福建省2025中考数学专题三线段最值方法高效拆分特训

专题三线段最值方法高效拆分特训特训18一动一定型模型解读模型垂线段最短条件：如图，A是定点，直线l是动点P的运动路径．方法：根据垂线段最短，作出该线段最短时的图形(如图)，再求最小值，有时也利用转化思想，将所求线段进行转化，从而确定最小值.结论：当AP⊥l时，AP的长度最小(即AP′).典题训练1．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝4，AB＝3，M为BC边上的动点，ME⊥AB于点E，MF⊥AC于点F，N为EF的中点，则MN的最小值为____________．(第1题)(第2题)2．如图，在▱ABCD中，∠C＝120°，AB＝4eq\r(3)，点H，G分别是边CD，BC上的动点，连接AH，GH，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF，则EF的最小值为____________．3．如图，∠AOB＝120°，点P在∠AOB的平分线上，OP＝4.点E，F分别在边OA，OB上，且∠EPF＝60°，连接EF.求EF的最小值．

特训19两定一动型模型解读模型1异侧两定点(如图)条件：A，B是定点，直线l是动点P的运动路径．方法：两点之间，线段最短．结论：P′A＋P′B＝AB≤PA＋PB.模型2同侧两定点(将军饮马)(如图)条件：A，B是定点，直线l是动点P的运动路径．方法：①对称；②两点之间，线段最短．结论：P′A＋P′B＝AB′≤PA＋PB.典题训练1．如图，在正方形ABCD中，∠NCD＝22.5°，点P是CN上一点，若CD＝8，CM＝eq\r(2)，则PM＋PD的最小值是________．2．王老师组织数学兴趣小组的同学们探究代数式eq\r(x2＋1)＋eq\r(（4－x）2＋4)(x>0)的最小值，王老师巧妙地运用了“数形结合”的思想，具体做法是：如图，取线段BD＝4，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，且AB＝1，DE＝2，连接AC，CE.设BC＝x，则AC＝eq\r(x2＋1)，CE＝eq\r(（4－x）2＋4).则问题转化成求AC＋CE的最小值．(1)我们知道当A，C，E在同一直线上时，AC＋CE的值最小(即线段AE的长度)，于是可求得eq\r(x2＋1)＋eq\r(（4－x）2＋4)(x>0)的最小值等于________；(2)请你利用上述方法和结论，试构图求出代数式eq\r(x2＋4)＋eq\r(（12－x）2＋9)(x>0)的最小值．特训20两动一定型模型解读模型两点之间，线段最短＋垂线段最短方法：过定点作其中一动点所在直线的对称点，连接对称点与另一动点，当垂直于定点所在的已知直线时，此时所求的线段和最短.典题训练1．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm.若E为BC上一动点，F为AB上一动点，则AE＋EF的最小值为________cm.2．如图，在锐角三角形ABC中，AB＝4，△ABC的面积为8，BD平分∠ABC.若M，N分别是BD，BC上的动点，则CM＋MN的最小值为________．3．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2，∠D＝120°，AC平分∠DAB，P是AC上的一个动点，Q是AB上的一个动点，则PB＋PQ的最小值是________．4．如图，在正方形ABCD中，AB＝8，对角线AC，BD相交于点O.若点P是BO的中点，点M，N分别是AB，AC上的动点，则PM＋MN的最小值是________．特训21两定点一定长型模型解读模型1异侧两定点一定长(造桥选址)(如图)条件：A，B是定点，M，N分别在直线l1，l2上，MN⊥l1，MN⊥l2，且MN为定长．方法：平移AM得到▱AMNA′，连接A′B交直线l2于点N′，再在直线l1上取点M′，使M′N′＝MN，此时(点M在M′处，点N在N′处)，AM＋BN取得最小值，最小值为A′B的长.模型2同侧两定点一定长(如图)条件：A，B是定点，M，N是直线l上两动点，且MN为定长．方法：平移AM得到▱AMNA′，作点B关于直线l的对称点B′，连接A′B′交直线l于点N′，再在点N′左侧的直线l上取点M′，使M′N′＝MN，此时(点M在M′处，点N在N′处)，AM＋BN取得最小值，最小值为A′B′的长.典题训练1．如图，在菱形ABCD中，AB＝10，AC＝16，点M，N在AC上，且MN＝2，连接BM，DN，则BM＋DN的最小值为________．2．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点P，Q为BC边上的两个动点(点P位于点Q的左侧，P，Q均不与顶点重合)，PQ＝2，若E为CD边的中点，在P，Q的移动过程中，求四边形APQE周长的最小值．01几何压轴题高效拆分特训专题三线段最值方法高效拆分特训特训18一动一定型1.eq\f(6,5)2.33．解：如图，过点P作PM⊥OA于点M，PN⊥OB于点N，则PM＝PN，∠PMO＝∠PNO＝90°，∴∠MPN＝360°－∠PMO－∠PNO－∠AOB＝360°－90°－90°－120°＝60°＝∠EPF，∴∠MPE＝∠NPF，∴△PME≌△PNF，∴PE＝PF，∴△PEF是等边三角形，∴EF＝PE＝PF，故当点E与点M重合时，EF的值最小，这时∠OPE＝30°，∴OE＝eq\f(1,2)OP＝2，PE＝eq\r(OP2－OE2)＝eq\r(42－22)＝2eq\r(3)，即EF的最小值为2eq\r(3).特训19两定一动型1．5eq\r(2)2．解：(1)5(2)如图，取线段BD＝12，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，且AB＝2，DE＝3，连接AC，EC，AE.当A，C，E在同一直线上时，AC＋CE的值最小，即AC＋CE的最小值为线段AE的长度．延长AB到F，使BF＝DE＝3，连接EF，则BF∥DE，且BF＝DE，∴四边形BFED是平行四边形．又∵∠D＝90°，∴四边形BFED是矩形，∴EF＝BD＝12，∠F＝90°.∵AF＝BF＋AB＝5，∴在Rt△AFE中，由勾股定理得AE＝eq\r(AF2＋EF2)＝eq\r(52＋122)＝13.∴代数式eq\r(x2＋4)＋eq\r(（12－x）2＋9)(x>0)的最小值为13.特训20两动一定型1.eq\f(24,5)2.43.eq\r(3)4.4eq\r(2)特训21两定点一定长型1．2eq\r(37)2．解：如图，在AD上截取线段AF，使AF＝PQ＝2，作点F关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点，即为所求的点Q，连接FQ，过点A作FQ的平行线交BC于一点，即为所求的点P，过点G作BC的平行线交DC的延长线于点H.∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，AB∥CD，∠B＝∠D＝∠DCB＝90°.又∵点F，G关于BC对称，∴FG⊥BC，∴易得FG∥CD，FG＝2AB＝8.∵GH∥AD，∴四边形FGHD为矩形，∴GH＝DF＝8－2＝6，DH＝FG＝8.∠H＝90°.∵E为CD边的中点，∴DE＝EC＝eq\f(1,2)CD＝eq\f(1,2)AB＝2，∴EH＝DH－DE＝6.∴GH＝EH，∴△EHG为等腰直角三角形，∴∠GEH＝45°，即∠CEQ＝45°.在△CQE中，∵∠QCE＝90°，∠CEQ＝45°，∴△CQE为等腰直角三角形，∴CQ＝EC＝2，∴易得EQ＝2eq\r(2).∵BP＝BC－CQ－PQ＝4