福建省2025中考数学专题四辅助圆(福建热点)

专题四辅助圆(福建热点)特训22定点定长型模型解读图示条件OA＝OB＝OC＝OD.O为定点，A为平面内一动点，且满足OA＝a.结论A，B，C，D四点在以点O为圆心的圆上.点A在以点O为圆心，a为半径的圆上.典题训练1．如图，已知AB＝AC＝BC＝AD，则∠BDC＝________．2．如图，在四边形ABCD中，DC∥AB，BC＝1，AB＝AC＝AD＝2，则BD的长为________．3．如图，OA⊥OB，P，Q分别是射线OA，OB上两个动点，C是线段PQ的中点，且PQ＝4，则在线段PQ滑动的过程中，点C运动形成的路径长为________．4．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，E是AB的中点，F是BC上一点，把△BEF沿着EF翻折，点B落在点B′处，则DB′的最小值为________．5．如图，四边形ABCD是矩形．求证：A，B，C，D四点在同一个圆上．特训23定弦定角型模型解读条件图示及结论在△ABC中，AB＝a(定长)，∠ACB＝α(定角)，探究点C的运动路径.①当α<90°时，点C的运动路径是优弧eq\o(ACB,\s\up8(︵))，∠AOB＝2α.②当α＝90°时，点C的运动路径是以AB为直径的⊙O(点C不与A，B重合).③当α>90°时，点C的运动路径是劣弧eq\o(AB,\s\up8(︵))，∠AOB＝360°－2α.典题训练(1)【初步尝试】如图，已知线段AB和直线l，用直尺和圆规在l上作出所有的点P，使得∠APB＝30°(不写作法，保留作图痕迹)；(2)【拓展延伸】如图，已知矩形ABCD，AB＝2，BC＝m，M为CD上的点．若满足∠AMB＝45°的点M恰好有两个，则m的取值范围为________；(3)【迁移运用】①如图①，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD是BC边上的高，且BD＝6，CD＝2，则AD的长为________；②如图②，在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝8，BC＝6，P是△ABC内部的一个动点，满足∠PAB＝∠PBC，连接CP，则线段CP长的最小值为________．

特训24四点共圆模型解读条件在△ABC和△ABD中，∠ACB＝∠ADB＝90°.在四边形ABCD中，∠A＋∠C＝180°.点C，D在AB的同侧，∠C＝∠D.图示结论点A，B，C，D在同一个圆上，AB为该圆的直径.点A，B，C，D在同一个圆上.典题训练1．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠CAD＝16°，AD＝BD，则∠ADB的大小为________°.(第1题)(第2题)2．如图，∠ACB＝∠ADB＝90°，AD＝BD，若AC＝2eq\r(2)，BC＝4eq\r(2)，则CD＝________．3．如图，已知正方形ABCD的边长为6，点P是AB边上的一个动点，连接CP，过点P作PC的垂线交AD于点E，以PE为边作正方形PEFG，顶点G在线段PC上，对角线EG，PF相交于点O.当点P从点A运动到点B时，点O也随之运动，求点O经过的路径长．

特训25点圆、线圆最值模型解读点圆条件：如图，M是半径为r的⊙O上的一动点(OM＝r定值)，点P是定点(OP＝d定值)．结论：PM的最小值＝PM1＝|d－r|，PM的最大值＝PM2＝d＋r.线圆条件：如图，OP＝a，Q是一动点，且OQ＝b(a，b是定长，且a>b)．结论：点Q在以b为半径的⊙O上，且当PQ与⊙O相切时，∠OPQ最大.条件：如图，O是直线l上的一定点，P是l上的一动点，OQ＝m(定长)，且∠OPQ＝α(定角)．结论：点Q在以m为半径的⊙O上，且当PQ与⊙O相切时，OP最大.典题训练1．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过点A(6，0)，B(0，6)，⊙O的半径为2(O为坐标原点)，点P是直线AB上一动点，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为()A.eq\r(7)B．3C．3eq\r(2)D.eq\r(14)2．[2024宁德质检4分]如图，正方形纸片ABCD的边长为4，点E在AD边上，点F在CD边上，将正方形纸片ABCD沿EF对折，点B的对应点是点G，连接DG，若AE＝1，则DG长的最小值是________．3．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，若在边CD上存在一点P，使得∠APB＝90°，则矩形ABCD面积的最大值为________．01几何压轴题高效拆分特训专题四辅助圆(福建热点)特训22定点定长型1．150°2.eq\r(15)3.π4.2eq\r(17)－25．证明：如图，连接AC，BD，交于点O，∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB＝OC＝OD，∴A，B，C，D四点在以点O为圆心，eq\f(1,2)AC长为半径的圆上．即A，B，C，D四点在同一个圆上．特训23定弦定角型解：(1)如图所示，点P1、P2即为所求．(2)2≤m<eq\r(2)＋1(3)①4＋2eq\r(7)②2eq\r(13)－4特训24四点共圆1．322.23．解：如图，连接OA，OC，∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝90°，∠BAC＝45°，∴AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝eq\r(62＋62)＝6eq\r(2)，由题易知A，P，O，E四点共圆，∴∠OAP＝∠OEP＝45°，∴点O在AC上．当