第04讲 菱形的性质和判定（知识解读+例题精讲+随堂检测）（解析版） 初中数学人教版（2024）八年级下册

第04讲菱形的性质和判定考点1：菱形的概念和性质考点2：菱形的面积考点3：菱形的判定考点4：菱形的性质与判定综合重点：（1）菱形性质的应用（2）菱形的判定（3）菱形性质与判定的互逆应用难点：（1）性质混淆：易与矩形对角线性质混淆（菱形对角线垂直，矩形对角线相等）。（2）判定易错点：忽略判定前提，如直接用“对角线垂直”证菱形，未先证平行四边形。（3）综合应用：结合对角线性质构造直角三角形，求解边长、角度；添加辅助线（连对角线）转化问题知识点1：菱形的性质菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。※菱形的性质：（1）具有平行四边形的性质且四条边都相等（3）两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。注意：菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。【题型1利用菱形的性质求角度】【典例1】如图为汽车常备的一种千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形ABCD，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变∠BCD的大小（菱形的边长不变）．当∠BCA=26°时，则∠ADC的度数为（

）A．26° B．52° C．128° D．154°【答案】C【分析】本题考查了菱形的性质，菱形中对角线的平分的性质是解决本题的关键．由菱形的性质可知，菱形的对角线互相平分每组对角，即可求∠DCA的度数，再由菱形中∠BCD+∠ADC=180°即可求解．【详解】解：在菱形ABCD中，因为∠BCA=26°，所以∠DCA=∠BCA=26°，即∠BCD=52°，又因为在菱形中，BC∥AD，所以∠BCD+∠ADC=180°，可得∠ADC=180°−∠BCD=180°−52°=128°，所以∠ADC的度数为128°．故选：C．【变式1】如图，在菱形ABCD中，∠D=132°，则∠1的度数为（

）A．132° B．66° C．48° D．24°【答案】D【分析】本题考查菱形性质求角度，涉及菱形邻角互补、菱形对角线平分对角等知识，先由菱形邻角互补求出∠DAB，再由菱形对角线平分对角求解即可得到答案．熟记菱形性质是解决问题的关键．【详解】解：在菱形ABCD中，∠D=132°，则∠DAB=180°−132°=48°，∵AC是菱形ABCD一条对角线，∴AC平分∠DAB，则∠1=1故选：D．【变式2】如图，在菱形ABCD中，连接AC，过点B作BO⊥AC．若∠DAC=36°，则∠OBC的度数为（

）A．36° B．54° C．56° D．64°【答案】B【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，解题的关键是掌握菱形的性质．根据菱形的性质可得AD∥BC，推出∠OCB=∠DAC=36°，结合BO⊥AC，即可求解．【详解】解：∵四边形是ABCD菱形，∴AD∥BC，∴∠OCB=∠DAC=36°，∵BO⊥AC，∴∠BOC=90°，∴∠OBC=90°−∠OCB=54°，故选：B．【变式3】如图，在菱形ABCD中，点E为对角线BD上的一点，且DE=AB．连接AE，若∠ABC= 80°，则∠AED的度数为（A．40° B．50° C．70° D．80°【答案】C【分析】本题考查了菱形的性质及等腰三角形的性质，先根据菱形的性质得出AB=AD，∠ABC=∠ADC=80°，BD平分∠ABC和∠ADC，再由DE=AB得出DE=AD，从而利用等腰三角形等边对等角得出∠AED的度数．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，∠ABC=∠ADC=80°，BD平分∠ABC和∠ADC，即∠ADE=∠EDC=1又∵DE=AB，∴DE=AD，∴∠EAD=∠AED=1故选：C．【题型2根据菱形的性质求线段长】【典例2】如图，在菱形ABCD中，AC与BD交于点O，若AC=8，BD=6，则该菱形ABCD的周长是(

)

A．20 B．24 C．25 D．48【答案】A【分析】本题考查了勾股定理，菱形的性质；根据菱形对角线互相垂直平分的性质，可以求得BO=OD，AO=OC，在Rt△AOB中，根据勾股定理可以求得AB的长，即可求菱形ABCD【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，AC=8，BD=6，∴AB=BC=CD=AD，BO=OD=3，AO=OC=4，AC⊥BD，∴AB=故菱形的周长为4×5=20．故选：A．【变式1】如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠ADC=120°，则对角线BD的长是（

）A．3 B．6 C．33 D．【答案】B【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定，掌握相关知识点是解题的关键．根据菱形的性质证明△ADB是等边三角形，即可得出答案．【详解】解：∵菱形ABCD，∴AD=AB=6，BD平分∠ADC，∴∠ADB=1∴△ADB是等边三角形，∴BD=AB=6．故选：B．【变式2】如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AC=6，∠ABC=60°，则BD的长为（

