建立模型求解现实-公式法解一元二次方程的应用（北师大版九年级上册）

建立模型，求解现实——公式法解一元二次方程的应用（北师大版九年级上册）一、教学内容分析  本节课位于北师大版数学九年级上册第二章《一元二次方程》的单元序列中，是继学生掌握配方法、推导出求根公式后，对公式法从“会解”到“善用”的关键跃升点。《义务教育数学课程标准（2022年版）》对本学段“方程与不等式”主题明确提出，学生需“能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型”。因此，本课的教学坐标，绝非停留于公式的机械套用，而是定位于“数学建模”这一核心素养的初步培育。在知识技能图谱上，它上承一元二次方程解法体系的完备，下启利用方程解决更为复杂的几何、物理、经济等应用问题，是连接数学内部知识与外部世界的枢纽。其认知要求已从“理解”“记忆”层面，跃升至“综合应用”与“创造”层面。蕴含的学科思想方法，突出表现为“数学建模”：即从现实情境中抽象出数量关系，建立一元二次方程模型，通过公式法这一通用工具求解，并最终回归实际进行检验与解释。这一完整的“现实—数学—现实”过程，是培养学生模型观念、应用意识和理性思维（即数学抽象、数学运算、数据分析等核心素养）的绝佳载体。其育人价值在于，让学生真切感受数学的工具性与实用性，体会理性思维在分析和解决不确定性问题中的力量，从而增强学习数学的内在动机与社会责任感。  基于“以学定教”原则，学情研判需立体化展开。学生的已有基础是：已经完整学习了一元二次方程的各种解法（直接开平、配方法、公式法），并记住了求根公式，具备解数字系数一元二次方程的技能。生活经验上，他们对面积、增长率、行程等基本数量关系有一定了解。然而，潜在的认知障碍与思维难点也极为突出：首先，“列方程”的难点远大于“解方程”。学生往往难以从冗长的文字叙述中精准提取有效信息，识别并建立等量关系，这是从算术思维向代数思维跨越的关键卡点。其次，对求根公式的理解可能仍停留在符号操作层面，对于判别式非负性要求在实际问题中的意义（如边长、时间需为正数）缺乏敏感度。最后，求解后的“检验”环节，学生极易忽略，或仅进行纯数学的验根，而缺乏结合实际问题意义（如解的合理性、取舍）进行判断的意识。因此，教学调适策略必须聚焦于搭建“列方程”的思维脚手架，并通过针对性设问（如：“这两个根都符合题意吗？为什么？”）和变式训练，强化模型建立、求解与解释的全过程体验。对于理解较快的学生，可引导其对比不同建模策略的优劣；对于存在困难的学生，则需提供包含关键量分析表格或分步引导的学习任务单作为支持。二、教学目标阐述  知识目标方面，学生将能系统梳理利用一元二次方程解决实际问题的“审设列解验答”六步一般步骤，并内化为结构化认知；能准确识别面积、增长率、勾股定理等典型问题情境中的核心等量关系；能熟练运用求根公式求解所列出的一元二次方程，并依据实际背景对解进行合理解释与取舍。  能力目标聚焦于数学建模能力与批判性思维。学生能够从一段具体的现实情境描述中，自主提取数学信息，分析数量间的等量关系，并成功建立一元二次方程模型（数学化）；能够规范、准确地进行公式法求解运算；最后，能够将数学解“翻译”回现实情境，判断其合理性并给出符合语境的实际答案（解释与验证）。  情感态度与价值观目标，旨在通过解决真实或模拟现实的问题，让学生深刻体会数学的广泛应用价值，激发“用数学”的主动意愿；在小组合作探究中，培养严谨求实、言之有据的科学态度，以及倾听他人、协作解决问题的团队精神。  科学（学科）思维目标，核心是发展学生的模型思想与化归思想。具体表现为：面对复杂实际问题时，能有意识地进行“去背景化”抽象，聚焦数量关系建立方程模型（建模思维）；在求解后，能自觉进行“再情境化”检验，审视解的合理性（批判性思维）；并能体会公式法作为通用解法在解决一类问题中的程序性与优越性。  评价与元认知目标，关注学生对自己学习过程的监控与调节。学生能够依据教师提供的“问题解决评价量规”，对本人或同伴的解题过程进行初步评价；能在课堂小结时，反思自己在“列方程”环节遇到的困难及突破方法，提炼个人在应用题解决策略上的得失。