(2)导数为零的点称为驻点.不可导例1验证罗尔定理对上的正确性。

在上连续，所以满足罗尔定理，解：在内可导，在且因此存在使得得即例2

已知在[0,1]上连续,分析:且结论在(0,1)内至少存在一点,使得证明:设则由Rolle定理,求证:在(0,1)内可导,

方程在(0,1)内有根函数在(0,1)内有零点在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且又在(0,1)内至少存在一点,使得即二、拉格朗日中值定理(1)在闭区间[a,b]上连续如果函数满足:(2)在开区间(a,b)内可导那么至少存在一点使得设显然,在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且容易验证证明:由罗尔定理知至少存在一点拉氏即使得如函数则在

上在

内可导,即注:(1)若f(a)=

f(b),Lagrange定理即为Rolle定理(2)Lagrange定理的几何意义:上除端点外处处具有不垂直于有一点C的切线平行于弦AB.x轴的切线,若连续曲线y

=

f(x)的弧则弧上至少连续,推论:若函数在区间I

上满足则在

I上必为常数.例3

证明等式证明:由推论可知

(常数)而又设例4设证明：证明:设则在满足拉格朗日中值定理的条件，因此即又所以亦即内容小结1.微分中值定理的条件、结论及关系罗尔定理拉格朗日中值定理*柯西中值定理2.微分中值定理的应用(1)证明含

的恒等式(Rolle)(2)证明不等式(Lagrange)(3)讨论方程的根（Rolle）关键:

利用逆向思维设辅助函数费马引理思考与练习1

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