2005年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（全国卷Ⅱ.文）高考数学（含答案）

2005年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（全国卷Ⅱ.文）高考数学【含答案】2/22005年普通高等学校招生全国统一考试文科数学第Ⅰ卷参考公式：如果事件A、B互斥，那么球的表面积公式P（A+B）=P（A）+P（B）S=4πR2如果事件A、B相互独立，那么其中R表示球的半径P（A·B）=P（A）·P（B）球队的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么V=πR3n次独立重复试验中恰好发生k次的概率其中R表示球的半径一、选择题（1）函数f(x)=|sinx+cosx|的最小正周期是(A)(B)(C)π(D)2π(2)正方体ABCD-A1B1C1D1中，P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点。那么，正方体的过P、Q、R截面图形是(A)三角形(B)四边形(C)五边形(D)六边形（3）函数y=x2-1(x≤0)的反函数是(A)y=(x≥-1)(B)y=-(x≥-1)(C)y=(x≥0)(D)y=-(x≥0)（4）已知函数y=tanωx在(-,)内是减函数，则（A）0<ω≤1(B)-1≤ω<0(C)ω≥1(D)ω≤-1(5)抛物线x2=4y上一点A的纵坐标为4，则点A与抛物线焦点的距离为（A）2（B）3（C）4（D）5(6)双曲线的渐近线方程是（A）y=±x(B)y=±(C)y=±x(D)y=±x(7)如果数列是等差数列，则（A）a1+a8<a4+a5(B)a1+a8=a4+a5（C）a1+a8>a4+a5(D)a1a8=a4a5(8)(x-y)10的展开式中x6y4项的系数是（A）840（B）-840（C）210（D）-210（9）己知点A（，1），B（0，0），C（，0）.设∠BAC的平分线AE与BC相交于E，那么有=λ，其中λ等于（A）2（B）（C）-3（D）-（10）己知集合M={x|-4≤x≤7},N={x|x2-x-6>0},则M∩N为（A）{x|-4≤x<-2或3<x≤7}(B){x|-4<x≤-2或3≤x<7}(C){x|x≤-2或x>3}(D){x|x<-2或x≥3}（11）点P在平面上作匀速直线运动，速度向量ν=（4，-3）（即点P的运动方向与ν相同，且每秒移动的距离为|ν|个单位）.设开始时点P的坐标为（-10,10）,则5秒后点P的坐标为（A）（-2，4）（B）（-30，25）（C）（10，-5）（D）（5，-10）（12）△ABC的顶点B的平面α内，A、C在α的同一侧，AB、BC与α所成的角分别是30°和45°。若AB=3，BC=4，AC=5，则AC与α所成的角为（A）60°（B）45°（C）30°（D）15°第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。（13）在之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为_________________。（14）圆心为（1，2）且与直线5x-12y-7=0相切的圆的方程为_________________.(15)在数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有__个。（16）下面是关于三棱锥的四个命题：①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥。②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥。③底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥。④侧棱与底面所成的角都相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥。其中，真命题的编号是_____________________.（写出所有真命题的编号）三．解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分12分）己知α为第二象限的角，sinα=，β为第一象限的角，cosβ=，求tan（2α-β）的值。（18）（本小题满分12分）甲、乙两队进行一场排球比赛，根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6。本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束，设各局比赛相互间没有影响，求（Ⅰ）前三局比赛甲队领先的概率；（Ⅱ）本场比赛乙队以3:2取胜的概率。（精确到0.001）（19）（本小题满分12分）已经知{an}是各项为不同的正数的等差数列lga1、lga2、lga4成等差数列.又bn=,n=1,2,3,……。（Ⅰ）证明{bn}为等比数列；（Ⅱ）如果数列{bn}前3项的和等于，求数列{an}的首项a1和公差d。（20）（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD=PD，E、F分别为CD、PB的中点。（Ⅰ）求证：EF⊥平面PAB；（Ⅱ）设AB=BC，求AC与平面AEF所成的角的大小。（21）（本小题满分12分）设α为实数，函数f(x)=x3-x2-x+a.（Ⅰ）求f(x)的极值；（Ⅱ）当a在什么范围内取值时，曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点。（22）（本小题满分14分）P、Q、M、N四点都在椭圆x2+=1上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点。己知与共线，与共线，且·=0。求四边形PMQN的面积的最小值和最大值。