第05讲 正方形的性质和判定（知识解读+例题精讲+随堂检测）（解析版） 初中数学人教版（2024）八年级下册

第05讲正方形的性质和判定考点1：正方形的概念和性质考点2：正方形的判定考点3：正形的综合应用考点4：中点四边形重点：（1）掌握正方形的双重属性（矩形+菱形），理清平行四边形、矩形、菱形、正方形的从属关系。（2）熟记正方形的性质与判定定理，能准确区分判定条件的前提（如“矩形+邻边相等”）。（3）灵活运用面积、边长、对角线的关系进行计算。（4）掌握中点四边形的性质

难点：（1）判定定理的灵活选择：根据题干条件（如已知平行四边形/矩形/菱形），选择最简判定路径，避免逻辑混乱。（2）综合题的辅助线添加：学会连对角线将正方形转化为等腰直角三角形，利用勾股定理或全等解题。（3）从属关系的理解：突破“正方形是特殊的矩形/菱形，矩形/菱形不一定是正方形”的逻辑辨析，构建知识体系。（4）折叠与坐标系综合题：结合方程思想，解决含未知线段的计算问题，考虑多解情况。知识点1：正方形的概念与性质正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。※正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。（正方形是轴对称图形，有两条对称轴）【题型1利用正方形的性质求解】【典例1】如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BAE为（

）

A．145° B．150° C．155° D．160°【答案】B【分析】本题题主要考查了正方形和等边三角形的性质，由四边形ABCD是正方形，△ADE是正三角形可得∠BAD=90°,∠DAE=60°，即可得答案．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=90°，又∵△ADE是正三角形，∴∠DAE=60°，∴∠BAE=90°+60°=150°．故选：B．【变式1】如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，连接CP，CP平分∠ACD，则∠ACP的度数是（A．22.5° B．25° C．30° D．45°【答案】A【分析】本题主要考查了正方形的性质，角平分线的定义，由正方形的性质可得∠ACD的度数，再由角平分线的定义可得答案．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACD=45°，∵CP平分∠ACD，∴∠ACP=1故选：A．【变式2】如图，面积为25的正方形OBCD的两边与坐标轴的正半轴重合，则点C的坐标是（

）A．25,25 B．−5,5 C．5,5 D．5【答案】C【分析】本题考查了正方形的性质与直角坐标系中坐标的求解，解题的关键是求解出正方形的边长．由面积可求解出正方形的边长，由此可求解坐标．【详解】解：正方形OBCD的面积为25，∴OB×OB=25，解得OB=5，即正方形OBCD的边长为5，∵正方形OBCD的两边与坐标轴的正半轴重合，∴点C的坐标为5,5．故选：C．【变式3】“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿对角线BD方向平移1cm得到正方形A′B′C′D′，形成一个“方胜”图案，则点B'，A．1cm B．2cm C．22【答案】D【分析】先求出BD，再根据平移性质得BB′=1cm，然后由DB′=BD−BB′【详解】解：由题意，BD=2由平移性质得BB′=1cm∴点D，B′之间的距离为DB′=BD−BB′=(22故选：D．【点睛】本题考查平移性质、正方形的性质，熟练掌握平移性质是解答的关键．知识点2：正方形的判定※正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形；邻边相等的矩形是正方形；对角线相等的菱形是正方形；对角线互相垂直的矩形是正方形。注意：正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图3所示)：【题型2添一条件使四边形是正方形】【典例2】已知四边形ABCD为矩形，下列条件中，不能判定四边形ABCD为正方形的是（

