2025年统计推断与决策专项真题及答案

2025年统计推断与决策专项练习题及答案一、单项选择题（每题3分，共30分）1.在双样本均值比较的假设检验中，若总体方差未知且不相等，样本量分别为n₁=25、n₂=30，应采用的检验方法是（）。A.独立样本t检验（Welch-Satterthwaite近似自由度）B.配对样本t检验C.两样本Z检验D.曼-惠特尼U检验2.某研究中，极大似然估计量（MLE）的渐近方差为I(θ)⁻¹，其中I(θ)是费雪信息。若样本量n=100，且I(θ)=0.5n，则该估计量的渐近标准差为（）。A.√(2/n)B.√(1/(0.5n))C.√(2n)D.√(n/2)3.对于列联表的卡方独立性检验，当理论频数小于5的单元格比例超过20%时，正确的处理方法是（）。A.直接计算卡方统计量B.合并相邻类别以提高理论频数C.改用t检验D.增加显著性水平α4.在贝叶斯推断中，若先验分布为均匀分布U(0,1)，似然函数为二项分布B(n,p)，则后验分布的共轭分布是（）。A.正态分布B.伽马分布C.贝塔分布D.泊松分布5.某回归模型的调整R²为0.85，普通R²为0.87，样本量n=50，自变量个数k=3，则以下结论正确的是（）。A.调整R²考虑了自变量个数对拟合优度的惩罚B.普通R²一定小于调整R²C.增加自变量会使调整R²必然增大D.模型中存在多重共线性6.在时间序列分析中，若ACF（自相关函数）拖尾、PACF（偏自相关函数）在滞后2阶后截尾，则最可能的模型是（）。A.AR(2)B.MA(2)C.ARMA(2,2)D.ARIMA(1,1,2)7.某分类问题中，真实类别为1的样本有100个，预测为1的有80个，其中正确预测的有70个；真实类别为0的样本有200个，预测为0的有180个，其中正确预测的有170个。则F1分数为（）。A.2×(70/80×70/100)/(70/80+70/100)B.(70+170)/(100+200)C.70/(70+30)D.70/(70+20)8.若要检验三个总体均值是否相等，且数据不满足正态性假设，最适合的非参数检验方法是（）。A.卡方检验B.克-瓦氏检验（Kruskal-Wallistest）C.符号检验D.秩和检验9.在决策分析中，某方案的收益矩阵为：状态S₁（概率0.3）收益100，S₂（概率0.5）收益50，S₃（概率0.2）收益-20。则该方案的期望收益为（）。A.100×0.3+50×0.5+(-20)×0.2B.max{100,50,-20}C.min{100,50,-20}D.(100+50-20)/310.某参数θ的95%置信区间为(2.1,3.5)，以下解释正确的是（）。A.有95%的概率θ落在(2.1,3.5)中B.重复抽样100次，约95次的置信区间包含θ的真实值C.真实值θ一定在(2.1,3.5)内D.区间长度3.5-2.1=1.4是估计误差的最大值二、简答题（每题10分，共40分）1.简述极大似然估计（MLE）的基本思想，并说明其渐近性质（一致性、渐近正态性、渐近有效性）的实际意义。2.比较频率学派与贝叶斯学派在参数估计上的主要差异，包括对参数的认知、估计方法（点估计与区间估计）的构建逻辑。3.分层抽样中，如何确定各层的样本量？列举三种常用方法，并说明其适用场景。4.在多元线性回归中，为何需要进行多重共线性检验？常用的检验方法有哪些？若存在严重多重共线性，可采取哪些解决措施？三、综合分析题（每题15分，共30分）题目1：市场调研数据的假设检验与决策分析某食品公司为评估新口味饼干的市场接受度，在A、B两个城市开展试销。A城市随机抽取200名消费者，其中120人表示“愿意购买”；B城市随机抽取250名消费者，其中140人表示“愿意购买”。公司希望判断两个城市的消费者购买意愿是否存在显著差异（α=0.05），并根据结果决定是否扩大A城市的生产线。（1）建立假设检验的原假设与备择假设；（2）计算检验统计量并说明其分布；（3）给出检验结论，并提出决策建议。