）A．33 B．63 C．12 【答案】B【分析】本题主要考查菱形的性质、等边三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握菱形的性质、等边三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键；由题意易得AC⊥BD,AB=BC,BD=2OB,OA=OC=12AC=3【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，AC=6，∴AC⊥BD,AB=BC,BD=2OB,OA=OC=1∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC=BC=6，在Rt△BOC中，由勾股定理可得：OB=∴BD=2×33故选B．【变式3】如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若AC=8，菱形ABCD的周长为20，则OH的长为（

）A．3 B．4 C．4.8 D．5【答案】A【分析】本题主要考查勾股定理，菱形的性质及直角三角形斜边中线定理，熟练掌握勾股定理，菱形的性质及直角三角形斜边中线定理是解题的关键；由题意易得AB=BC=AD=DC=5,AC⊥BD，OB=OD,OA=OC，然后可得BD=2×5【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，且周长为20，∴AB=BC=AD=DC=5,AC⊥BD，OB=OD,OA=OC，∵AC=8，∴BD=2×5∵DH⊥AB，∴OH=1故选A．知识点2：菱形的面积（等面积求高）菱形的面积等于两条对角线长的乘积的一半【题型3根据菱形的性质求面积】【典例3】道路上的菱形标志名称为人行横道预告标线，作用是提示驾驶人前方已接近人行横道，应减速慢行，并需注意行人横过马路．若测得菱形标志ABCD的对角线AC长为1.5m，BD为3m，则该标志的占地面积为（A．2.25m2 B．4.5m2 C．【答案】A【分析】根据菱形的面积等于12本题考查了菱形的面积，熟练掌握面积公式是解题的关键．【详解】解：根据题意，得菱形的面积等于12故选：A．【变式1】小宇同学和家人去故宫游玩，发现太和殿窗棂的三交六碗菱花图案不但非常漂亮，而且还藏着数学知识——菱形．喜欢创造性设计问题的她，通过查阅资料，结合图案，很快就命制出一个数学题如下：在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=2，则菱形ABCD的面积为（

）A．3 B．43 C．4 D．【答案】D【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，过点A作AH⊥CB交CB延长线于H，可求出∠BAH=30°，则BH=12AB=1，由勾股定理得到AH=【详解】解：如图所示，过点A作AH⊥CB交CB延长线于H，∵∠A=60°∴∠ABC=120°，∴∠ABH=180°−∠ABC=60°，∴∠BAH=180°−60°−90°=30°，∴BH=1∴AH=A∵四边形ABCD是菱形，∴BC=AD=2，∴S菱形故选：D．【变式2】如图，在菱形ABCD中，AC、BD交于点O，DE⊥BC于点E，若AC=8，BD=6，则DE等于（

）A．4.8 B．5 C．6 D．9.6【答案】A【分析】本题考查了菱形的性质和勾股定理，能求出菱形的边长是解此题的关键．根据菱形的性质得出AD=BC、AC⊥BD、AO=OC、DO=BO，求出AO和DO，求出AD，根据菱形的面积公式求出即可．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD=BC、AC⊥BD、AO=OC、DO=BO∵AC=8、BD=6∴AO=4、OD=3由勾股定理得：AD=5∴BC=5S∴解得DE=4.8．故选：A．【变式3】如图，菱形ABCD的边长为5，对角线AC，BD相交于点O，且OA=1，则菱形ABCD的面积为（

A．5 B．25 C．2 【答案】D【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，先由菱形的性质得到AC=2OA=2，BD=2OB，【详解】解：∵菱形ABCD的边长为5，对角线AC，BD相交于点∴AC=2OA=2，在Rt△ABO中，由勾股定理得OB=∴BD=2OB=4，∴S菱形故选：D．知识点3：菱形的判定※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。对角线互相垂直的平行四边形是菱形。四条边都相等的四边形是菱形。【题型4添一条件使四边形是菱形】【典例4】如图，▱ABCD，对角线AC，BD交于点O，添加下列条件，能使▱ABCD变为菱形的是（

）A．AB=CD B．AC=BD C．∠ABC=90° D．AC⊥BD【答案】D【分析】本题考查了菱形的判定方法，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．根据一组邻边相等或对角线互相垂直的平行四边形为菱形，逐一进行分析即可．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴当▱ABCD的一组邻边相等或对角线互相垂直时，能使▱ABCD变为菱形，逐一对比选项，其中选项D符合对角线相互垂直，A、B、C均不符合．故选：D．【变式1】如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是（）A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD【答案】C【分析】此题主要考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质．由四边形ABCD的对角线互相平分，得四边形是平行四边形，再由菱形的判定定理知，只需添加条件是邻边相等．【详解】解：∵四边形ABCD的对角线互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，∴要使四边形ABCD是菱形，需添加AC⊥BD或AB=BC，故选：C．【变式2】已知四边形ABCD的对角线AC，BD互相垂直，则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的是（