参考答案一、1-5CDBBD6-10CBACA11-12CC二、13.21614.(x-1)2+(y-2)2=415.19216.①，④三、（17）本小题主要考查有关角的和、差、倍的三角函数的基本知识，以及分析能力和计算能力，满分12分解法一：tan(2α-β)=2分a为第二象限的角，sinα=，所以cosα=-tanα=所以tan2α=6分β为第一象限的角，cosβ=，所以sinβ==，tanβ=10分所以tan(2α-β)=.12分解法二：α为第二象限角，sinα=，所以cosα=-β为第一象限的角，cosβ=，所以sinβ==，3分故sin2α=2sinαcosα=.6分cos2α=1-2sin2α=,sin(2α-β)=sin2αcosβ-cos2αsinβ=-.cos(2α-β)=cos2αcosβ+sin2αsinβ10分=所以tan(2α-β)=.12分18.本小题主要考查相互独立事件概率的计算，运用概率知识解决实际问题的能力，满分12分。解：单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6，乙队胜甲队的概率为1-0.6=0.4。（Ⅰ）记“甲队胜三局”为事件A，“甲队胜二局”为事件B，则P（A）=0.63=0.2164分P（B）=C×0.62×0.4=0.4326分所以，前三局比赛甲队领先的概率为P(A)+P(B)=0.648（Ⅱ）若本场比赛乙队3:2取胜，则前四局双方应以2:2战平，且第五局乙队胜。所以，所求事件的概率为C×0.42×0.62×0.4=0.13812分（19）本小题主要考查等差数列，等比数列的基本知识以及运用这些知识的能力，满分12分。（Ⅰ）证明：∵lga1、lga2、lga4成等差数列，∴2lga2=lga1+lga4，即即a=a1·a42分又设等差数列{an}的公差为d，则(a1+d)2=a1(a1+3d),这样d2=a1d从而d(d-a1)=04分∵d≠0∴d=a1≠0=a1+(2n-1)d=2ndbn==这时{bn}是首项b1=，公式为的等比数列。8分（Ⅱ）解：∵b1+b2+b3=(1++)=，∴d=3,所以a1=d=312分（20）本小题主要考查直线与平面垂直、直线与平面所成角的有关知识，及思维能力和空间想象能力，考查应用向量知识解决数学问题的能力，满分12分。方法一：（Ⅰ）证明：连结EP，∵PD⊥底面ABCD,DE在平面ABCD内，∴PD⊥DE，又CE=ED，PD=AD=BC。∴Rt△BCE≌Rt△PDE。∴PE=BE。∵F为PB中点。∴EF⊥PB由三垂线定理得PA⊥AB，∴在Rt△PAB中PF=AF，又PE=BE=EA。∴△EFP≌△EFA。∴EF⊥FA.2分∵PB、FA为面平PAB内的相交直线。∴EF⊥平面PAB。6分（Ⅱ）解：不妨设BC=1，则AD=PD=1。AB=,PA=，AC=∴△PAB为等腰直角三角形，且PB=2，F为其斜边中点，BF=1，且AF⊥PB。∵PB与平面AEF内两条相交直线EF、AF都垂直，∴PB⊥平面AEF.连结BE交AC于G，作GH∥BP交EF于H，则GH⊥平面AEF∠GAH为AC与平面AEF所成的角。9分由△EGH∽△BGA可知EG=GB，EG=EB，AG=AC=.由△EGH∽△EBF可知GH=BF=.∴sin∠GAH==.∴AC与平面AEF所成的角为arcsin12分方法二：以D为坐标原点，DA的长为单位，建立如图所示的直角坐标系.（Ⅰ）证明：设E（a，0，0）其中a>0，则C（2a，0，0），A（0，1，0）B（2a，1，0），P（0，0，1），F（a，，）.=（0，，），=（2a，1，-1），=（2a，0，0）。·=0，∴EF⊥PB.3分·=0，∴EF⊥AB又PB平面PAB，AB平面PAB，PB∩AB=B.∴EF⊥平面PAB.6分（Ⅱ）解：由AB=BC，得a=.可得=（，-1，0），=（，1，-1）cos<,>==,异面直线AC、PB所成的角为arccos.9分=（，-，）.∴·=0,PB⊥AF.又PB⊥EF，EF、AF为平面AEF内两条相交直线,即AC与平面AEF所成的角为arcsin.12分（21）本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力，满分12分。解：（Ⅰ）f’(x)=3x2-2x-1若f’(x)=0，则x=-,1.当x变化时，f’(x),f(x),变化情况如下表：x(-∞,-)-(-,1)1(1,+∞)f'(x)+0-0+f(x)↗极大值↘极小值↗所以f(x)的极大值是f（-）=+a，极小值是f(1)=a-1.（Ⅱ）函数f(x)=x3-x2-x+a=(x-1)2(x+1)+a-1由此可知x取足够大的正数时，有f(x)>0，x取足够小的负数时有f(x)<0，所以曲线y=f(x)与x轴至少有一个交点。结合f(x)的单调性可知：当f(x)的极大值+a<0，即a∈(-∞,-)时，它的极小值也小于0，因此曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点，它在（1,+∞）上；当f(x)的极小值a-1>0，即a∈(1,+∞）时，它的极大值也大于0，因此曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点，它在（-∞,-）上。所以当a∈(-∞,-)∪(1,+∞)时，曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点.12分（22）本小题主要考查椭圆和直线的方程与性质，两条直线垂直的条件，两点间的距离，不等式的性质等基本知识及综合分析能力。满分14分。解：如图，由条件知MN和PQ是椭圆的两条弦，相交于焦点F（0，1），且PQ⊥MN，直线PQ、MN中至少有一条存在斜率，不妨设PQ的斜率为k，又PQ过点F（0，1），故PQ方程为y=kx+1将此式代入椭圆方程得(2+k2)x2+2kx-1=0设P、Q两点的坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2)，则x1=，x2=从而|PQ|2=（x1-x2）2+(y1-y2)2=