三、教学重点与难点  教学重点为：分析实际问题中的数量关系，建立一元二次方程模型，并利用公式法求解。其确立依据源于课标对“模型观念”素养的强调，以及学业水平考试对“方程与应用”领域的一贯重视。该能力是学生将数学知识转化为解决实际问题能力的枢纽，对后续学习二次函数等应用至关重要，是体现能力立意的核心考点。  教学难点为：从错综复杂的实际问题语言中，准确抽象出等量关系并列出正确的一元二次方程。难点成因在于，这需要学生克服算术思维定式，完成从具体情境到抽象符号的两次转化（设未知数、用代数式表示其他量、寻找等量关系），对学生的阅读理解、信息筛选和数学抽象能力提出了较高要求。突破方向在于，教师需提供有效的分析工具（如线段图、表格）和策略引导（如“哪些是已知量？哪些是未知量？它们之间有什么关系？”），通过搭建问题链，分解思维步骤，帮助学生跨越认知跨度。四、教学准备清单1.教师准备1.1媒体与教具：交互式课件（内含情境动画、问题呈现、分步骤解题模板）；实物投影仪。1.2学习材料：分层学习任务单（A基础版，B拓展版）；当堂巩固分层练习卷；小组合作讨论记录卡。2.学生准备2.1知识预习：复习一元二次方程求根公式及判别式；回顾常见几何图形面积、周长公式。2.2物品携带：常规文具，练习本。3.环境预设3.1板书记划：左侧主板书预留“六步法”流程框架及核心例题解析；右侧副板书用于呈现学生思路、关键点及课堂生成性问题。五、教学过程第一、导入环节1.情境创设与认知冲突：“同学们，上节课我们掌握了打开一元二次方程大门的‘万能钥匙’——公式法。那么，这把钥匙在现实生活中能打开哪些锁呢？请看这样一个问题：我们学校打算在一块长20米、宽12米的矩形空地上，修建两条等宽且互相垂直的小路，其余部分铺上草坪。要使草坪的面积为180平方米，小路的宽度应该是多少？大家先别急着用公式法，用你们喜欢的方法试试看。”（呈现图形情境）预计学生首先会尝试算术或拼图思路，但发现关系复杂，难以直接求解，从而产生认知冲突，意识到需要更系统的代数方法。2.问题提出与路径明晰：“看来，直接‘硬算’有点麻烦。这个问题里，变化的量是小路宽度，它影响了草坪的形状和面积。我们能否将它设为未知数x，用代数式表示出草坪的新长和宽，从而抓住‘草坪面积=180’这个等量关系，建立一个方程呢？这就是我们今天要攻克的核心：如何从现实问题中提炼出方程模型，并用我们的‘万能钥匙’——公式法来求解。本节课，我们将化身‘问题建模师’，沿着‘分析建模求解检验’的路径，一起探索公式法的强大应用。”第二、新授环节任务一：温故知新，回顾建模基础教师活动：首先通过快速问答激活旧知：“求根公式是什么？使用时需先确保方程是什么形式？判别式的作用是？”接着，引导学生回顾列一元一次方程解应用题的步骤，并提问：“解决应用问题的通用流程是什么？与解一元一次方程相比，列一元二次方程建模时，最关键的差异和挑战会在哪一步？”教师旨在帮助学生将新知学习锚定在已有的“列方程解应用题”认知框架上，并聚焦到“寻找等量关系”这一核心。学生活动：集体回答求根公式及前提条件。回忆并口述“审题、设未知数、列方程、解方程、检验、作答”的基本步骤。思考并预期列二次方程时，等量关系可能表现为平方关系或乘积形式，更为复杂。即时评价标准：1.能否准确、迅速地复述求根公式及一般式要求。2.能否清晰表述应用问题解决的一般流程，体现程序化思想。3.在讨论差异时，能否提出“等量关系可能涉及平方或两个未知量的乘积”等预见性观点。形成知识、思维、方法清单：★公式法应用前提：必须先将方程化为一般形式ax²+bx+c=0(a≠0)，并计算判别式b²4ac。▲建模一般流程的迁移：解一元二次方程应用题，依然遵循“审、设、列、解、验、答”六步，这是解决所有方程应用问题的通用思维框架。新旧挑战对比：相比一次方程，二次方程建模的难点常在于，等量关系更为隐含，可能涉及面积公式、勾股定理或增长率模型，需要更细致的数量关系分析。任务二：案例剖析，建立完整范式教师活动：回到导入的“修小路”问题。分步引导：“第一步‘审题’，题中哪些是已知量？哪些是未知量？（长20，宽12，草坪面积180，小路宽度未知且等宽）”“第二步‘设元’，我们设谁为x？（小路宽x米）”“第三步，也是最关键的一步‘列方程’。