）A．∠ABD=∠CBD B．∠A+∠C=180° C．AB=BC D．AC⊥BD【答案】B【分析】根据正方形的定义逐项判定即可．【详解】如下图，

对于选项A，由矩形的对边平行，可得内错角相等，即∠ABD=∠CDB，∵∠ABD=∠CBD，∴∠CDB=∠CBD．则BC=CD（等角对等边）．所以，四边形ABCD是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）．故A选项说法正确，但不符合题意；对于选项B，对角互补是矩形本身就具有的条件，相当于没有增加判定正方形的条件，故不能判定四边形ABCD为正方形．故B选项说法错误，符合题意．对于选项C，因AB=BC，四边形ABCD是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）．故选项C说法正确，但不符合题意；对于选项D，因矩形的对角线互相平分，∴O为AC的中点，又AC⊥BD，∴△OAB≌△OCB，则AB=BC，所以，四边形ABCD是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）．故选项D说法正确，但不符合题意；故答案为：B．【点睛】本题涉及矩形的性质及正方形的判定等相关知识点，解题的关键是对正方形的定义有准确的判断．【变式1】已知四边形ABCD是平行四边形，若要使它成为正方形，则应增加的条件是（）A．AC⊥BD B．AC=BD C．AC=BD且AC⊥BD D．AC平分∠BAD【答案】C【分析】根据正方形的判定，菱形的判定和矩形的判定逐项分析即可．【详解】解：A、添加AC⊥BD，可得平行四边形ABCD是菱形，故错误；B、添加AC＝BD，可得平行四边形ABCD是矩形，故错误；C、根据AC⊥BD，可得平行四边形ABCD是菱形，根据AC＝BD，可得菱形ABCD是正方形，故正确；D、添加AC平分∠BAD，可得平行四边形ABCD是菱形，故错误．故选：C．【点睛】此题考查了正方形的判定，菱形的判定和矩形的判定，熟记判定定理是解此题的关键．【变式2】如图，在▱ABCD中，AC⊥BD．再添加一个条件，可以判定四边形ABCD是正方形的是（

）A．AB=AD B．AB=AC C．AC=BD D．AD=BC【答案】C【分析】本题主要考查了正方形的判定，平行四边形的性质，解答本题的关键是熟练掌握正方形的判定定理．根据正方形的判定定理即可解答．【详解】解：在平行四边形ABCD中，AC⊥BD，利用对角线互相垂直且相等即可证明四边形ABCD是正方形．A．当AB=AD时，四边形ABCD是菱形，不一定是正方形，选项错误，不符合题意；B．当AB=AC时，四边形ABCD一定不是正方形，选项错误，不符合题意；C．当AC=BD时，平行四边形角线互相垂直且相等，则四边形ABCD是正方形，选项正确，符合题意；D．当AD=BC时，四边形ABCD不一定是正方形，选项错误，不符合题意；故选：C．【变式3】小英在复习几种特殊平行四边形关系时整理如图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（