）

A．DA=DC B．AC=BD C．AB∥DC D．AC，BD互相平分【答案】D【分析】根据菱形的判定方法逐一进行判断即可得到答案．【详解】解：A、不能判定四边形ABCD为菱形，不符合题意，选项错误；B、不能判定四边形ABCD为菱形，不符合题意，选项错误；C、不能判定四边形ABCD为菱形，不符合题意，选项错误；D、能判定四边形ABCD为菱形，符合题意，选项正确，故选D．【点睛】本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定，熟练掌握菱形的判定和平行四边形的判定是解题的关键．注意，判断菱形时，一定要明确前提条件是从“四边形”出发的，还是从“平行四边形”出发的；若从四边形出发的，则还需四条边相等；若从平行四边形出发，则还需一组邻边相等或对角线互相垂直．【变式3】如图，点D，E，F分别在△ABC的边上，ED∥AB，AE=AF，添加一个条件，使四边形AEDF是菱形．【答案】AE∥DF（答案不唯一）【分析】此题考查了菱形的判定，解题的关键是掌握菱形的判定定理．添加条件：AE∥DF，首先证明四边形AEDF是平行四边形，然后结合AE=AF即可得到四边形AEDF是菱形．【详解】添加条件：AE∥DF.∵ED∥AB，AE∥DF∴四边形AEDF是平行四边形∵AE=AF∴四边形AEDF是菱形．故答案为：AE∥DF（答案不唯一）．【题型5菱形的判定】【典例5】如图，在▱ABCD中，连接AC，AB=AC，过点D作AC的平行线与BA的延长线相交于点E，求证：四边形ACDE是菱形．【答案】见解析【分析】本题主要考查平行四边形的性质、菱形的判定，掌握知识点是解题的关键．由题意易得AE∥CD，AB=DC，则有四边形【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥CD，∵DE∥∴四边形ACDE是平行四边形，又∵AB=AC，∴DC=AC．∴▱ACDE是菱形．【变式1】如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且BE平分∠ABC．若DE=CF，连结EF．求证：四边形ABFE是菱形．【答案】见详解【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定、角平分线的定义、等角对等边，由平行四边形的性质可得AD∥BC,AD=BC，证明四边形ABFE是平行四边形，由角平分线的定义结合平行线的性质得出∠ABE=∠AEB，推出【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥又∵DE=CF，∴AE=BF，∴四边形ABFE是平行四边形，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠FBE，∵AD∥∴∠AEB=∠EBF，∴∠ABE=∠AEB，∴AB=AE，∴平行四边形ABFE是菱形．【变式2】如图，在△ABC中，AB=BC，点O为AC的中点，连接BO并延长至点D，使得OB=OD，连接AD、CD．求证：四边形ABCD是菱形．【答案】见解析【分析】本题考查了菱形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．先根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明．【详解】证明：∵点O为AC的中点，∴AO=OC，∵OD=OB，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB=BC，∴四边形ABCD是菱形．【变式3】如图，平行四边形ABCD中已知E、F分别是BC、AD的中点，且AB⊥AC．求证：四边形AECF是菱形．【答案】见解析【分析】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定，根据平行四边形的性质可得AF∥CE，AF=CE，可得四边形AECF为平行四边形，再根据直角三角形斜边中线的性质得出AE=EC，即可得到四边形【详解】证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∵E、F分别是BC、AD的中点，∴AF∥CE，∴四边形AECF为平行四边形，∵AB⊥AC，∴∠BAC=∵E为BC的中点，∴BE=AE=EC，∴四边形AECF是菱形．【题型6菱形的性质与判定综合】【典例6】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=AD，对角线AC，BD相交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)若AB=6，BD=4，求OE的长．