小路修好后，草坪变成了什么形状？（一个小矩形）它的长和宽如何用含x的代数式表示？来，请这位同学到黑板上画示意图并标注。”根据学生标注，引导列出代数式：草坪长=(20x)米，宽=(12x)米。“那么，等量关系是？（草坪面积=长×宽）由此我们得到方程：(20x)(12x)=180。大家化简看看，这是什么方程？”学生活动：跟随教师提问逐步思考回答。一名学生上台画图分析，用图形直观表示小路与草坪关系。集体列出代数式并得到方程(20x)(12x)=180，将其化简为标准一元二次方程x²32x+60=0。亲身经历从文字到图形，再到代数式的完整抽象过程。即时评价标准：1.能否准确提取题目中的关键数量信息。2.画图示意是否清晰、准确，体现了有效的数形结合策略。3.列代数式时是否考虑周全，无遗漏或错误。形成知识、思维、方法清单：★数形结合策略：对于几何背景问题，画示意图是化抽象为直观、理清数量关系的利器，务必养成“边读题，边画图”的习惯。★代数式表示技巧：用未知数表示其他量时，需紧扣变化前后的几何关系或数量逻辑。方程化简必要性：列出的方程需展开、整理成一般形式，这是使用公式法的必要前置步骤。任务三：公式求解，规范操作过程教师活动：“方程x²32x+60=0已经准备就绪，现在请同学们担任‘计算员’，独立用公式法求解。动笔前，先确认什么？（a,b,c的值及判别式）计算过程要规范。”巡视指导，重点关注学生书写规范（如先写判别式）和计算准确性。挑选一份典型过程（正确且规范）和一份有常见错误（如a,b,c符号取错、算术错误）的进行投影对比。学生活动：独立完成公式法求解。确定a=1,b=32,c=60，计算判别式，代入求根公式，得出两个解x1=30,x2=2。观摩投影对比，反思自身过程的规范性。即时评价标准：1.求解过程是否步骤完整、书写规范。2.计算是否准确无误，特别是代入公式时对负数、系数的处理。3.能否通过观察对比，指出不规范或错误之处。形成知识、思维、方法清单：★公式法规范步骤：一化（一般式）、二定（a,b,c）、三判（判别式）、四代（求根公式）、五解（得出根）。计算准确性要点：处理负数代入时需加括号，避免符号错误。判别式先行，既能预判根的情况，也是计算过程的重要组成部分。任务四：回归实际，辨析解的合理性教师活动：“我们得到了两个数学解：30和2。它们都是小路的宽度吗？都符合实际情况吗？请大家小组讨论一下。”引导学生结合实际问题进行检验：“原来的空地长才20米，宽12米。如果小路宽30米，意味着什么？”让学生发现其荒谬。“所以，我们必须把解‘代回’实际问题中检验。检验包括两方面：一是数学验根，代入原方程看是否成立；二是实际意义检验，看是否满足长度、面积为正，是否符合生活常识等。这里，x=2符合，x=30要舍去。所以最终答案是？”学生活动：小组开展热烈讨论，从数学和实际两个角度分析解的合理性。明确x=30会导致草坪长、宽为负值，不符合实际，应舍去。深刻理解“验”的双重含义，并给出最终答案：小路宽为2米。即时评价标准：1.讨论是否积极参与，能否从实际背景出发思考问题。2.能否清晰阐述两个解被保留或舍去的理由，特别是实际意义层面的理由。3.是否形成“求解后必须检验”的强烈意识。形成知识、思维、方法清单：★解的检验与取舍原则：数学解不一定都是实际问题的解，必须进行双重检验（数学正确性、实际合理性），不合题意的解要果断舍去。这是数学建模完整性的关键一环，体现数学的严谨性。模型解释环节：得出答案后，需用完整的语言陈述结论，回应实际问题。任务五：方法归纳，形成策略体系教师活动：带领学生共同回顾解决“修小路”问题的全过程，用板书系统梳理“审、设、列、解、验、答”六步，并强调每一步的核心要点与易错点。提问：“对比之前学过的其他解法，在处理这类有复杂数量关系的应用题时，公式法最大的优势是什么？”（通用、直接，不受方程形式限制）。“以后遇到新的应用题，你的分析思路是什么？”学生活动：跟随教师一起总结六步法，在笔记本上形成结构化笔记。思考并回答公式法的优势在于其程序性和普适性。初步内化解题策略：先通读问题，识别类型，再通过设元、寻找等量关系建立模型，最后规范求解并检验。即时评价标准：1.能否复述或理解解决一元二次方程应用问题的完整步骤。2.