题目2：回归模型构建与预测某电商平台收集了2023年1-12月的月度数据，变量包括：广告投入（X₁，万元）、促销活动次数（X₂，次）、竞争对手广告投入（X₃，万元）、月销售额（Y，万元）。部分统计量如下：n=12，∑Y=1800，∑X₁=600，∑X₂=36，∑X₃=480回归结果：Ŷ=50+2.5X₁+15X₂-1.2X₃，R²=0.89，F检验p值=0.001，VIF（方差膨胀因子）分别为VIF₁=3.2，VIF₂=1.1，VIF₃=4.5。（1）解释回归系数的实际意义；（2）判断模型整体显著性及自变量的多重共线性程度；（3）若2024年1月计划投入广告80万元、促销5次、竞争对手投入50万元，预测该月销售额，并说明预测的可靠性。参考答案一、单项选择题1.A（方差未知且不等时，独立样本t检验采用Welch近似自由度）2.A（渐近方差为1/I(θ)=1/(0.5n)=2/n，标准差为√(2/n)）3.B（理论频数过低时，合并类别是标准处理方法）4.C（二项分布的似然与贝塔先验共轭，后验仍为贝塔分布）5.A（调整R²通过自由度对自变量个数进行惩罚）6.A（AR模型PACF截尾，MA模型ACF截尾）7.A（F1是精确率与召回率的调和平均，精确率=70/80，召回率=70/100）8.B（克-瓦氏检验用于多独立样本的非参数均值比较）9.A（期望收益为各状态收益与概率的加权和）10.B（置信区间的频率解释：重复抽样中包含真实值的概率）二、简答题1.基本思想：通过最大化样本出现的概率（似然函数）来估计参数，即寻找θ̂使得L(θ|x)=∏f(xᵢ|θ)最大。渐近性质：一致性：当n→∞时，θ̂依概率收敛于θ的真实值（大样本下估计准确）；渐近正态性：√n(θ̂-θ)→N(0,I(θ)⁻¹)（可构造置信区间）；渐近有效性：MLE的渐近方差达到C-R下界（大样本下最有效）。2.主要差异：参数认知：频率学派认为参数是固定未知常数；贝叶斯学派认为参数是随机变量，具有先验分布。点估计：频率学派用MLE或矩估计；贝叶斯学派用后验均值、中位数或众数。区间估计：频率学派是置信区间（固定区间覆盖参数的概率）；贝叶斯学派是可信区间（参数落在区间内的后验概率）。3.分层抽样样本量确定方法：比例分配：nᵢ=n×Nᵢ/N（各层按总体比例分配，简单易操作，适用于层内方差相近）；奈曼分配：nᵢ=n×Nᵢσᵢ/∑Nⱼσⱼ（按层内方差与总体规模的乘积分配，最小化估计量方差，适用于层内方差差异大）；最优分配：考虑调查成本，nᵢ=n×Nᵢσᵢ/√cᵢ（cᵢ为层内单位调查成本，适用于不同层调查成本差异显著）。4.多重共线性检验原因：多重共线性会导致回归系数估计方差增大、符号异常，影响模型解释力。检验方法：VIF（VIF>10表示严重共线性）、相关系数矩阵（|r|>0.8提示共线性）、条件指数（>30为严重）。解决措施：剔除冗余变量、主成分分析降维、增加样本量、岭回归或LASSO回归（正则化方法）。三、综合分析题题目1（1）假设：H₀:p₁=p₂（两城市购买意愿无差异）；H₁:p₁≠p₂（有差异）。（2）检验统计量为Z=(p̂₁-p̂₂)/√[p̄(1-p̄)(1/n₁+1/n₂)]，其中p̂₁=120/200=0.6，p̂₂=140/250=0.56，p̄=(120+140)/(200+250)=260/450≈0.5778。计算得Z=(0.6-0.56)/√[0.5778×0.4222×(1/200+1/250)]≈0.04/√(0.244×0.009)=0.04/0.047≈0.851。Z统计量服从标准正态分布N(0,1)。（3）α=0.05时，双侧检验临界值为±1.96。计算得|Z|=0.851<1.96，不拒绝H₀。结论：两城市购买意愿无显著差异，建议暂不扩大A城市生产线，需进一步调研其他影响因素。题目2（1）系数解释：β₁=2.5：广告投入每增加1万元，月销售额平均增加2.5万元（其他变量不变）；β₂=15：促销次数每增加1次，月销售额平均增加15万元；β₃=-1.2：竞争对手广告投入每增加1万元，月销售额平均减少1.2万元。（2）模型整体显著性：F检验p值=0.001<0.05，模型整