）A．（1）处可填∠B=90° B．（2）处可填AB=BCC．（3）处可填AB=BC D．（4）处可填∠A=∠C【答案】D【分析】本题主要考查了矩形的判定，正方形的判定和菱形的判定，熟练掌握特殊四边形的关系是解题的关键．根据正方形、矩形、菱形的判定定理判断即可．【详解】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，∴（1）处可填∠B=90°是正确的，故该选项不符合题意；B、一组邻边相等的矩形是正方形，∴（2）处可填AB=BC是正确的，故该选项不符合题意；C、一组邻边相等的平行四边形是菱形，∴（3）处可填AB=BC是正确的，故该选项不符合题意；D、有一个角是直角的菱形是正方形，∴∠A=∠C无法判定两角是不是直角，故该选项符合题意；故选：D．【题型3正方形的判定】【典例3】如下图，四边形ABCD是矩形，E是BD上的一点，∠BAE=∠BCE，∠AED=∠CED．求证：四边形ABCD是正方形．【答案】见解析【分析】本题考查了矩形与正方形的判定、全等三角形的判定与性质，掌握矩形中一组邻边相等即可判定为正方形是解题的关键．通过已知角的关系推导出∠AEB=∠CEB，再结合∠BAE=∠BCE和公共边BE，证明△ABE≌△CBE，从而得到AB=CB，进而判定矩形ABCD为正方形．【详解】证明：∵∠AED=∠CED，∠AEB=180°−∠AED，∠CEB=180°−∠CED，∴∠AEB=∠CEB．在△ABE和△CBE中：∠BAE=∠BCE,∴△ABE≌△CBE（AAS∴AB=CB．∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD是正方形．【变式1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是△ABC的角平分线，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E，F，求证：四边形CEDF【答案】证明见解析【分析】本题考查正方形的判定，掌握先证矩形，再证邻边相等的判定思路是解题的关键．先证明四边形CEDF是矩形，再利用角平分线的性质证明邻边相等，从而得出其为正方形．【详解】解：∵∠ACB=90°，DE⊥BC，DF⊥AC，∴∠DFC=∠DEC=∠ACB=90°，四边形CEDF是矩形，∵CD是角平分线，DE⊥BC，DF⊥AC，∴DF=DE，∴四边形CEDF是正方形．【变式2】如图，四边形ABCD是矩形，E是AC延长线上的一点，连接BE，DE，且BE=DE．求证：四边形ABCD是正方形．【答案】见解析【分析】本题主要考查了矩形和正方形，熟练掌握矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，正方形的判定是解题的关键，连接BD交AC于点O，由矩形对角线性质和等腰三角形性质得EO⊥BD，得BC=DC，即得矩形ABCD是正方形．【详解】证明：如图，连接BD交AC于点O．∵四边形ABCD是矩形，∴OB=OD．∵BE=DE，∴EO⊥BD．∴BC=DC．∴四边形ABCD是正方形．【变式3】如图，在▱ABCD中，BE⊥AD于点E，DF⊥BC于点F，BE=DE，求证：四边形EBFD是正方形．【答案】见解析【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、正方形的判定、全等三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关性质和判定定理是解题的关键．由平行四边形的性质可得AB=CD,AD∥BC,AD=BC，∠A=∠C，易证△AEB≌△CFDAAS可得BE=FD【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD,AD∥BC,AD=BC，∵DF⊥BC，BE⊥AD，∴∠AEB=∠CFD=90°，BE∥∴△AEB≌△CFDAAS∴BE=FD，∴四边形EBFD是平行四边形，∵∠CFD=90°，∴平行四边形EBFD是矩形，∵BE=DE，∴矩形EBFD是正方形．【题型4正方形的性质与判定综合】【典例4】如图，在△ABC中，∠BAC=45∘，AD⊥BC于D，将△ACD沿AC折叠为△ACF，将△ABD沿AB折叠为△ABG，延长FC和GB相交于点(1)求证：四边形AFHG为正方形；(2)若BH=6，CH=8，求AB的长．【答案】(1)证明见解析(2)AB=6【分析】本题考查了正方形的判定及性质、折叠的性质及勾股定理：（1）由折叠的性质可得到的条件是：①AG=AD=AF，②∠GAF=∠GAD+∠DAF=2∠BAC=90°，且∠G=∠F=90°；由②可判定四边形AGHF是矩形，由AG=AF可证得四边形AGHF是正方形；（2）设AD=x，由折叠的性质可得：AD=AF=x（即正方形的边长为x），BG=BD=6，CF=CD=4；进而可用x表示出BH、HC的长，即可在Rt△BHC中，由勾股定理求得AD的长，进而可求出熟练掌握正方形的判定是解题的关键．【详解】（1）证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°；由折叠可知，AG=AF=AD，∠AGH=∠AFH=90°，∠BAG=∠BAD，∠CAF=∠CAD，∴∠BAG+∠CAF=∠BAD+∠CAD=∠BAC=45°；∴∠GAF=∠BAG+∠CAF+∠BAC=90°；∴四边形AFHG是正方形．（2）∵四边形AFHG是正方形，∴∠BHC=90°，又∵GH=HF=AD，BH=6，CH=8，设AD的长为x，则GB=BD=x−6，CD=CF=x−8．在Rt△BCH中，由勾股定理得：BC=即BD+CD=x−6解得x=12，∴AD=12，AB=A【变式1】如图，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°，BC=17，CD=7，作AE⊥BC于点E，AF⊥CD交CD的延长线于点F．(1)求证：四边形AECF是正方形；(2)求四边形ABCD的面积．【答案】(1)见解析(2)144【分析】本题主要考查了正方形的判定和性质，垂直的定义，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质．（1）根据垂直得出直角，证明四边形AECF为矩形，利用AAS证明△ABE≌△ADF，得出AE=AF，即可得出结论；（2）借助（1）的结论得出四边形ABCD的面积等于正方形AECF的面积，求出CE=12，即可求出面积．