【答案】(1)见解析(2)4【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质、勾股定理、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键；（1）先证明四边形ABCD是平行四边形，再由AB=AD可得平行四边形ABCD是菱形；（2）根据菱形的性质得出OB的长以及∠AOB=90°，利用勾股定理求出OA的长，再根据直角三角形斜边中线定理得出OE=1【详解】（1）证明：∵AB∥∴∠CAB=∠DCA，∵AC平分∠BAD，∴∠CAB=∠DAC，∴∠DCA=∠DAC，∴CD=AD，∵AB=AD，∴AB=CD，∵AB∥∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB=AD，∴四边形ABCD是菱形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA=OC=12AC∴∠AOB=90°，在Rt△AOB中，OA=∵CE⊥AB，∴∠AEC=90°，∵OA=OC，∴OE=1【变式1】在四边形ABCD中，AD∥BC，点E在BC边上，AE=AD，过点D作DF∥AE，交(1)求证：四边形AEFD为菱形；(2)连接AF，DE交于点G，若AD=5,DG=5【答案】(1)见解析(2)4【分析】本题考查平行四边形的判定、菱形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握菱形的判定和性质是解答的关键．（1）先证明四边形AEFD是平行四边形，再根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可得结论；（2）由菱形的性质得到AF=2AG,AF⊥DE，然后利用勾股定理求得AG=25【详解】（1）证明：∵AD∥∴AD∥∵AE∥∴四边形AEFD是平行四边形．∵AE=AD，∴平行四边形AEFD是菱形；（2）解：∵四边形AEFD是菱形，∴AF=2AG,AF⊥DE，∴∠AGD=90在Rt△AGD中，AD=5,DG=根据勾股定理，得AG=A∴AF=2AG=45【变式2】如图，平行四边形ABCD的对角线AC, BD相交于点O，过点D作DE∥AC，过点C作CE∥BD，DE与(1)求证：▱ABCD是菱形；(2)若DE=3, ∠CAE=30°，求【答案】(1)见解析(2)BD=4【分析】（1）根据平行四边形的判定结合已知证得四边形OCED是矩形，再利用的性质和菱形的判定可得结论；（2）根据（1）的结论得到OC=DE=3, OD=CE, 【详解】（1）证明：∵DE∥AC，∴四边形OCED是平行四边形．∵OE=CD，∴平行四边形OCED是矩形，∴∠COD=90°，∴AC⊥BD，∴▱ABCD是菱形；（2）解：由（1）可知，四边形OCED是矩形，∴OC=DE=3, ∵四边形ABCD是菱形，∴AC=2OC=6, ∵在Rt△ACE中，∠CAE=30°∴AE=2CE．由勾股定理知：AE∴2CE2解得CE=23∴BD=2OD=2CE=43【点晴】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定与性质，菱形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质和勾股定理．理解相关知识是解答关键．【变式3】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，过点D作∠ADC的角平分线交AB于点E，连接AC交DE于点O，AC⊥BC，且(1)求证：四边形AECD是菱形；(2)若AD=10,△ACD的周长为36，求CB长．【答案】(1)证明见解析(2)12【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键．（1）先证明四边形AECD是平行四边形，再根据等角对等边的性质，得到AE=AD，即可证明四边形AECD是菱形；（2）根据菱形的性质，得出OA=12OC=8，由勾股定理可得OD=6，从而得到DE=12，再证明四边形BCDE是平行四边形，得到CB=DE【详解】（1）证明：∵AB∥CD，∴四边形AECD是平行四边形，∠CDE=∠AED，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE=∠CDE，∴∠AED=∠ADE，∴AE=AD，∴四边形AECD是菱形；（2）解：∵四边形AECD是菱形，AD=10，∴AD=CD=10，OD=12DE，OA=∵△ACD的周长为36，∴AC=16，∴OA=8，在Rt△AOD中，OD=∴DE=12，∵AC⊥DE，AC⊥BC，∴DE∥∵CD∥∴四边形BCDE是平行四边形，∴CB=DE=12．1．菱形ABCD的周长为24cm，那么菱形的边长是（

