2025-2026学年安徽省合肥市长丰县九年级（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年安徽省合肥市长丰县九年级（上）期末数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若y=(a−2)x2−3x+2是二次函数，则a的取值范围是A.a≠0 B.a>0 C.a>2 D.a≠22.将抛物线y=x2+2x向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为A.y=(x+1)2−3 B.y=(x+1)2−23.已知四个数a，b，c，d成比例，且a=3，b=2，c=4，那么d的值为(

)A.2 B.3 C.43 D.4.如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形(阴影部分)与△A1B1C1A. B. C. D.5.如图，小兵同学从A处出发向正东方向走x米到达B处，再向正北方向走到C处，已知∠BAC=α，则A，C两处相距(

)A.xsinα米 B.xcosα米 C.x⋅6.如图，△ABC∽△A′B′C′，AD、BE分别是△ABC的高和中线，A′D′、B′E′分别是△A′B′C′的高和中线，且AD=4，A′D′=3，BE=6，则B′E′的长为(

)A.32 B.52 C.727.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸(提示：1丈=10尺，1尺=10寸)，则竹竿的长为(

)A.五丈 B.四丈五尺 C.一丈 D.五尺8.如图，水库边有一段长300米，高8米的大坝，大坝的横截面为梯形ABCD，其中AB//CD，背水坡坡角∠ADC=45°.现要对大坝进行维修，维修方案是：将大坝上底加宽2米，并使背水坡坡角为30°，则维修此大坝需要土石(

)A.(9600−48003)立方米 B.(9600+48003)立方米

C.9.如图，在正方形ABCD中，以BC为边作等边△BPC，延长BP，CP分别交AD于点E，F，连接BD、DP、BD与CF相交于点H，给出下列结论：①AE=12CF；②∠BPD=135°；③△PDE∽△DBE；④ED2A.1个

B.2个

C.3个

D.4个10.如图，矩形ABCD中，BC=5cm，AB=3cm，E为边AD上一点，DE=1cm，动点P、Q同时从点C出发，点P沿CB运动到点B时停止，点Q沿折线CD−DE−EB运动到点B时停止，它们运动的速度都是1cm/s.设P、Q同时出发t秒时，△CPQ的面积为y cm2，则y与t的函数关系图象大致是图中的(

)A.B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。11.一台机器原价为60万元，如果每年价格的下降率为x，两年后这台机器的价格为y万元，则y关于x的函数关系式为

．12.如图，△ABC的三个顶点分别在边长为1的正方形网格的格点上，则tan(α+β)______tanα+tanβ.(填“>”“=”“<”)13.如图，O是△ABC内任意一点，D、E、F分别为AO、BO、CO上的点，且△ABC与△DEF是位似三角形，位似中心为O.若AD=13AO，则△ABC与△DEF的面积比为

14.如图，平面直角坐标系中，点O为原点，四边形OABC为矩形，且点A(2,4)和点B都在反比例函数y=kx的图象上，矩形OABC的边BC与x轴交于点D，则(1)k的值为

；(2)BDCD的值为

三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题8分)

计算：2cos60°+4sin60°⋅tan30°−6cos16.(本小题8分)

如图、在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(4,1)，B(2,3)，C(1,2)．

(1)画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；

(2)以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C17.(本小题8分)

如图所示，以长为2的定线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF=PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上．

(1)求AM，DM的长；

(2)点M是AD的黄金分割点吗？为什么？18.(本小题8分)

如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC上的点，且DE//AC，DF//AE，BDAD=32，BF=9cm，求EF和19.(本小题10分)

对于抛物线y=x2−2x−3．

(1)它与x轴交点的坐标为______，顶点坐标为______；

(2)在下面的坐标系中利用描点法画出此抛物线；

(3)利用以上信息解答下列问题：若关于x的一元二次方程x2−2x−3−t=0(t为实数)在0<x<4的范围内有解，则t的取值范围是______.(

20.(本小题10分)

如图，一次函数y=−x+b的图象与反比例函数y=kx的图象相交于A(−1,2)、B两点.BD垂直于y轴，垂足为D，连接AD．

(1)求一次函数与反比例函数的解析式．

(2)求△ABD的面积．

(3)直接写出使反比例函数值小于一次函数值的x的取值范围．

21.(本小题12分)

某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动．活动主题测算某水池中雕塑底座的底面积测量工具皮尺、测角仪、计算器等活动过程模型抽象某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为矩形ABCD，其示意图如图：测绘过程与数据信息①在水池外取一点E，使得点C，B，E在同一条直线上；