【详解】（1）证明：∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEC=∠AEB=90°，∠F=90°，又∵∠BCD=90°，∴四边形AECF为矩形，∴∠EAF=90°，∵∠BAD=90°，∴∠BAE=∠DAF=90°−∠DAE，又∵∠AEB=∠F=90°，∴△ABE≌△ADFAAS∴AE=AF，∴四边形AECF是正方形；（2）解：由（1）得四边形AECF是正方形，且△ABE≌△ADF，∴四边形ABCD的面积等于正方形AECF的面积，BE=DF，∵BC=17，CD=7，∴CE=1∴正方形AECF的面积为CE即四边形ABCD的面积为144．【变式2】在菱形ABCD中，E，F是对角线BD所在直线上的两点，且∠AED=45°，DF=BE(1)求证：四边形AECF是正方形；(2)若BD=4，BE=3，求【答案】(1)证明见解析(2)29【分析】本题主要考查了菱形的性质，正方形的性质和判定，勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点．（1）先根据“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”得四边形AECF是菱形，再根据“有一个角是直角的菱形是正方形”得出答案；（2）先根据菱形的性质求出BO，进而求出EO，再根据正方形的性质可得AO，然后根据勾股定理求出AB，则此题可解．【详解】（1）证明：连接AC，交BD于点O，∵四边形ABCD是菱形，∴AO=CO,BO=DO,AC⊥BD∵DF=BE，∴DF+DO=BE+BO，即FO=EO∵AO=CO,AC⊥BD，∴四边形AECF是菱形，∴∠AEF=∠CEF=45°，∴∠AEC=90°，∴四边形AECF是正方形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴BO=DO=1∴EO=BO+BE=5，∵四边形AECF是正方形，∴AO=EO=5，在Rt△ABO中，AB=∴CD=AB=29【变式3】如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F在对角线BD上，且BE=DF，AC=EF，连接AE、CE、CF、AF．(1)求证：四边形AECF是正方形；(2)若AB=13，OB=3，求AE【答案】(1)见解析(2)AE=2【分析】本题考查菱形的性质，正方形的判定与性质，勾股定理，二次根式，熟练掌握菱形的性质和正方形的判定与性质是解题的关键．（1）利用菱形的性质得出AO=CO，BO=DO，AC⊥EF，再利用BE=DF，得出EO=FO，得出四边形AECF是平行四边形，再由AC=EF，AC⊥BD，即可得证；（2）先利用勾股定理求出AO=AB2【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，OA=OC，OB=OD，AC⊥BD．∵BE=DF，∴OB−BE=OD−DF，即OE=OF．∴四边形AECF是平行四边形．又∵AC⊥BD，∴四边形AECF是菱形．又∵AC=EF，∴四边形AECF是正方形．（2）解：∵四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，则△AOB是直角三角形．AO=A又知四边形AECF是正方形，AC=EF，且AC、EF互相平分，∴OE=OA=2，在Rt△AOE中，由勾股定理，得AE=2知识点3：中点四边形1.定义：顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形。2.核心依据：三角形中位线定理（中位线平行且等于第三边的一半）。3.形状规律（由原四边形对角线决定）①任意四边形→中点四边形是平行四边形②对角线相等→中点四边形是菱形③对角线垂直→中点四边形是矩形④对角线相等且垂直→中点四边形是正方形【关键结论】①所有中点四边形至少是平行四边形②周长=原四边形两条对角线长度之和③面积=原四边形面积的【题型5中点四边形】【典例5】如图所示，E、F、G、H分别是四边形ABCD各边中点，连接EF、FG、GH、HE，则四边形EFGH为________形．在横线上填上合适的条件，并说明你所填条件的合理性．（1）当四边形满足________条件时，四边形EFGH是菱形．（2）当四边形满足________条件时，四边形EFGH是矩形．（3）当四边形满足________条件时，四边形EFGH是正方形．【答案】平行四边形，见解析；（1）AC=BD，理由见解析；（2）AC⊥BD，理由见解析；（3）AC=BD且AC⊥BD，理由见解析【分析】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定，中位线定理，掌握相关知识点是解题的关键．连接AC、BD，可以根据E、F、G、H分别是四边形ABCD各边中点，得到线段EF、FG、GH、HE分别为△ABC、△BCD、△ACD、△ABD的中位线，由中位线定理可以证明四边形EFGH为平行四边形；再根据菱形，矩形和正方形的判定条件，添加对应的条件即可得到答案．【详解】解：四边形EFGH为平行四边形，理由，连接AC、BD，∵E、F、G、H分别是四边形ABCD各边中点，∴线段EF、FG、GH、HE分别为△ABC、△BCD、△ACD、△ABD的中位线，∴EF=12AC，FG=12∴EF=GH，FG=HE，∴四边形EFGH为平行四边形，故答案为：平行四边形；（1）AC=BD，理由，如图①四边形ABCD的对角线AC=BD，∵四边形EFGH为平行四边形，且HE=12BD，∴HE=GH，∴平行四边形EFGH为菱形，故答案为：AC=BD；（2）AC⊥BD，理由，如图②四边形ABCD的对角线互相垂直，∵E、F、G、H分别是四边形ABCD各边中点，∴线段EF、FG、GH、HE分别为△ABC、△BCD、△ACD、△ABD的中位线，∴EF∥AC，HE∥BD，∵AC⊥BD，∴EF⊥HE，∵四边形EFGH为平行四边形，∴四边形EFGH为矩形，故答案为：AC⊥BD；（3）AC=BD且AC⊥BD，理由，如图③四边形ABCD的对角线相等且互相垂直，根据AC⊥BD，由（2）可知EF⊥HE，根据AC=BD，由（1）可知平行四边形EFGH为菱形，∴四边形EFGH为正方形，故答案为：AC=BD且AC⊥BD．【变式1】若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形，则该四边形一定是（）A．对角线相等的四边形 B．对角线相等的平行四边形C．等腰梯形 D．对角线互相垂直的四边形【答案】A【分析】本题主要考查了菱形的性质，三角形的中位线定理，熟练掌握三角形的中位线定理是解题关键．根据菱形的性质，得EF=FG=GH=HE，结合三角形的中位线定理得AC=BD，即可求解．【详解】解：如图，∵根据题意，四边形EFGH是菱形，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，∴EF=FG=GH=HE，AC=2EF，BD=2HE，∴AC=BD，∴原四边形一定是对角线相等的四边形．故选：A．【变式2】四边形ABCD的中点四边形是矩形，那么四边形ABCD一定满足条件（

