华东师大版八年级数学下册“将军饮马模型”专题讲义及解析

各位同学，大家好！在初中几何的学习中，我们常常会遇到一类求解最短路径的问题。这类问题看似复杂，但很多都可以通过一个经典的几何模型得到巧妙解决，这就是我们今天要深入探讨的“将军饮马”模型。它不仅蕴含着丰富的几何思想，更是历年期中、期末考试乃至中考的热门考点。掌握它，将为我们解决同类问题打开一扇便捷之门。一、“将军饮马”的由来与模型构建“将军饮马”这个有趣的名字，源自一个古老的数学问题：相传，一位将军从军营A出发，先到河边饮马，然后再回到营地B。他想知道，怎样走才能使总的路程最短？这个问题的本质，是在一条直线（河岸）上寻找一个点（饮马点P），使得该点到直线同侧两个定点（A、B营地）的距离之和（PA+PB）最小。核心思想：化折为直，利用轴对称我们不妨这样思考：要找到点P，使得PA+PB最小。直接连接A、B，线段AB与直线l没有交点（因为A、B在同侧），所以PA+PB并非线段AB的长度。那么，能否将其中一个点“搬到”直线l的另一侧，使得问题变得简单呢？关键步骤：1.作对称点：任选一个定点（例如A），作出它关于直线l的对称点A'。2.连接对称点与另一定点：连接A'与B，线段A'B与直线l的交点P，即为所求的饮马点。3.依据：根据轴对称的性质，我们知道PA=PA'。因此，PA+PB=PA'+PB。而A'、P、B三点共线时，PA'+PB=A'B，根据“两点之间线段最短”，此时A'B的长度就是PA+PB的最小值。这就是“将军饮马”模型的核心思路——通过轴对称变换，将折线PA+PB转化为直线段A'B，从而利用“两点之间线段最短”的基本事实求出最小值。二、“将军饮马”模型的常见类型与应用举例“将军饮马”模型并非只有上述一种简单情形，它有多种变形，但其核心思想始终是利用轴对称实现“化折为直”。下面我们介绍几种八年级阶段常见的类型。类型一：两定点在直线同侧（基本模型）这就是我们刚刚阐述的“将军饮马”原始问题。例题1：如图，已知直线l和直线l同侧的两点A、B。请在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小。（*此处应有示意图：直线l，同侧两点A、B*）解析：1.作点A关于直线l的对称点A'。2.连接A'B，交直线l于点P。3.点P即为所求。此时PA+PB=A'B，为最小值。证明思路：在直线l上任取异于P的一点P'，连接P'A、P'A'、P'B。由于A、A'关于l对称，所以PA=PA'，P'A=P'A'。则PA+PB=PA'+PB=A'B，P'A+P'B=P'A'+P'B。在△P'A'B中，P'A'+P'B>A'B（三角形两边之和大于第三边），所以PA+PB<P'A+P'B。因此，P点使得PA+PB最小。类型二：两定点在直线异侧如果两定点分别在直线的两侧，那么问题就更简单了。问题：已知直线l和直线l异侧的两点A、B。请在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小。思路：此时，直接连接A、B两点，线段AB与直线l的交点P，即为所求。因为两点之间线段最短，PA+PB=AB。这可以看作是“将军饮马”模型的一种特殊情况，或者说是理解基本模型的基础。类型三：一个动点在两条直线上（造桥选址问题的简化）有时，我们会遇到动点需要在两条不同的直线上运动的情况，或者说，问题可以转化为类似的模型。例题2：如图，牧马人从A地出发，先到草地l1的某一位置牧马，再到河边l2饮水，然后回到B地。请问他怎样走才能使总路程最短？（*此处应有示意图：A、B两点，两条相交或平行直线l1（草地）、l2（河边）*）分析：这个问题可以理解为，牧马人需要经过两个动点P（在l1上）和Q（在l2上），使得AP+PQ+QB最短。核心思路：可以通过两次轴对称变换，将折线AP+PQ+QB转化为直线段。解析：1.作点A关于直线l1的对称点A'。2.作点B关于直线l2的对称点B'。3.连接A'B'，分别交l1于点P，交l2于点Q。