指向数感与推理能力发展的小学数学单元种子课教学设计-以“倍数与因数”为例

指向数感与推理能力发展的小学数学单元种子课教学设计——以“倍数与因数”为例一、教学内容分析  从《义务教育数学课程标准（2022年版）》审视，本课隶属于“数与代数”领域中的“数与运算”主题，是整数认识的一次重要飞跃。其知识图谱的核心在于建立倍数与因数这两个相互依存概念的精确数学定义，掌握求一个数的倍数与因数的方法，并初步感知其特性。这不仅是整除知识体系的基石，更是后续学习公因数、公倍数、分数通分约分乃至代数思维的逻辑起点，具有承前启后的枢纽地位。课标蕴含的学科思想方法主要体现为“从具体到抽象”的模型建构与“有序思考”的推理意识。教学活动需引导学生从操作整数乘法算式出发，剥离出倍数与因数的抽象关系模型，并在探究如何“不重不漏”地找出一个数的全部因数过程中，发展思维的条理性与严谨性。其素养价值深远指向“数感”与“推理意识”的培育：通过丰富的实例感知倍数与因数的“多”与“有限”，增强对数字之间内在关联的直觉；通过合情推理发现规律，通过演绎推理验证结论，实现逻辑思维能力的初步奠基。  五年级学生已熟练掌握整数乘除法运算，具备利用乘法口诀寻找乘积的丰富经验，这为理解概念提供了扎实的认知锚点。然而，从具体的“乘除运算”跨越到抽象的“关系概念”，是学生面临的首要认知障碍，易将“倍数”与“几倍”混为一谈，或将“因数”孤立看待。此外，在寻找一个数的全部因数时，学生思维易呈现无序、跳跃状态，难以自觉运用“成对寻找”的策略，这是本课的关键能力难点。基于此，教学将采用“概念形成”而非“概念同化”的路径，设计层层递进的探究任务，让概念在操作与辨析中自然生长。课堂中将通过观察学生的举例质量、倾听小组讨论中的逻辑表述、分析探究单的完成情况等形成性评价手段，动态诊断学习进程。针对理解较快的学生，将引导其深入探究倍数与因数的特性及内在联系；针对需要支持的学生，将通过提供可视化工具（如点子图、矩阵图）和“脚手架”问题，帮助其建立具体与抽象间的联系。二、教学目标  知识目标：学生能准确表述倍数与因数的意义，理解两者之间相互依存的关系；能有序、完整地求出一个数的所有因数和指定范围内的倍数；能依据概念正确判断两个数是否存在倍数与因数关系，并能举例说明。  能力目标：在探索求一个数的因数与倍数方法的过程中，学生能自觉运用有序思考的数学方法，发展思维的条理性和完整性；能在具体情境中抽象出倍数与因数的数学关系，并运用该模型解释或解决简单实际问题，初步形成模型意识。  情感态度与价值观目标：在合作探究与交流分享中，学生能乐于倾听同伴见解，敢于质疑与补充，体验数学探究的乐趣与严谨求实的科学态度；通过感受数字间丰富而有序的联系，激发对数学内在规律的好奇心与探索欲。  科学（学科）思维目标：重点发展学生的抽象思维与推理意识。通过从大量算式中归纳共性的活动，经历从具体实例抽象出数学概念的思维过程；通过探究因数个数的有限性与倍数个数的无限性，经历从特殊案例进行合情推理并尝试概括一般规律的思维训练。  评价与元认知目标：引导学生使用“有序、完整”的标准来评价自己或同伴寻找因数、倍数的过程与结果；在课堂小结环节，能反思本课学习路径（从具体例子→抽象概念→方法探究→应用拓展），初步形成结构化总结学习内容的能力。三、教学重点与难点  教学重点：理解倍数与因数的意义及其相互依存的关系，掌握求一个数的因数和倍数的方法。确立依据在于：从课标要求看，此二者是构建整数关系知识网络的“大概念”，是后续学习的逻辑核心；从学科能力看，求一个数的因数和倍数的过程，是训练有序思考、培养推理意识的绝佳载体，此能力具有广泛的迁移价值。  教学难点：有序、不重不漏地找出一个数的所有因数，以及理解倍数与因数的关系是对于特定整数乘法算式而言的。难点成因在于：前者需要学生克服思维的发散性与随机性，自主建构“从1试起，成对寻找”的方法论，这对逻辑条理性要求较高；后者涉及对概念成立前提的把握，学生容易脱离具体的乘法情境空谈关系，造成概念泛化。预设将借助几何直观（如拼长方形）与结构化板书，帮助学生突破难点。四、教学准备清单  1.