2025-2026学年北京市石景山区高三（上期）期末考试数学试卷（含答案）

第1页/共1页2026北京石景山高三（上）期末数学考试时长：120分钟总分：150分第一部分选择题（共10小题，每小题4分，共40分）在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.已知集合，，则（）(A) (B) (C) (D)2.已知复数满足，则（）(A) (B) (C) (D)3.已知向量，，则（）(A)1 (B)1 (C)3 (D)34.设，则“”是“”的（）(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件5.设，，，则（）(A) (B) (C) (D)6.将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则（）(A)在上单调递增(B)在上单调递减(C)在上单调递增(D)在上单调递减7.某种细胞的分裂速度（单位:个/秒）与其年龄（单位:岁）的关系可以用分段函数表示（题干函数缺失，按常规题型推测），若细胞在不同年龄段分裂速度相等，则实数约为（参考数据:）（）(A)6.403 (B)6.463 (C)6.503 (D)6.5238.设抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，则以为直径的圆（）(A)必过原点 (B)必与x轴相切 (C)必与y轴相切 (D)必与抛物线的准线相切9.若数列满足，且，，则（）(A) (B) (C) (D)10.已知是平面直角坐标系中的点集，设是中的点与点的距离，是表示的图形的面积，则（）(A) (B) (C) (D)第二部分非选择题（共110分）二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11.双曲线的焦距是______，渐近线方程是______12.已知，则______；______13.已知，且，，写出满足条件的一组的值：______，______14.如图所示几何体，其中正方形边长为4，，，且到平面的距离为3，则几何体的体积为______15.关于定义域为的函数，，是偶函数，且，，给出下列四个结论：①函数的图象关于对称；②函数的图象关于对称；③函数是以6为周期的周期函数；④函数是以4为周期的周期函数。其中正确结论的序号是______三、解答题（共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）16.(本小题13分)在中，。(I)求；(II)若，再从条件1、条件2、条件3这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的周长。条件1:的面积为条件2:条件3:注：如果选择的条件不符合要求，第(II)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分。17.(本小题14分)在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，，且。(I)求证：平面；(II)求直线与平面所成角的正弦值；(III)在棱上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，说明理由。

18.(本小题13分)某校工会开展健步走活动，要求教职工上传9月1日至9月7日每天的步数信息，下表是职工甲和职工乙步数情况：日期1日2日3日4日5日6日7日职工甲856619891168205207130221186015524职工乙11845105779780487217022965512396(I)从9月1日至9月7日中任选一天，求这一天职工甲和职工乙步数都不低于10000的概率；(II)从9月1日至9月7日中任选两天，记职工甲步数小于职工乙步数的天数为，求的分布列及数学期望；(III)由表中数据判断从哪天开始职工乙连续三天的步数方差最大？(结论不要求证明)19.(本小题15分)已知椭圆的右顶点为，点在椭圆上。(I)求椭圆的方程及离心率；(II)点为椭圆上一点(不与，重合)，直线，分别与直线交于，。若与的面积相等，求直线的方程。20.(本小题15分)设函数。(I)当时，求曲线在点处的切线方程；(II)若有两个极值点，求的取值范围；(III)当时，求证：。21.(本小题15分)设为正整数，集合，集合，其中，表示不超过的最大整数，对的任意非空真子集，定义向量，其中(I)当，时，求；(II)当，时，求证：的充要条件是；(III)当时，求所有使的集合。

参考答案一、选择题（每小题4分，共40分）1.答案：C解析：集合中大于的元素为，故。2.答案：D解析：由得，则，。3.答案：A解析：联立与，解得，，则。4.答案：D解析：若，可取，此时，充分性不成立；若，则，能推出，必要性成立，故为必要不充分条件。5.答案：D解析：，，，故。6.答案：C解析：平移后。单调递增区间为，当时，区间为，符合选项C。7.答案：B解析：因题干函数缺失，按常规题型思路，令分段函数在处相等，代入参考数据计算，得。8.答案：C解析：抛物线的焦点，设，则中点坐标为，半径为，等于中点横坐标，故圆与轴相切。9.答案：C解析：令，得，令，得，数列是首项为、公比为的等比数列。项数为项，和为。10.答案：B解析：当时，；当时，。点集是两条曲线间的区域，计算点到区域的最小距离为，区域面积大于，故。二、填空题（每小题5分，共25分）11.答案：；解析：双曲线中，则，焦距；渐近线方程为。12.答案：；解析：令，得；令，得。13.答案：；（答案不唯一）解析：由，，平方相加得，即，结合范围取，。14.答案：解析：几何体可看作棱柱，底面积为梯形面积，高为，体积（注：若为其他组合体，需结合图形，此处按梯形棱柱计算）。15.答案：①②③解析：由是偶函数及已知等式，推导得关于对称，关于对称且周期为，周期为，故①②③正确。三、解答题（共85分）16.（13分）(I)解答1.由余弦定理得，代入。2.化简得，则。3.因，故。(II)选择条件21.由，得。2.由正弦定理，。3.解得，，三角形唯一确定，周长为。17.（14分）(I)证明1.建立空间直角坐标系，以为原点，为坐标轴，得各点坐标：，，，。2.向量，平面的法向量为。3.因，且平面，故平面。(II)解答1.求平面的法向量，向量。2.直线与平面所成角的正弦值为。(III)解答1.设，，求平面与平面的法向量。2.由夹角余弦值为，解得，即为的中点。18.（13分）(I)解答1.甲乙步数都不低于10000的天数为2日、5日、6日，共3天。2.所求概率。(II)解答1.甲步数小于乙步数的天数为1日、5日，共2天，的可能取值为0,1,2。2.，，。3.分布列：0124.数学期望。(III)答案：从9月3日开始。19.（15分）(I)解答1.右顶点，故，代入点得，解得。2.椭圆方程为，离心率。(II)解答1.直线的方程为，交于。2.设，直线交于，由面积相等得。3.联立椭圆方程解得直线的方程为或。20.（15分）(I)解答1.当时，，，，。2.切线方程为，即。(II)解答1.，极值点即的解。2.令，求导分析单调性，得的取值范围是。