角平分线与垂直平分线练习

角平分线与垂直平分线练习在平面几何的世界里，角平分线与垂直平分线如同两位精准的“几何工匠”，它们以独特的性质，巧妙地分割着角与线段，也为我们解决各类几何问题提供了有力的工具。理解并熟练运用它们的性质，是深入几何学习的基础。本文将通过一系列具有代表性的练习，帮助读者巩固相关知识，提升解题能力。一、知识梳理：核心性质回顾在着手练习之前，让我们简要回顾一下角平分线与垂直平分线的核心性质，这是解决所有相关问题的基石。*角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。反之，到一个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。*垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。反之，到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。这些性质不仅揭示了“距离相等”这一关键特征，也建立了点与线（角的两边、线段的端点）之间的位置关系，是我们进行几何推理和计算的重要依据。二、基础巩固篇：从定义出发练习1：如图1，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，∠B=，∠C=。求∠BAD和∠ADC的度数。（提示：首先利用三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再根据角平分线的定义求出∠BAD。要求∠ADC，则可以在△ABD或△ADC中，利用三角形内角和或外角性质。）练习2：如图2，已知直线MN是线段AB的垂直平分线，垂足为点O，点P在MN上。若AB=，PA=，求PO的长度以及∠AOP的度数。（提示：垂直平分线的性质告诉我们PA=PB。在直角三角形AOP中，已知斜边PA和一条直角边AO（AO是AB的一半），可以利用勾股定理求出PO。）三、能力提升篇：性质的综合应用练习3：如图3，在△ABC中，AB=AC，∠A=。BD是∠ABC的平分线，交AC于点D。求证：AD=BC。（提示：首先根据等腰三角形的性质求出底角的度数，再利用角平分线的定义求出∠ABD和∠CBD的度数。此时，观察△ABD和△BCD的内角，尝试证明其中是否有等腰三角形，从而得出线段相等的关系。）练习4：如图4，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E是CD的中点，且AE⊥BE。求证：AB=AD+BC。（提示：遇到中点和垂直的条件，垂直平分线的性质或许能派上用场。考虑延长AE交BC的延长线于点F，利用中点和平行线的条件证明△ADE≌△FCE，从而得到AD=CF，AE=EF。此时，BE垂直平分AF，根据其性质可得AB=BF，问题便迎刃而解。）四、拓展思考篇：探索与发现练习5：已知平面上有三个点A、B、C，不在同一条直线上。请用尺规作图的方法，找到一个点P，使得点P到A、B两点的距离相等，且到∠ACB的两边距离相等。这样的点P有几个？（提示：这是一个轨迹交点问题。到A、B两点距离相等的点的轨迹是线段AB的垂直平分线；到∠ACB两边距离相等的点的轨迹是∠ACB的平分线。那么，所求点P就是这两条轨迹的交点。）练习6：在△ABC中，AB=，AC=，BC=。若要在BC边上找到一点D，使得点D到AB和AC的距离相等，求出点D到B点的距离。（提示：到AB和AC距离相等的点D在∠BAC的平分线上。设BD=x，则DC=BC-x。利用角平分线的性质（角平分线上的点到角两边距离相等），以及三角形面积公式，或许能建立关于x的方程。例如，分别表示出△ABD和△ACD的面积，它们的和等于△ABC的面积，而这两个小三角形的高（即D到AB、AC的距离）相等。）五、练习小结与提示解决与角平分线和垂直平分线相关的问题，关键在于准确理解和灵活运用它们的性质。在解题时，建议：1.仔细审题，标记已知条件：将题目中的已知角、已知线段、角平分线、垂直平分线等信息清晰地标在图形上，有助于直观分析。2.联想性质，搭建桥梁：看到角平分线，要想到“到两边距离相等”；看到垂直平分线，要想到“到两端点距离相等”。这些性质往往是连接已知与未知的桥梁。3.辅助线添加：在复杂问题中，适当添加辅助线是常用手段。例如，遇到角平分线，可尝试向角的两边作垂线；遇到垂直平分线，可连接线上一点与线段两端点。4.综合运用，多方思考：几何问题往往需要综合运用多种知识，如三角形内角和、全等三角形、等腰三角形、勾股定理等，要学会融会贯通。希望通过以上练习，能帮助你更好地掌握角平分线与垂直平分线的知识，提升几何推理能力。记住，熟能生巧，多思