教师准备  1.1媒体与教具：交互式课件（内含探究任务、动画演示）；“因数探寻卡”（用于拼摆探究）；板书记划（预留概念区、方法区、例子区）。  1.2学习材料：分层探究学习单；课堂巩固练习卡。  2.学生准备  复习乘法口诀；准备铅笔、直尺等文具。  3.环境布置  学生46人异质分组，便于合作探究与互助。五、教学过程第一、导入环节  1.情境创设与旧知唤醒：“同学们，我们每个人在生活中都有各种各样的关系，比如‘师生关系’、‘同学关系’。那么，数字与数字之间，是否也存在某种有趣的‘关系’呢？”呈现算式：3×4=12。提问：“这是一个非常熟悉的乘法算式，你能从这个算式中看出数字3、4和12之间有什么特殊关系吗？大家先别急着下结论，让我们带着这个问题开始今天的数学探索之旅。”  1.1路径明晰：“今天，我们将一起扮演‘数学关系侦探’，首先从一个个乘法算式中发现秘密，然后为这种关系命名，最后还要学会如何有策略地找出具有这种关系的所有数字。准备好了吗？”第二、新授环节  任务一：概念初探——从算式中抽象关系  教师活动：首先，引导学生聚焦算式3×4=12。提问：“如果从‘乘积’的角度看，12是3和4相乘的结果。如果我们换个视角，只关注这些整数本身，你能说12和3之间有什么关系？12和4呢？”接着，提供一组算式卡片（如2×6=12，1×12=12），让学生在小组内仿照说法进行描述。然后，收集学生的多种描述（如“12是3的4倍”、“12能被3整除”），并引导比较：“这些说法都指向了同一个核心关系，在数学上我们如何简洁、统一地表达呢？”最后，揭示概念：在整数乘法中，乘积是乘数的倍数，乘数是乘积的因数。并重点强调：“一定要说清楚谁是谁的倍数，谁是谁的因数，它们是一对‘好朋友’，不能单独存在。”  学生活动：观察教师提供的算式，尝试用不同的语言描述三个数之间的关系。在小组内利用算式卡片进行更多的举例和表述练习。聆听教师讲解，理解倍数与因数概念的由来及其相互依存性。尝试用规范的语言复述，如“12是3和4的倍数，3和4是12的因数”。  即时评价标准：1.描述是否基于给定的乘法算式。2.能否初步理解“相互依存”的含义，在表达时是否体现“谁是谁的”。3.小组交流时，能否倾听并借鉴同伴的合理表述。  形成知识、思维、方法清单：  ★倍数与因数的定义：在整数乘法算式a×b=c(a,b,c均为非零自然数)中，c是a和b的倍数，a和b是c的因数。（教学提示：务必强调定义的“前提”是整数乘法算式，这是概念的根。）  ★关系的相互依存性：倍数和因数是成对出现的，表述时必须完整。例如，不能说“12是倍数”，而要说“12是3的倍数”。（认知说明：这是克服概念模糊的关键。）  ▲与“倍”的联系与区别：“几倍”表示一种运算结果，而“倍数”表示两个数之间的一种关系。  任务二：概念辨析——巩固理解与正反例判断  教师活动：组织“判断与说理”活动。出示判断题：①因为24÷8=3，所以24是8的倍数。②因为5×1.2=6，所以6是5的倍数。③4是因数。提问：“这些说法都对吗？理由是什么？”引导学生运用定义进行辨析。对于第①题，肯定其正确，并建立除法与乘法联系：如果a÷b=c（a,b,c是自然数且无余数），那么a就是b和c的倍数。对于第②、③题，要求学生找出错误原因。追问：“你能自己出一个正确的例子和一个错误的例子考考同桌吗？”  学生活动：独立思考判断，并准备理由。参与全班交流，清晰地陈述判断依据。与同桌互相出题、评判，在举例和辨析中加深对概念前提（整数、乘法/整除）和表述完整性的理解。  即时评价标准：1.判断是否准确。2.说理是否紧扣“整数乘法算式”这一核心定义。3.自编题目是否科学，能否发现同桌错误。  形成知识、思维、方法清单：  ★定义的等价形式：如果整数a能被整数b(b≠0)整除（即a÷b=c，商为整数无余数），那么a就是b的倍数，b就是a的因数。（教学提示：沟通乘除法，拓宽判定思路。）  ▲概念成立的边界：倍数与因数的研究范围一般在非零自然数内。小数乘法等情况不适用。（认知说明：明确外延，避免后续混淆。）  ★易错点警示：脱离具体对象单独说“是倍数”或“是因数”是错误的；算式中存在小数时，不能直接套用概念。  