）A．矩形 B．菱形 C．对角线相等 D．对角线互相垂直【答案】D【分析】本题考查判断一个四边形的中点四边形的形状．如果中点四边形是矩形，那么原四边形的对角线必然互相垂直．【详解】解：∵四边形ABCD的中点四边形是一个矩形，∴四边形ABCD的对角线一定互相垂直，只要符合此条件即可，故选：D．【变式3】如图，任意四边形ABCD各边中点分别是E、F、G、H．若对角线AC、BD的长分别是10cm、20cm，则四边形

A．20cm B．30cm C．40cm D．50cm【答案】B【分析】利用三角形中位线定理易得所求四边形的各边长都等于AC或BD的一半，进而求四边形周长即可．【详解】解：∵E，F，G，H，是四边形ABCD各边中点，∴HG=12AC，EF=又∵AC=10cm，BD=20∴四边形EFGH的周长是HG+EF+GF+HE=1故选：B．【点睛】本题考查了中点四边形，三角形的中位线定理，解决本题的关键是找到四边形的四条边与已知的两条对角线的关系．三角形中位线的性质为我们证明两直线平行，两条线段之间的数量关系又提供了一个重要的依据．1．正方形的一条对角线长为8，则另一条对角线长为（

）A．2 B．4 C．8 D．4【答案】C【分析】本题考查了正方形的性质．根据正方形的两条对角线长度相等，即可求解．【详解】解：∵正方形的两条对角线相等，且已知一条对角线长为8，∴另一条对角线长也为8．故选：C．2．如图，点P是正方形ABCD的对角线AC上一点，连接BP，若∠BPC=55°，则∠PBC的度数为（

）A．80° B．75° C．70° D．65°【答案】A【分析】本题主要考查了正方形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握正方形的性质，三角形内角和定理是解决问题的关键．根据正方形性质得∠BCA=45°，在△BCP中，∠BPC=55°，根据三角形内角和定理即可得出∠PBC的度数．【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，∴∠BCA=45°，在△BCP中，∠BPC=55°，∴∠PBC=180°−∠BPC+∠BCA故选：A．3．正方形一定具有而矩形不一定具有的性质是（

）A．对角相等 B．对角线互相垂直 C．对边平行且相等 D．对角线相等【答案】B【分析】本题考查矩形和正方形的性质．根据矩形和正方形的性质逐项判断即可．【详解】解：正方形的对角线互相垂直平分且相等，矩形的对角线互相平分且相等，但不一定垂直，故选：B．4．将一张正方形纸片，按如图步骤①，②，沿虚线对折两次，然后沿③中的虚线剪去一个角，展开铺平后的图形是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了折叠，掌握折叠的性质是关键．根据展开后的图形即可作出判断．【详解】解：根据图③的剪法，展开后所得图形为，故选：B．5．下列命题中，能判断四边形是正方形的是（