能否体会到公式法在应用中的工具价值。3.是否开始形成有序的问题解决策略意识。形成知识、思维、方法清单：★一元二次方程应用问题解决“六步法”：审题（抓数量）、设元（选未知数）、列方程（找等量关系）、解方程（优选公式法）、检验（双重检验）、作答。此流程是核心方法论。公式法的应用优势：在列出的方程形式复杂（如不是(xp)²=q的形式）时，公式法提供了无需配方、直接求解的标准化路径，提高了解决复杂建模问题的效率和可靠性。第三、当堂巩固训练  设计分层、变式的训练体系，学生可根据自身情况选择完成至少两个层次的题目。  基础层（直接应用）：1.某药品经过两次降价，从每盒60元降至48.6元，若平均每次降价的百分率相同，求这个百分率。（聚焦增长率模型建立：设百分率为x，等量关系为“原价×(1降价率)²=现价”）  综合层（情境迁移）：2.如图，用一条长40cm的绳子怎样围成一个面积为75cm²的矩形？（与导入例题同类但数据不同，检验建模流程掌握程度，需讨论两种围法对应的解）  挑战层（开放联系）：3.（选做）一个直角三角形的斜边长10cm，两条直角边的差为2cm。求两条直角边的长。你能用几种方法列出方程？比较一下哪种更简便。（联系勾股定理，可设一条直角边为x，另一条为x±2，渗透方程思想多样性）  反馈机制：学生独立练习时，教师巡视，进行个别指导。完成后，通过实物投影展示不同层次、不同解法的典型答案（包括正确范例和典型错误）。针对基础题，重点讲评如何设元及建立“连续变化”的模型；针对综合题，组织学生互评解题步骤的完整性和检验的严密性；针对挑战题，邀请完成的学生分享思路，比较不同列方程方法的优劣，拓宽思维。第四、课堂小结  引导学生进行自主结构化总结与元认知反思。“同学们，经过这节课的探索，我们完成了一次完整的‘数学建模’之旅。现在，请大家闭上眼睛回顾一下，解决一个一元二次方程应用题，我们经历了哪几个关键步骤？哪个步骤让你觉得最有挑战性？你是如何克服的？”邀请23名学生分享他们的“思维地图”和心得。随后，教师利用板书再次强化“六步法”知识结构，并提炼核心思想：从现实中来，化为数学模型，用数学工具求解，再回到现实中去检验。  作业布置：必做（基础+综合）：1.课本本节后对应基础练习题。2.自编一道关于“矩形面积变化”的一元二次方程应用题，并写出完整解答过程。选做（探究）：调研一个生活中或你感兴趣的其他学科（如物理中的匀加速运动）中，可能用到一元二次方程模型的实际例子，简要说明其数量关系。“下节课，我们将迎来方程家族的盛会，比较各种解法，看看谁更适合担当不同情境下的‘解题主角’。”六、作业设计基础性作业（全体必做）：1.完成教材本节后练习中关于数字问题、简单面积问题的3道题目，巩固列方程和公式法求解的基本功。2.整理课堂笔记，用思维导图的形式呈现“利用公式法解一元二次方程应用题”的完整步骤及注意事项。拓展性作业（建议大多数学生完成）：设计一个微型项目：“我是校园规划师”。学校有一块长25米、宽15米的矩形绿地，计划进行改造。请你设计一个改造方案（如修建圆形、矩形花坛，开辟小路等），使改造后的剩余绿地面积为300平方米。要求：①画出设计示意图；②写出设计方案中需要求解的未知量及其满足的一元二次方程；③用公式法求解，并检验解的合理性。此作业旨在促进知识在接近真实情境中的综合应用。探究性/创造性作业（学有余力学生选做）：探究“分割”中的一元二次方程。已知点C将线段AB分成两部分，若满足AC/BC=BC/AB（即较长部分是全段与较短部分的比例中项），则称点C为线段AB的分割点。设AB=1，AC=x，试列出关于x的方程，并用公式法解出这个比值（结果保留根号）。查阅资料，了解分割在艺术、建筑等领域的应用，写一份简短的报告。此作业旨在建立数学内部美与外部世界的联系，激发深度探究兴趣。七、本节知识清单及拓展★1.一元二次方程应用问题的核心流程“六步法”：审题、设未知数、列方程、解方程、检验、作答。这是解决所有方程应用问题的通用思维框架，务必理解每一步的目的与要点，形成程序化思考习惯。★2.列方程的关键：寻找等量关系：这是从实际问题抽象为数学模型的核心。