②过点E作GH⊥CE，并沿EH方向前进到点F，用皮尺测得EF的长为4米；

③在点F处用测角仪测得∠CFG=60.3°，∠BFG=45°，∠AFG=21.8°；

④用计算器计算得：sin60.3°≈0.87，cos60.3°≈0.50，tan60.3°≈1.75，sin21.8°≈0.37，cos21.8°≈0.93，tan21.8°≈0.40．请根据表格中提供的信息，解决下列问题(结果保留整数)：

(1)求线段CE和BC的长度：

(2)求底座的底面ABCD的面积．22.(本小题12分)

平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2+bx+c经过(−1,m2+2m+1)、(0,m2+2m+2)两点，其中m为常数．

(1)求b的值，并用含m的代数式表示c；

(2)若抛物线y=x2+bx+c与x轴有公共点，求m的值；

(3)设23.(本小题14分)

综合与实践

问题情境：

在“综合与实践”活动课上，老师给出了一张如图1所示的正方形纸片ABCD，点E与点F分别在线段BC与CD上，且满足CE=CF=23AB，连接AC．

数学思考：

(1)线段EF与AC的位置关系为______，数量关系为______.(直接填结果)

猜想证明：

(2)如图2，连接BD交AC于点O，将△CEF绕点C顺时针旋转，取线段EF的中点并记为G，连接OG，DF，猜想线段OG与DF之间的数量关系，并说明理由．

拓展探究：

(3)在(2)的基础上继续将△CEF绕点C顺时针旋转，若AB=3，当D，G，F三点共线时，直接写出线段OG

参考答案1.D

2.A

3.D

4.B

5.B

6.D

7.B

8.C

9.D

10.B

11.y=60(1−x)12.>

13.9414.815.解：原式=2×12+4×3216.解：(1)如图，△A1B1C1为所作；

(2)如图，

17.解：(1)在Rt△APD中，AP=1，AD=2，由勾股定理知PD=AD2+AP2=4+1=5，

∴AM=AF=PF−AP=PD−AP=5−1，

DM=AD−AM=3−5．

故AM的长为5−1，DM的长为3−18.解：∵DF//AE，

∴BFFE=BDAD=32，

∵BF=9cm，

∴FE=6cm，BE=BF+EF=15cm，

∵DE/​/AC19.解：(1)(3,0)，(−1,0)；(1,−4)

(2)

(3)

−4≤t<5．

20.解：(1)∵一次函数y=−x+b的图象与反比例函数y=kx的图象相交于A(−1,2)，

∴将A(−1,2)分别代入y=−x+b，y=kx，得2=1+b，k=−1×2，解得b=1，k=−2，

∴一次函数解析式为y=−x+1，反比例函数解析式为y=−2x．

(2)联立y=−x+1y=−2x，

解得：x1=2，x2=−1(即为点A)，

经检验，x1=2，x2=−1是原方程的解，

∴点B(2,−1)，

∴BD=2，BD边上的高为2−(−1)=3，

21.解：(1)由条件可知tan∠CFE=tan60.3°=CEEF≈1.75，

∴CE=7米；

由条件可知BE=EF=4米，

∴CB=CE−BE=3(米)；

(2)过点A作AM⊥GH于点M，如图所示：

由条件可知tan∠AFG=tan21.8°=AMMF≈0.4，

∵AM=BE=4米，

∴MF=10米，

∴AB=ME=10−4=6(米)，

∴底座的底面22.解：(1)∵抛物线y=x2+bx+c经过(−1,m2+2m+1)、(0,m2+2m+2)两点，

∴1−b+c=m2+2m+1c=m2+2m+2，

∴b=2c=m2+2m+2，

即：b=2，c=m2+2m+2，

(2)由(1)得y=x2+2x+m2+2m+2，

令y=0，得x2+2x+m2+2m+2=0，

∵抛物线与x轴有公共点，

∴△=4−4(m2+2m+2)≥0，

∴(m+1)2≤0，

∵(m+1)2≥0，

23.解：(1)连接BD，如图，

∵四边形ABCD为正方形纸片，

∴AB=BC=CD，BD⊥AC，AC=BD，

∵CE=CF=23AB，

∴CECB=CFCD=23，

∵∠ECF=∠BCD，

∴△ECF∽△BCD，

∴EFBD=ECBC=23，∠CEF=∠CBD，

∴EFAC=23，EF//BD，

则3EF=2AC，EF⊥AC，

故答案为：EF⊥AC；3EF=2AC；

(2)OG=22DF，理由如下：

如图，连接GC，

由(1)知△CEF和△CBD都是等腰直角三角形，

∵AC⊥BD，G是EF的中点，

∴∠OCD=∠GCF=45°，∠COD=∠CGF=90°，

∴△CGF∽△COD，

∴CGCO=CFCD，

∵∠OCD+∠DCG=∠GCF+∠DCG，

∴∠OCG=∠DC