任务三：方法探究（一）——如何有序找出一个数的所有因数  教师活动：提出挑战性问题：“我们已经知道3和4是12的因数，那12还有其他因数吗？怎样才能一个不落地找出12的所有因数？”发放“因数探寻卡”（印有12个小正方形），引导学生思考：“如果用12个同样的小正方形拼成一个长方形，可以怎么拼？每排摆几个，摆几排？这个‘摆法’和‘因数’有什么关系？”组织学生动手操作或画图。然后，引导学生将摆法用乘法算式表示（1×12,2×6,3×4），并对应写出因数。提问：“为了不重复不遗漏，我们该怎么有顺序地找？”启发学生发现可以从“1”开始试，找到的因数是成对出现的。板书呈现有序寻找的过程。  学生活动：利用学具进行操作或画图探究，尝试用不同的长方形拼摆表示12。将每一种拼法转化为乘法算式，并记录找到的因数对。观察、讨论寻找的顺序，发现“从1开始，一对一对地找”的规律。尝试用此方法独立找出16的全部因数。  即时评价标准：1.操作或画图是否有序。2.能否将几何操作与算术算式、因数概念有效关联。3.寻找16的因数时，是否能有条理地列举。  形成知识、思维、方法清单：  ★找一个数的因数的方法：从1开始，依次试除，看哪两个整数的乘积等于这个数，这两个整数就是它的因数。一直找到因数重复或接近为止。（教学提示：方法是“有序思考”这一核心数学思想的具体体现。）  ★因数的特性：一个数的最小因数是1，最大因数是它本身；因数的个数是有限的。（认知说明：引导学生通过大量例子观察归纳。）  ▲几何直观的运用：利用“拼长方形”模型，可以将抽象的因数寻找过程可视化，帮助理解“成对出现”。  任务四：方法探究（二）——如何寻找一个数的倍数  教师活动：转换视角：“我们已经会找‘积’的因数了，那反过来，如何找出一个数（比如2）的倍数呢？”鼓励学生根据定义逆向思考：“2的倍数，就是哪些整数除以2商是整数，或者说，是2和哪些自然数相乘的积？”让学生尝试写出几个2的倍数。提问：“你能写完2的倍数吗？它有多少个？”引导学生发现倍数的个数是无限的，可以用省略号表示。然后，探讨如何有序地寻找：用这个数依次乘1、2、3、4……。对比因数与倍数的找法和结果数量的不同，引导学生初步感知两者差异。  学生活动：根据倍数的定义，尝试列举2的倍数（如2,4,6,8…）。在列举中感受其无限性。总结寻找倍数的方法：用这个数依次乘以自然数。对比因数与倍数的寻找过程与结果，讨论两者的区别。  即时评价标准：1.写出的倍数是否准确、连续。2.能否理解并表达出倍数的无限性。3.能否清晰说出寻找倍数的方法。  形成知识、思维、方法清单：  ★找一个数的倍数的方法：用这个数依次乘以1、2、3、4……，所得的积都是这个数的倍数。（教学提示：强调“依次乘”保证有序和完整。）  ★倍数的特性：一个数的最小倍数是它本身，没有最大倍数；倍数的个数是无限的。（认知说明：与因数特性对比记忆，深化理解。）  ★因数与倍数的核心对比：因数关注“能整除谁”，个数有限；倍数关注“是谁的整数倍”，个数无限。（教学提示：此对比是构建知识结构的重要节点。）第三、当堂巩固训练  基础层（全员必做）：1.说一说。根据算式4×5=20，说出谁是谁的倍数，谁是谁的因数。2.找一找。写出18的全部因数；写出5的倍数（5个）。3.判一判。判断“9是倍数”、“因为4÷0.8=5，所以4是0.8的倍数”等说法的正误。  综合层（多数学生完成）：1.一个长方形面积是24平方厘米，且长和宽都是整厘米数，这样的长方形有几种？请列举（关联因数寻找）。2.猜数游戏：我的最大因数和最小倍数都是16，我是谁？我的最小倍数是15，我可能是哪些数？  挑战层（学有余力选做）：探究：为什么完全平方数（如1,4,9,16…）的因数个数是奇数个？请尝试用“拼长方形”或“成对寻找”的原理来解释。  反馈机制：基础层练习通过同桌互查、全班核对快速反馈。综合层练习进行小组讨论后，教师选取有代表性的解答进行投影展示与点评，重点讲解解题思路与概念运用。挑战层问题作为课后思考点，鼓励学生在班级数学角分享探究结果。