常见等量关系来源于：几何图形公式（面积、勾股定理）、物理运动规律、经济中的增长率（降低率）模型（设基数为a，平均增长率为x，两次变化后为a(1±x)²）、数字问题等。★3.公式法求解的规范步骤：一化（整理成一般式ax²+bx+c=0）、二定（明确a,b,c的值，注意符号）、三判（计算判别式b²4ac）、四代（代入求根公式x=[b±√(b²4ac)]/(2a)）、五解（得出两个根）。步骤规范是计算准确的保障。★4.判别式(b²4ac)在应用中的预判作用：在代入公式前计算判别式，若小于0，则方程无实数根，可直接判断原实际问题无解（在实数范围内），节省计算时间，体现数学工具的效率。★5.解的检验：双重检验原则：数学检验：将解代入原方程，看等式是否成立。实际意义检验：检查解是否符合题目的实际背景（如长度、面积、人数为正数；增长率、折扣率范围合理；解是否为整数等）。这是建模的最后也是至关重要的一步，确保数学结论回归并服务于现实。★6.数形结合分析策略：对于涉及图形的问题，务必动手画出示意图，在图上标注已知量和未知量。图形能直观揭示数量关系，是突破“列方程”难关的有效“脚手架”。▲7.增长率/下降率模型：设平均变化率为x，则连续两次变化后的量=原量×(1±x)²。注意：“增长”用“+”，“降低”用“”。此模型广泛应用于经济、人口等领域的简单预测。▲8.设未知数的技巧：通常问什么设什么（直接设元）。有时为方便列方程，可间接设元。设元后，要用含未知数的代数式清晰地表示出其他相关量，这是列方程的基础。9.“一般形式”的重要性：公式法必须要求方程是标准一般形式，否则a,b,c的值会确定错误。养成列方程后先整理、化简的好习惯。10.解的取舍理由表述：在“答”的时候，若舍去了某个解，应简要说明理由（如“因为时间不能为负值，故舍去x=5”），使解答逻辑完整、有说服力。▲11.一题多模与多解：有些问题可能存在不同的设元方式和等量关系，从而列出形式不同但本质等价的一元二次方程。鼓励比较不同列法，选择最简洁的。同时，方程的两个解可能都符合题意（如围成矩形问题有两组边长），需全面考虑。12.公式法的优势与局限：优势在于通用、直接，尤其适合系数复杂或不易配方的方程。局限在于计算量可能稍大，且对记忆公式准确性要求高。它是解决一元二次方程应用问题的可靠“重武器”。八、教学反思  （一）教学目标达成度分析。从当堂巩固练习的完成情况看，约85%的学生能独立完成基础层和综合层题目，步骤较为完整，表明“六步法”流程和公式法求解的基本技能目标达成度良好。在挑战题讨论中，部分学生能主动联系勾股定理并比较不同列式方法，展现了初步的模型迁移与优化意识，能力目标得到分层落实。情感目标方面，学生在解决“校园规划”类问题时表现出较高兴趣，小组讨论中能围绕解的合理性进行争辩，体现了严谨态度的萌芽。然而，通过观察和提问发现，仍有约15%的学生在“列方程”环节存在明显困难，表现为无法从文字中自主提取有效的等量关系，需依赖教师或同伴的引导。  （二）核心环节有效性评估。导入环节的“修小路”问题成功制造了认知冲突，激发了探究欲，起到了良好锚定作用。新授环节的五个任务，层层递进，特别是任务二（画图分析）和任务四（解的意义辨析）的设计，有效突破了从文字到模型、从数学解到实际解的思维难点。任务二中学生上台画图，不仅调动了该生积极性，其生成的图示也成为了全班共享的“思维可视化”资源，效果优于教师直接呈现。但任务三（公式求解）的巡视中发现，学生计算错误仍集中在符号处理和算术运算上，反映出基础运算能力的薄弱是影响应用问题解决的隐形瓶颈，后续需加强常态化的计算规范性训练。  （三）差异化教学实施深度剖析。本节课通过“学习任务单”的分层设计、巩固练习的层级选择以及巡视时的个别指导，关照了不同层次学生的需求。对于思维敏捷的学生，在完成基础任务后，通过追问“你还有其他设未知数的方法吗？”或引导其完成挑战题，给予了拓展空间。对于学习困难的学生，提供了画图模板和分步引导的任务单，并在小组讨论中安排其担任“记录员”或“发言人助理”，确保其参与感。然而，反思发现，对于中间层次学生的“隐形需求”捕捉可能不足，他们能完成任务但缺乏深度思考的激发点。未来可设计一些“陷阱题”或“一题多变”的中间环节，专门引发这部分学生的认知冲突和思辨。  （四）教学策略得失与理论归因。本