）A．对角线互相垂直的矩形 B．对角线相等的平行四边形C．对角线互相垂直的平行四边形 D．对角线互相垂直平分的菱形【答案】A【分析】本题主要考查了正方形的判定，熟知正方形的判定定理是解题的关键．【详解】解：A、对角线互相垂直的矩形是正方形，符合题意；B、对角线相等的平行四边形不一定是正方形，例如矩形也满足条件，不符合题意；C、对角线互相垂直平分且相等的平行四边形是正方形，不符合题意；D、对角线相等的菱形是正方形，不符合题意；故选：A．6．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为边AB与AD上一点，连接CE，BF，交点为G，且CE⊥BF，已知∠ABF=30°，BG=2，则正方形的边长为(

)A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】根据正方形的性质以及已知条件，根据等角的余角相等，得出∠GCB=∠EBG=∠ABF=30°，进而根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，∴∠CEB+∠GCB=90°，∵CE⊥BF，∴∠EBG+∠CEB=90°，∴∠GCB=∠EBG=∠ABF=30°，∴BC=2BG=4，故选：B．7．如图，点E，F，G，H分别为四边形ABCD的四条边AB，BC，CD，DA的中点，若AC+BD=3，则四边形EFGH的周长为（

）A．2 B．3 C．4 D．4.5【答案】B【分析】本题考查了中点四边形，根据点E，F，G，H分别为四边形ABCD的四条边AB，BC，CD，DA的中点，得出HG，EF是△ACD，△BCD的中位线，同理HE,GF分别是△ABD,△CBD的中位线，故四边形EFGH的周长为HG+EF+HE+GF=AC+BD=3，即可作答．【详解】解：连接AC,BD，如图所示：在△ACD中，点G，H分别为边CD，DA的中点，∴HG是△ACD的中位线，∴GH=1在△BCD中，点E，F分别为边AB，BC的中点，∴EF是△BCD的中位线，∴EF=1同理得HE,GF分别是△ABD,△CBD的中位线，∴HE=1∴四边形EFGH的周长为HG+EF+HE+GF=2HG+2HE=AC+BD=3，故选：B．8．“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥，如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿对角线BD方向平移2cm得到正方形A′B′C′A．22−2cm B．2−1cm C．2cm D．【答案】A【分析】本题考查平移性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握平移性质和正方形的性质是解答的关键，由题意得BB′=2【详解】解：由题意得BB∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=2cm,∴BD=A∴DB∴点D，B′之间的距离为2故选：A．9．如图，P为正方形ABCD对角线AC上的一点，点P到AB的距离PE=5cm，则点P到直线AD的距离为

【答案】5【分析】本题考查了正方形的性质以及角平分线的性质定理，根据AC平分∠DAC即可求解．【详解】解：由题意得：AC平分∠DAC∵点P到AB的距离PE=5cm∴点P到直线AD的距离为5cm．故答案为：510．如图，四边形ABCD是正方形，E是CB延长线上的一点，且BD=BE，则∠E的度数是．【答案】22.5°【分析】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质及三角形外角的性质，掌握这些知识是关键；由正方形的性质得∠DBC=45°，由等腰三角形的性质得∠BDE=∠E，再由三角形外角的性质即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DBC=45°，∵BD=BE，∴∠BDE=∠E，∵∠DBC=∠BDE+∠E=2∠E，∴∠E=1故答案为：22.5°．11．如图，点E在正方形ABCD的边BC的延长线上，连接BD，DE，若BE=BD，AB=1，则CE的值为．【答案】2【分析】此题考查了正方形的性质和勾股定理等知识．由正方形的性质得到AD=BC=AB=1，∠A=90°，根据勾股定理求出BD=2，得到BE=BD=【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=BC=AB=1，∠A=90°，∴BD=A∴BE=BD=2∴CE=BE−BC=2故答案为：2−112．如图，正方形ABCO的顶点C，A分别在x轴，y轴上，BC是菱形BDCE的对角线．若BC=12，BD=10，则点【答案】20,6【分析】本题考查的是勾股定理，菱形的性质，正方形的性质，根据题意作出辅助线，利用菱形的性质判断出△BCD是等腰三角形是解题的关键．过点D作DG⊥BC于点G，根据四边形BDCE是菱形可知BD=CD，可得出△BCD是等腰三角形，即可得到CG=12BC【详解】解：过点D作DG⊥BC于点G，∵四边形BDCE是菱形，∴BD=CD=10，∴△BCD是等腰三角形，∴点G是BC的中点，∴CG=1∴GD=C∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=12，∴12+8=