4.连接AP、PQ、QB。此时，AP+PQ+QB=A'P+PQ+QB'=A'B'，为最小值。依据：同样是利用轴对称的性质（AP=A'P，QB=QB'）和“两点之间线段最短”。类型四：对称轴为多边形的边或角平分线有时，对称轴可能不是一条简单的直线，而是多边形的一条边或者一个角的平分线。我们需要灵活识别对称轴，并运用模型思想。例题3：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，E是AB上一点，F是AD上一动点。请问F在何处时，EB+EF的值最小？（*此处应有示意图：等腰△ABC，AD为顶角平分线，E为AB上一点*）分析：因为AD是∠BAC的平分线，根据等腰三角形“三线合一”的性质，AD也是BC的垂直平分线，所以点B、C关于AD对称。因此，EB+EF可以转化为EC+EF（因为EB=EC）。要求EB+EF最小，即求EC+EF最小。F是AD上的动点，E是定点，C是定点。所以，当F运动到EC与AD的交点时，EC+EF=EC，此时最小（因为F在EC上，EF+FC=EC，而EB+EF=EC+EF-FC？不，这里直接看，因为B和C关于AD对称，所以FB=FC。那么EB+EF=EF+FB。要求EF+FB最小，F在AD上，E、B为定点。这不就是“两定点E、B在直线AD同侧，在AD上找F使EF+FB最小”的基本模型吗？对，这样更直接。）解析：1.因为AD是∠BAC的平分线，且AB=AC，所以点B、C关于AD对称。2.连接EC，交AD于点F。3.点F即为所求。此时EB+EF=EF+FB=EC（因为FB=FC，所以EF+FB=EF+FC=EC）。依据：利用AD是对称轴，B、C对称，将FB转化为FC，从而将EF+FB转化为EF+FC，当E、F、C三点共线时，EF+FC=EC最短。三、“将军饮马”模型的解题策略与技巧提炼通过以上几种类型的探讨，我们可以总结出运用“将军饮马”模型解决最短路径问题的一般思路与技巧：1.明确目标：清楚题目要求的是哪几条线段之和（或差）的最值。2.识别定点与动点：区分问题中的定点（位置固定的点）和动点（位置变化的点，通常在某条直线或曲线上运动）。3.确定对称轴：动点所在的直线往往就是我们要找的对称轴。4.作对称点：选择合适的定点，作出它关于对称轴的对称点。通常是将折线的“折点”通过对称进行转化。5.连接对称点，找交点：连接对称点与另一个相关的定点，所得线段与对称轴的交点，即为所求的动点位置。6.验证依据：最终的依据往往回归到“两点之间线段最短”或“三角形两边之和大于第三边”（用于证明最小值）。口诀（帮助记忆）：“两定点，一直线，同侧两点求最短。作对称，连线段，交点即为所求点。轴对称，是桥梁，化折为直思路清。线段短，原理简，两点之间线段连。”四、巩固练习与拓展思考为了更好地掌握“将军饮马”模型，下面提供几道练习题，请同学们尝试独立完成。练习1：如图，直线l外有两点A、B，且A、B在l的同侧。请在l上找一点P，使得PA+PB最小。（基础题，检验基本模型掌握情况）练习2：已知点A(1,2)，B(4,5)，在x轴上找一点P，使得PA+PB的值最小，并求出点P的坐标及PA+PB的最小值。（结合平面直角坐标系，提升应用能力）练习3：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，点D为AC的中点，点E为AB上一动点。求EC+ED的最小值。（综合应用，涉及等腰直角三角形性质）拓展思考：如何在两条相交直线上分别找到一个点，使得这两个点与两个定点连接形成的路径最短？（提示：可以考虑两次轴对称变换）五、总结与感悟“将军饮马”模型不仅仅是一个解题工具，它更向我们展示了几何变换的神奇魅力——通过轴对称，我们可以将看似复杂的折线问题转化为我们熟悉的直线问题，从而化繁为简，迎刃而解。在学习过程中，我们要深刻理解其“化折为直”的核心思想，而不是死记硬背模型。要多观察、多思考、多总结，善于从不同的题目中发现“将军饮马”模型的影子，并能灵