A．4cm B．5cm C．6cm【答案】C【分析】本题考查了菱形的性质，根据菱形四边相等求解即可．【详解】解：∵菱形ABCD的四边相等，周长为24cm∴边长=24÷4=6cm故选：C．2．下列关于菱形的说法正确的是（）A．菱形的四个内角一定相等 B．菱形的对角线一定相等C．菱形的四条边都相等 D．菱形的周长和面积一定相等【答案】C【分析】本题考查了菱形的性质．菱形是四边相等的四边形，因此四条边一定相等；但内角不一定相等，对角线不一定相等，据此进行逐项分析，即可作答．【详解】解：A、菱形的四个内角不一定相等，故该选项不符合题意；B、菱形的对角线不一定相等，故该选项不符合题意；C、菱形的四条边都相等，故该选项符合题意；D、菱形的周长和面积一定相等是不正确的，故该选项不符合题意；故选：C3．如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AC=6，BD=8，则菱形ABCD的面积为（

）A．12 B．15 C．20 D．24【答案】D【分析】本题主要考查了求菱形的面积，菱形的面积等于其对角线乘积的一半，据此求解即可．【详解】解：∵在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AC=6，BD=8，∴S菱形故选：D．4．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥AB，垂足为点E，若∠BOE=30°，BO=2，则AO的长为（

）A．2 B．23 C．4 D．【答案】B【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，含30度直角三角形的性质，由菱形的性质得出AC⊥BD，结合已知条件以及直角三角形两锐角互余进一步得出∠OAB=30°，由含30度直角三角形的性质得出AB=2OB=4，最后根据勾股定理即可得出答案．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵∠BOE=30°，OE⊥AB，∴∠ABO=60°，∴∠OAB=30°，∴AB=2OB=4，∴在Rt△AOBAO=A故选：B5．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCO的顶点O在原点处，顶点A在y轴上，已知点B的坐标为4,8，则点C的坐标为（）．A．4,3 B．4,5 C．3,4 D．4,4【答案】A【分析】本题主要考查菱形的性质，勾股定理，设边长，根据勾股定理构建方程是解题的关键．过B作BD⊥y轴，延长BC交x轴于E，设菱形边长为x，在Rt△ABD，根据勾股定理可得8−x【详解】如图，过B作BD⊥y轴，延长BC交x轴于E，易知四边形OEBD为矩形，设菱形边长为x，∵B4,8∴OE=BD=4,OD=BE=8，在Rt△ABDAD2+B解得x=5，∴CE=BE−BC=8−5=3，∴C4,3故选：A．6.如图，剪两张对边平行且宽度相同的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个面积为43的四边形，当∠ABC=60°时，则纸条的宽度是（

A．2 B．4 C．23 D．【答案】D【分析】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定，等边三角形的判定与性质，菱形的面积公式及勾股定理．先根据已知条件判断重合部分四边形的形状，再结合菱形面积公式求出纸条的宽度即可．【详解】解：∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD为平行四边形，如图，过点A分别作BC，CD边上的高为AE，AF，连接AC，∵两条纸条宽度相同，∴AE=AF，∴S四边形ABCD=AE⋅BC=AF⋅CD∴四边形ABCD为菱形，设菱形ABCD的边长为x，∵∠ABC=60°，∴△ABC为等边三角形，∴AB=BC=AC=x，在Rt△ABE中，BE=由勾股定理得，AE=A∵S菱形∴x=22∴AE=6，即纸条宽度为6故选：D．7．小佳同学在整理菱形的判定方法时，将知识整理成如图所示，请帮她在横线上填上一个适当的条件，该条件可以是．【答案】四条边都相等（答案不唯一）【分析】本题考查了菱形的判定定理，解题的关键是区分“由平行四边形判定为菱形”与“由四边形直接判定为菱形”的不同条件，明确四边形直接成为菱形需满足的核心特征．先回顾菱形的三类判定方法：一是平行四边形+一组邻边相等；二是平行四边形+对角线互相垂直；三是四边形+四条边都相等（或对角线互相垂直且平分）．题目中是从“四边形”直接推导为“菱形”，需排除依赖“平行四边形”前提的判定条件，因此选择四边形直接适用的判定条件即可．【详解】解：题目要求“四边形”直接成为“菱形”，需满足无需“平行四边形”作为前提的判定条件，因此符合要求的条件可为“四条边都相等”（或“对角线互相垂直且平分”）．故答案为：四条边都相等（答案不唯一，合理即可）．8．如图，在▱ABCD中，AB=9cm，BC=4cm．将CB沿BA方向平移得到EF，则当BF=cm时，四边形【答案】5有一组邻边相等的平行四边形是菱形【分析】本题考查了菱形的判定，掌握菱形的判定方法是关键，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，结合平行四边形的性质分析即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD,AD∥BC,AB=CD=9,AD=BC=4，当四边形DAFE是菱形时，AD=AF=4，∴BF=AB−AF=9−4=5cm上述证明的依据是有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故答案为：①5；②有一组邻边相等的平行四边形是菱形．9．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∠CBD=30°，过点O作OE⊥BC于点E，若CE=2，则OE的长为．

【答案】2【分析】本题考查了三角形和菱形．熟练掌握菱形的性质，含30度的直角三角形性质，勾股定理，是解题关键．根据菱形的性质得∠BOC=90°，根据∠CBD=30°，OE⊥BC，得∠COE=90°−∠BCO=30°，得OC=2CE=4，即可求解．【详解】解：∵菱形ABCD中，AC⊥BD∴∠BOC=90°∴∠CBD=30°∴∠BCO=90°−∠CBD=60°∴