第四、课堂小结  引导学生进行结构化总结：“同学们，今天我们这趟‘数学关系侦探’之旅即将到站。回顾一下，我们是怎么一步步揭开‘倍数与因数’秘密的？”鼓励学生用思维导图或关键词的形式，梳理从“具体算式抽象概念”→“辨析理解巩固概念”→“探索方法（找因数、找倍数）”→“对比发现特性”的学习路径。提问：“在‘找因数’和‘找倍数’的过程中，最关键的一种数学思想是什么？（有序思考）你觉得自己掌握得怎么样？”布置分层作业：必做——完成练习册基础题；绘制本节课知识结构图。选做——（1）寻找你的学号数的所有因数。（2）阅读关于“完美数”的数学小故事，并记录感想。六、作业设计  基础性作业（巩固核心）：1.完成教材配套练习中关于概念判断、找一个数的因数与倍数的基本习题。2.整理课堂笔记，用自己的话向家长解释“倍数”和“因数”是什么意思。  拓展性作业（情境应用）：设计一份“我的数字名片”。选择一个你喜欢的数字（20以内），名片内容需包括：这个数的所有因数、它的5个倍数、它和另一个数字的倍数/因数关系说明。  探究性/创造性作业（开放延伸）：1.探究报告：研究数字“6”和“28”。找出它们的所有因数（除了自身），将这些因数加起来，你有什么发现？查阅资料，了解什么是“完美数”。2.数学创作：创作一首短诗或一幅画，表现“倍数”的无限性与“因数”的有限性这一对矛盾又统一的特点。七、本节知识清单及拓展  ★1.倍数与因数的定义：在整数乘法算式a×b=c(a,b,c均为非零自然数)中，我们说c是a和b的倍数，a和b是c的因数。定义是判断两个数是否存在倍数因数关系的唯一标准。  ★2.定义的等价表述（除法视角）：如果整数a能被整数b(b≠0)整除（即a÷b的商是整数且无余数），那么a就是b的倍数，b就是a的因数。这沟通了乘除法的内在联系。  ▲3.研究范围：一般只在非零自然数范围内讨论倍数与因数。小学阶段通常不考虑0、负数、小数和分数的情况。  ★4.关系的相互依存性与表述规范：倍数和因数不能独立存在，必须成对出现。表述时必须完整，指明“谁是谁的”。例如，“12是倍数”是错误的，“12是3的倍数”是正确的。  ★5.找一个数的因数的方法（有序思考）：从1开始，依次试除，直到商小于或等于除数。每找到一对，就记录两个因数。此法可确保不重复、不遗漏。  ★6.一个数因数的特性：最小因数是1；最大因数是它本身；因数的个数是有限的。  ▲7.拼长方形模型：用n个单位正方形拼长方形，每一种长和宽的组合，对应n的一对因数。该模型是理解“因数成对出现”的绝佳几何直观。  ★8.找一个数的倍数的方法：用这个数依次乘以自然数1,2,3,4……。书写时通常写出几个后加省略号表示无限。  ★9.一个数倍数的特性：最小倍数是它本身；没有最大倍数；倍数的个数是无限的。  ★10.因数与倍数的核心对比：二者概念互逆。找因数时“看谁能整除它”，结果有限；找倍数时“看它乘哪些数”，结果无限。这是理解两者区别的关键。  ▲11.完全平方数的因数个数：像4、9、16这样等于一个整数平方的数，其因数中有一对是相同的数（如4的因数2×2），导致其因数总个数为奇数个。  ▲12.拓展：完美数：一个数如果恰好等于它本身之外的所有因数之和，这个数就叫“完美数”。如6=1+2+3。这是数论中一个有趣的话题，体现了数字自身和谐的美。八、教学反思  （一）目标达成度分析本节课预设的核心知识目标达成度较高，绝大多数学生能规范表述概念并掌握基本方法。证据体现在巩固练习基础层的正确率及课堂问答的准确性上。能力目标中，“有序思考”在寻找因数环节落实较为扎实，学生能主动运用“从1开始试”的策略；然而，将模型应用于新情境（如解决长方形边长问题）时，部分学生转换稍显迟缓，说明模型意识的建立非一蹴而就。情感目标在小组操作探究环节氛围积极，学生表现出较强的好奇心。  （二）教学环节有效性评估导入环节的“关系”类比起到了激发兴趣、铺垫概念依存性的作用。新授环节的四个任务链逻辑清晰：任务一通过多例归纳抽象定义，过程自然；任务二的正反例辨析力度强，有效夯实了概念基础，我听到有学生嘀咕：“原来必须说完整才行啊！”；任务三“拼长方形”的动手操作是最大亮点，它将抽象的数学思维可视化、